Transcript 215_Funkce - goniometrické funkce (1)_Prezentace

VY_32_INOVACE_04_PVP_215_Kli
Název školy
Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod
Název OP
OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost
Registrační číslo projektu
CZ.1.07/1.5.00/34.0258
Název projektu
Inovace a individualizace výuky na OA a HŠ
Šablona
III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Označení vzdělávacího materiálu VY_32_INOVACE_04_PVP_215_Kli
Druh učebního materiálu
Prezentace
Autor
Mgr. Květa Klímová
Vzdělávací obor, pro který je
materiál určen
Hotelnictví, Ekonomické lyceum, Obchodní akademie
Předmět
Matematika
Ročník
druhý
Název tematické oblasti (sady)
Funkce
Název vzdělávacího materiálu
Funkce - goniometrické funkce (1)
Anotace
Vzdělávací materiál obsahuje definice goniometrických funkcí
ostrého úhlu jako poměry délek stran trojúhelníku. Slouží k výkladu
látky, která je doplněna příklady. Může být použit ve 2. ročníku
matematiky studijních oborů nebo ve 3. ročníku v matematickém
semináři při opakování látky.
Zhotoveno, (datum/období)
červen 2013
Ověřeno
16. dubna 2014
Podobnost pravoúhlých trojúhelníků
 Každé dva pravoúhlé trojúhelníky, které se shodují v
jednom ostrém úhlu, jsou podobné (podle věty uu).
 Protože se každé dva podobné trojúhelníky shodují v
poměrech délek všech stran, bylo vhodné tyto poměry
pojmenovat, pro jednotlivé hodnoty úhlů vypočítat a
sestavit do tabulek.
 Tyto poměry se nazývají goniometrické funkce a to
sinus úhlu, kosinus úhlu, tangens úhlu a kotangens
úhlu.
 Výpočty dnes obvykle provádíme na kalkulátoru.
Goniometrické funkce ostrého úhlu
sinus úhlu
𝒅é𝒍𝒌𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒕𝒊𝒍𝒆𝒉𝒍é 𝒐𝒅𝒗ě𝒔𝒏𝒚
𝒔𝒊𝒏 𝜶 =
𝒅é𝒍𝒌𝒂 𝒑ř𝒆𝒑𝒐𝒏𝒚
kosinus úhlu
𝑑é𝑙𝑘𝑎 𝑝ř𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙é 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑦
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑑é𝑙𝑘𝑎 𝑝ř𝑒𝑝𝑜𝑛𝑦
tangens úhlu
𝑑é𝑙𝑘𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙é 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑦
𝑡𝑔𝛼 =
𝑑é𝑙𝑘𝑎 𝑝ř𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙é 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑦
kotangens úhlu
𝑑é𝑙𝑘𝑎 𝑝ř𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙é 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑦
𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼 =
𝑑é𝑙𝑘𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙é 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑦
Vzhledem k úhlu alfa je strana:
𝑎 … … … … … 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙á 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑎
𝑏 … … … … … … 𝑝ř𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙á 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑎
𝑐 … … … … … … … … … … 𝑝ř𝑒𝑝𝑜𝑛𝑎
Zapište goniometrické funkce úhlu alfa jako poměry
délek stran v příslušném pravoúhlém trojúhelníku:
Trojúhelník KLM


𝑘
𝑠𝑖𝑛𝛼 =
𝑚
𝑘
𝑡𝑔𝛼 =
𝑙
𝑙
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑚
𝑙
𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼 =
𝑘
Trojúhelník PQR
𝑞
𝑟
𝑞
𝑝
𝑝
𝑟
𝑝
=
𝑞
 𝑠𝑖𝑛𝛼 =
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
 𝑡𝑔𝛼 =
𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼
Výpočty v pravoúhlém trojúhelníku
Dopočítejte zbývající strany a úhly v pravoúhlém trojúhelníku ABC, jestliže:
𝒃 = 𝟏𝟐 𝒄𝒎, 𝒄 = 𝟏𝟑 𝒄𝒎
Výpočet:
• pomocí Pythagorovy věty
odvěsnu a 𝑎 = 𝑐 2 − 𝑏2
• pomocí funkce kosinus
𝑏
úhel alfa 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑐
• pomocí úhlu alfa úhel beta
𝛽 = 90° − 𝛼
Výsledek: 5 𝑐𝑚, 22°37´, 67°23´
𝒂 = 𝟐𝟒 𝒄𝒎, 𝜶 = 𝟑𝟓°𝟏𝟓´
Výpočet:
• pomocí úhlu alfa úhel beta
𝛽 = 90° − 𝛼
• pomocí funkce tangens
𝑎
stranu b 𝑏 = 𝑡𝑔𝛼
• pomocí Pythagorovy věty
přeponu c = 𝑎2 + 𝑏2
Výsledek:
54°45´, 34 𝑐𝑚, 42 𝑐𝑚
Hodnoty goniometrických funkcí vybraných úhlů
Zapište přesné hodnoty goniometrických funkcí pro úhly
30°, 45°, 60°. K výpočtu využijte obrázky:
sinus
kosinus
tangens
kotangens
30°
45°
60°
1
2
2
2
2
2
3
2
1
2
1
3
1
3
3
3
2
3
3
3
Slovní úlohy
Příklad č.1 Na břehu řeky je
změřena vzdálenost AB = 20 m
kolmá na směr AC. Z bodu B je vidět
bod C na protějším břehu pod úhlem
60°. Jaká je vzdálenost bodů A, C?
Řešení: pomocí funkce tangens.
Šířka řeky je 34,6 m.
Příklad č.2 Lanovka má délku 2 500 m.
Její sklon je 32°. Jaký je výškový rozdíl
dolní a horní stanice lanovky?
Řešení: pomocí funkce sinus.
Výškový rozdíl je 1324,8 m.
Slovní úlohy - procvičení
Příklad č. 1
Dvě přímé ulice se křižují v místě K v úhlu 51°. Místo A na jedné z těchto
ulic, vzdálené 1 625 m od křižovatky K, má být spojeno nejkratší cestou s
druhou ulicí. Jak dlouhá bude tato spojka? (1 263 m)
Příklad č. 2
Jaký je sklon žebříku délky 6,2 m, který je svým horním okrajem opřen ve
výšce 5,12 m? (55°40´)
Příklad č. 3
Určete poloměr kružnice, ve které ke středovému úhlu 66°20´ přísluší
tětiva délky 66 cm. (60,32 cm)
Příklad č. 4
Dvě navzájem kolmé síly působí v jednom bodě. Vypočtěte velikost
výslednice, jestliže síly mají velikost 25,6 N a 44,8 N. Určete velikost úhlu,
který svírá výslednice s kratší silou. (51,6 N; 60°15´)
Historická poznámka
 Podobně jako jiné vědy vznikla a rozvíjela se i nauka o
goniometrických funkcích při řešení praktických úloh.
Potřeba řešení úzce souvisela astronomií, mořeplavectvím
a stavebnictvím.
 Některé znalosti měli již Egypťané, Babyloňané a
Chaldejci, od kterých ve 4. st. př. n. l. získali základní
poznatky starořečtí matematici. Například dělení plného
úhlu na 360° a stupeň na 60´.
 Dnešní podobu trigonometrie vytvořil petrohradský
akademik švýcarského původu Leonhard Euler (1707-1783).
Rozšířil definici goniometrických funkcí na všechny úhly.
Použitá literatura:
PAVLÍKOVÁ, Pavla a SCHMIDT, Oskar. Základy matematiky. Vyd. 1. Praha:
Vydavatelství VŠCHT, 2006. vi, 264 s. ISBN 80-7080-615-X.
ODVÁRKO, Oldřich. Sbírka úloh z matematiky pro gymnázia. Funkce. 1. vyd.
Praha: Prometheus, 1997. 112 s. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-050-0.
KLODNER, Jaroslav. Sbírka úloh z matematiky pro obchodní akademie. 2. vyd.
Svitavy: Svitavská tiskárna, 1995. 166 s.
Použité zdroje:
Pro sestrojení grafů jsem použila program GeoGebra.
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na
všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá
autorskému zákonu.