Transcript Lineární funkce

Lineární funkce
Matematika – 9. ročník
Funkce
Definice
Funkce je předpis, který každému číslu x z množiny D
přiřadí právě jedno číslo y z množiny H.
Funkci obvykle zapisujeme ve tvaru
y = f(x), x ∈ D
nebo
f: x → y, x ∈ D
(čteme: Prvku x množiny D je funkcí f přiřazeno
reálné číslo y)
Funkce
Definiční obor a obor hodnot funkce
Definiční obor (značíme D(f)), je množina
všech přípustných hodnot argumentu x, tedy
všechny hodnoty, kterých může proměnná x
nabývat.
Obor hodnot (značíme H(f)) je poté množina
všech přípustných y, tedy množina všech prvků,
kam může ukazovat funkce f.
Funkce
Zadání
Funkce může být zadána:
Rovnicí
Tabulkou
Grafem
y = 2x – 3, x ∈ D
t (h)
1
s (km) 5, 5
2
3
4
5
6
11,0 16,5 22,0 27,5 33,0
Funkce
Graf
Grafem funkce y = f(x), x ∈ D
nazýváme množinu všech bodů roviny,
které mají souřadnice [x; y].
Lineární funkce
Definice
Každá funkce y = ax + b,
kde a a b jsou libovolná reálná čísla
a definičním oborem je množina všech
reálných čísel, se nazývá lineární funkce.
Grafem lineární funkce je přímka.
Oborem hodnot je množina všech reálných čísel.
Lineární funkce
Graf
Grafem lineární funkce je přímka.
Každá přímka je jednoznačně určena právě dvěma body. 6
Pro sestrojení grafu nám tudíž stačí dva údaje.
5
Sestrojte graf funkce: y = 2x – 1
4
3
2
x
-1
2
y
-3
3
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
Lineární funkce
Přímá úměrnost
Lineární funkce y = ax + b,
kde a ≠ 0 a b = 0, (tj. y = ax) jejímž
definičním oborem je množina všech
reálných čísel, se nazývá přímá úměrnost.
Grafem přímé úměrnosti je přímka,
procházející počátkem soustavy souřadnic.
Oborem hodnot je množina všech reálných čísel.
Přímá úměrnost
Graf
Grafem přímé úměrnosti je přímka,
procházející počátkem soustavy souřadnic.
6
Každá přímka je jednoznačně určena právě dvěma body.
5
Pro sestrojení grafu nám tudíž stačí dva údaje.
4
Sestrojte graf funkce: y = 2x
3
2
x
-1
2
y
-2
4
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
Lineární funkce
Konstantní funkce
Lineární funkce y = ax + b, kde a = 0
a b je libovolné reálné číslo, (tj. y = b), jejímž
definičním oborem je množina všech reálných
čísel, se nazývá konstantní funkce.
Grafem konstantní funkce je přímka
rovnoběžná s osou x.
Oborem hodnot je číslo b.
Konstantní funkce
Graf
Grafem konstantní funkce je přímka,
rovnoběžná s osou x.
6
Každá přímka je jednoznačně určena právě dvěma body.
5
Pro sestrojení grafu nám tudíž stačí dva údaje.
4
Sestrojte graf funkce: y = 2
x
-1
3
2
2
1
y
2
2
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
Funkce
Funkce rostoucí a klesající
Rostoucí funkce je funkce, pro kterou platí:
Zvětšují-li se hodnoty proměnné x,
zvětšuje se hodnota funkce.
Klesající funkce je funkce, pro kterou platí:
Zvětšují-li se hodnoty proměnné x,
zmenšuje se hodnota funkce.
Lineární funkce
Funkce rostoucí a klesající
Do jedné soustavy souřadnic sestrojte grafy funkcí
a) y = x + 2
b) y = - x + 2
6
5
4
3
x
-2
2
y
0
4
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
x
-2
2
-1
y
4
0
-2
1
2
3
4
5
6
-3
-4
-5
y=x+2
-6
y=-x+2
Lineární funkce
Funkce rostoucí a klesající
Lineární funkce y = ax + b je rostoucí, když a > 0.
Lineární funkce y = ax + b je klesající, když a < 0.
Lineární funkce y = ax + b je konstantní, když a = 0.
Lineární funkce
Příklad č. 1
1. Určete, zda jde o zápis lineární funkce (D = R):
a) 𝑦 = 5𝑥 – 7
a) ANO
d) 𝑦 = – 7 − 𝑥
d) ANO
g) 𝑦 =
2𝑥 2 +3𝑥 −4
5
g) NE
b) 𝑦 = −2𝑥 2 + 1
b) NE
e) 𝑦 =
2+3𝑥
4
e) ANO
h) 𝑦 =
2𝑥 −3
𝑥
h) NE
c) 𝑦 =
3𝑥 −2
4
c) ANO
f) 𝑦 =
2
𝑥
+1
f) NE
i) 𝑦 =
− 3 −2𝑥
7
i) ANO
Lineární funkce
Příklad č. 2
2. Určete, zda je daná lineární funkce rostoucí nebo klesající.
a) 𝑦 = 5𝑥 – 7
a) Rostoucí
d) 𝑦 = – 7 − 𝑥
d) Klesající
g) 𝑦 =
−3𝑥 −4
−2
g) Rostoucí
b) 𝑦 = −2𝑥 + 1
b) Klesající
e) 𝑦 =
2+3𝑥
4
e) Rostoucí
h) 𝑦 =
2𝑥 −3
4
h) Rostoucí
c) 𝑦 = − 8
c) Konstantní
f) 𝑦 =
−2𝑥
3
+1
f) Klesající
i) 𝑦 = 0
i) Konstantní
Lineární funkce
Příklad č. 3
3. Zjisti, zda body A[1; 1]; B[-1; 1]; C[-2; 7]
a D[2; -7] leží na grafu funkce y = -2x + 3.
A[1; 1]
1 = -2 · 1 + 3
A[-1; 1]
1 ≠ -2 · (-1) + 3
A[-2; 7]
7 = -2 · (-2) + 3
A[2; -7]
-7 ≠ -2 · 2 + 3
1 = -2 + 3
1≠2+3
7=4+3
-7 ≠ -4 + 3
1=1
1≠5
7=7
-7 ≠ -1
Bod A leží
na grafu
lineární funkce
y = -2x + 3
Bod B neleží
na grafu
lineární funkce
y = -2x + 3
Bod C leží
na grafu
lineární funkce
y = -2x + 3
Bod D neleží na
grafu lineární
funkce
y = -2x + 3
Lineární funkce
Průsečíky grafu s osami
y=3x
6
Do jedné soustavy souřadnic sestrojte grafy funkcí
a) y = 3x + 2
c) y = 3x - 2
b) y = 3x
5
4
3
x
-2
1
y
-4
5
2
1
-6
x
-2
1
y
-6
3
x
-1
-5
-4
-3
-2
-1
0
2
3
4
5
6
-1
-2
y=3x–2
-3
-4
2
-5
y
1
-5
4
y = 3x + 2
-6
Průsečík s osou y
má souřadnice [0; b]
Lineární funkce
Příklad č. 4, 5
4. Urči průsečíky grafu lineární funkce y = – x – 3 s osami.
Průsečík s osou y má souřadnice [0; b]
Průsečík s osou x má souřadnice [x; 0]
⇒
⇒
Y[0; – 3]
0=–x–3
x=–3
X[– 3 ; 0]
5. Urči rovnice lineární funkce jejíž graf protíná osy v bodech
X[2; 0] a Y[0; – 1].
y = ax + b
y = ax – 1 (průsečík s osou y má souřadnice [0; b]
0 = 2a – 1 (do rovnice dosadíme souřadnice bodu X
a = 0,5
y = 0,5x – 1
⇒
Lineární funkce
Příklad č. 6
6. Urči rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body
A[– 2; 3] a B[2; – 1] .
y = ax + b
Do obecné rovnice lineární funkce
dosadíme souřadnice bodu A
Do obecné rovnice lineární funkce
dosadíme souřadnice bodu B
3 = – 2a + b / · (– 1)
– 1 = 2a + b
Vyřešíme soustavu lineárních rovnic
Řešením je rovnice
y = – 4x + 7
⇒ – 1 = 2 · (– 4) + b
– 4 = 4a
a=–4
b=7
Lineární funkce
Příklad č. 7 – 10
7. Zjisti, zda body A[1; 2]; B[-1; -2]; C[-2; 7] A – ANO, B – NE,
a D[-1; -4] leží na grafu funkce y = 3x - 1. C – NE, D - ANO
8. Urči průsečíky grafu lineární funkce
y = –2x + 1 s osami.
Y[0, 1], X[0,5; 0]
9. Urči rovnice lineární funkce jejíž graf
protíná osy v bodech X[4; 0] a Y[0; 3].
3
𝑦 =− 𝑥+3
4
10. Urči rovnici lineární funkce, jejíž graf
prochází body A[– 1; – 3] a B[2; 1] .
4
5
𝑦= 𝑥 −
3
3