Transcript 216_Funkce - goniometrické funkce (2)_Prezentace

VY_32_INOVACE_04_PVP_216_Kli
Název školy
Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod
Název OP
OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost
Registrační číslo projektu
CZ.1.07/1.5.00/34.0258
Název projektu
Inovace a individualizace výuky na OA a HŠ
Šablona
III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Označení vzdělávacího materiálu VY_32_INOVACE_04_PVP_216_Kli
Druh učebního materiálu
Prezentace
Autor
Mgr. Květa Klímová
Vzdělávací obor, pro který je
materiál určen
Hotelnictví, Ekonomické lyceum, Obchodní akademie
Předmět
Matematika
Ročník
druhý
Název tematické oblasti (sady)
Funkce
Název vzdělávacího materiálu
Funkce - goniometrické funkce (2)
Anotace
Vzdělávací materiál obsahuje zavedení pojmu orientovaný úhel,
oblouková míra úhlu a definice goniometrických funkcí
orientovaného úhlu. Je zařazen jeden úkol pro žáky na počítači v
programu GeoGebra. Materiál lze využít ve druhém ročníku
studijních oborů v matematice při výkladu nové látky nebo ve třetím
ročníku v semináři při opakování učiva.
Zhotoveno, (datum/období)
červen 2013
Ověřeno
16. dubna 2014
Orientovaný úhel 𝐴𝑉𝐵
 je uspořádaná dvojice polopřímek → 𝑉𝐴; → 𝑉𝐵, kde → 𝑉𝐴 je
počáteční rameno, → 𝑉𝐵 je koncové rameno a bod V je vrchol
orientovaného úhlu.
 Velikost orientovaného úhlu 𝐴𝑉𝐵 je ve stupňové míře:
𝐴𝑉𝐵 = 𝛼 + 𝑘. 360°, 𝑘𝑑𝑒 𝛼 ∈ 0°;°360° , 𝑘 ∈ 𝑍
Příklad: Vyjádři základní úhel 𝛼 a uči hodnotu 𝑘, jestliže 𝐴𝑉𝐵 =
760°. (𝛼 = 40°, 𝑘 = 2 .
 Otáčí-li se koncové rameno do počátečního ve směru pohybu
hodinových ručiček, je hodnota úhlu záporná.
 Otáčí-li se koncové rameno do počátečního proti směru pohybu
hodinových ručiček, je hodnota úhlu kladná.
Oblouková míra velikosti úhlu
Základní jednotkou je 1 radián (zkratka rad).
Je to velikost středového úhlu v kružnici 𝑘 𝑆; 𝑟 , který na této
kružnici vytíná oblouk délky 𝑟.
Převod mezi stupňovou a obloukovou mírou je odvozen z
jednotkové kružnice (𝑟 = 1 . Délce jednotkové kružnice
2𝜋𝑟 = 2𝜋 odpovídá úhel 360°. Pak tedy platí:
180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 1° = 0,017453 𝑟𝑎𝑑 1 𝑟𝑎𝑑 = 57°17´45´´ .
Poznámka:
Velikost úhlu v obloukové míře se obvykle zapisuje reálným
číslem bez udání jednotek. Často to bývají násobky čísla 𝜋.
Převod mezi stupňovou a obloukovou mírou
 Jedním ze způsobů převodu je využití trojčlenky. Závislost mezi
stupni a radiány je přímá úměrnost.
𝜋 … … … … … … … 180°
v radiánech 𝛼 … … … … … … … … 𝛼0 ve stupních
 Příklad: Vyjádřete v obloukové míře 120°.
120. 𝜋 2
𝛼=
= 𝜋
180
3
 Příklad: Vyjádřete ve stupňové míře
11
𝜋.
6
11
𝛽=
∙ 180° = 330°
6
Převody - procvičení
 Převeďte do obloukové míry
30°, 45°, 60°, 90°, 135°, 240°, 315°, 360°, 720°, 810°
°
30
45
60
90
135
240
315
360
720
810
rad
𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
𝜋
2
3𝜋
4
4𝜋
3
7𝜋
4
2𝜋
4𝜋
9𝜋
2
 Převeďte do stupňové míry
5
11
7
7
5
10
7
1
5
𝜋, 𝜋, 𝜋, 𝜋, 𝜋, 𝜋, 3𝜋, 𝜋, 𝜋, 𝜋
6
4
5
6
4
9
2
10
18
rad
°
𝟕
𝟕
𝟕
𝟏𝟎
𝟏
𝟏𝟏
𝟓
𝟓
𝟓
𝟑𝝅
𝝅
𝝅
𝝅
𝝅
𝝅
𝝅
𝝅
𝝅
𝝅
𝟓
𝟔
𝟐
𝟗
𝟏𝟎
𝟒
𝟔
𝟏𝟖
𝟒
150° 495° 252° 210° 225° 200° 540° 630° 18° 50°
Zavedení goniometrických funkcí sinus a kosinus
Do jednotkové kružnice sestrojíme
úhel 𝐴𝑉𝐵 tak, že 𝐴 = 1; 0 a bod 𝐵
leží na jednotkové kružnici.
Funkce 𝑓: 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝛼 a 𝑔: 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝛼
jsou definovány jako souřadnice
bodu 𝐵.
𝒔𝒊𝒏𝜶 = 𝑩𝒚
𝒄𝒐𝒔𝜶 = 𝑩𝒙
(Tyto funkce jsou definovány pro
libovolný úhel.)
Z polohy bodu B vyplývá, že jeho
souřadnice jsou odvěsnami
pravoúhlého trojúhelníku s
přeponou 1. Podle Pythagorovy
věty platí:
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏
Úkol:
V programu GeoGebra řešte následující úkoly:
a) Sestrojte jednotkovou kružnici se středem v počátku
soustavy souřadnic.
b) Upravte osy tak, aby jednotková kružnice zabírala zhruba
dvě třetiny nákresny a přitom na osách byly vyznačeny
pouze jednotky.
c) Sestrojte libovolnou polopřímku s počátkem v počátku
soustavy souřadnic a druhým bodem B na jednotkové
kružnici.
d) Pohybujte bodem B po kružnici a sledujte změnu
znamének souřadnic v závislosti na kvadrantech
(v algebraickém okně).
e) Výsledek svého pozorování sestavte do vhodné tabulky.
Řešení úkolu:
Vzhledem k tomu, že souřadnice
představují hodnoty
goniometrických funkcí, lze
výsledky sestavit do tabulky:
kvadrant
I.
II.
III.
IV.
𝑠𝑖𝑛𝛼
+
+
-
-
𝑐𝑜𝑠𝛼
+
-
-
+
Lze také vyvodit:
úhel
𝟎°
𝟗𝟎°
𝟏𝟖𝟎°
𝟐𝟕𝟎°
𝟑𝟔𝟎°
𝑠𝑖𝑛𝛼
0
1
0
−1
0
𝑐𝑜𝑠𝛼
1
0
−1
0
1
Další vztahy mezi goniometrickými funkcemi
Funkce 𝑡𝑔𝛼 a 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼 jsou definovány jako poměry:
𝒔𝒊𝒏𝜶
𝒄𝒐𝒔𝜶
𝒕𝒈𝜶 =
𝒄𝒐𝒕𝒈𝜶 =
𝒄𝒐𝒔𝜶
𝒔𝒊𝒏𝜶
U obou funkcí je ale třeba stanovit podmínky pro smysl
zlomku (𝑐𝑜𝑠𝛼 ≠ 0, 𝑠𝑖𝑛𝛼 ≠ 0 .
Z výše uvedeného vyplývají další vztahy:
𝟏
𝟏
𝒕𝒈𝜶. 𝒄𝒐𝒕𝒈𝜶 = 𝟏 𝒕𝒈𝜶 =
𝒄𝒐𝒕𝒈𝜶 =
𝒄𝒐𝒕𝒈𝜶
𝒕𝒈𝜶
Pomocí vztahů mezi goniometrickými funkcemi lze počítat
hodnoty další funkcí bez výpočtu argumentu nebo upravovat
goniometrické výrazy nebo rovnice.
Použitá literatura:
ODVÁRKO, Oldřich. Sbírka úloh z matematiky pro gymnázia. Funkce. 1. vyd.
Praha: Prometheus, 1997. 112 s. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-050-0.
ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia. Funkce. 4. vyd. Praha:
Prometheus, 2008. 168 s. Učebnice pro střední školy. ISBN 978-80-7196-357-8.
Použité zdroje:
Pro sestrojení grafů jsem použila program GeoGebra.
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na
všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá
autorskému zákonu.