Transcript Soustava lineární a kvadratické rovnice

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420
Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín
NÁZEV MATERIÁLU:
Soustava lineární a kvadratické rovnice
Autor: Mgr. Břetislav Macek
Rok vydání: 2013
Tento projekt je spolufinancován ESF a státním rozpočtem ČR. Byl uskutečněn z prostředků projektu OP VK. Materiály
jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv
další využití podléhá Autorskému zákonu. Materiál je publikován pod licencí Creative Commons – Uveďte autora Neužívejte komerčně - Nezasahujte do díla 3.0 Česko.
Soustava
lineární a kvadratické
rovnice
Osnova
a)
b)
c)
d)
e)
pojem soustava rovnic
metody řešení soustav rovnic
způsoby řešení soustavy lineární a kvadratické rovnice
ukázkové příklady
příklady na procvičení včetně řešení
Soustava rovnic
• v soustavě rovnic pracujeme se dvěma či více
rovnicemi
• není podmínkou, aby všechny rovnice byly
lineárního typu
Způsoby řešení soustav lineární a
kvadratické rovnic
• početní – vyřešením soustavy rovnic
• graficky – pomocí funkcí a grafů
Početní řešení soustav rovnic
• sčítací metoda
– snažíme se vynulovat (vyškrtnout) jednu námi vybranou
neznámou; při této metodě může dojít k násobení či dělení
jedné či obou rovnic nějakým číslem
• dosazovací metoda
– při této metodě si z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou
a toto vyjádření pak dosadíme do zbývající rovnice či rovnic
Ukázkový příklad (početní způsob):
x + 6y = 10  x = 10 – 6y
vyjádříme jednu neznámou
x2 + 4y2 = 10
(10 – 6y)2 + 4y2 = 10
dosadíme do druhé rovnice
100 – 120y + 36y2 + 4y2 = 10
40y2 – 120y + 90 = 0 /:10
4y2 – 12y + 9 = 0
obdržíme kvadratickou rovnici
vyřešíme tuto kvadratickou rovnici dle možnosti
jelikož diskriminant vyšel 0, kvadratická rovnice má jeden dvojnásobný
kořen (tedy y1 = y2)
musíme dále dořešit čemu se bude rovna x
x = 10 – 6y
x = 10 – 6.1,5
x = 10 – 9
x1;2 = 1
dosadíme za y naše y1 a posléze y2
v neposlední řadě musíme správně napsat výsledek toho příkladu
[ x1; y1] ; [ x2; y2]
 [ 1; 1,5]
Příklady na procvičení
př. 1: x2 + y2 – 4 = 0
x + 2y = 4
Řešení
př. 2: 5xy – y2 + 14 = 0
2x – y – 4 = 0
Řešení
přeskočit
Řešení př. 1:
x2 + y2 – 4 = 0
x + 2y = 4  x = 4 – 2y
(4 – 2y)2 + y2 – 4 = 0
16 – 16y + 4y2 + y2 – 4 = 0
5y2 – 16y + 12 = 0
Řešení př. 1:
x1 = 4 – 2.y1
x2 = 4 – 2.y2
x1 = 4 – 2.
x1 = 4 –
x1 =
–
x1 =
x2 = 4 – 2. 2
x2 = 4 – 4
x2 = 0
[
[ 0 ; 2]
;
]
zpět
Řešení př. 2:
5xy – y2 + 14 = 0
2x – y – 4 = 0  2x – 4 = y
5x(2x – 4) – (2x – 4)2 + 14 = 0
10x2 – 20x – (4x2 – 16x + 16) + 14 = 0
10x2 – 20x – 4x2 + 16x – 16 + 14 = 0
6x2 – 4x – 2 = 0 /:2
3x2 – 2x – 1 = 0
Řešení př. 2:
2.1 – 4 = y1
2 – 4 = y1
– 2 = y1
[ 1; -2]
2.
– 4 = y2
– 4 = y2
= y2
= y2
[
;
]
zpět
Grafické řešení soustav rovnic
• využíváme k tomu funkce a grafy funkcí
– tam, kde se nám grafy funkcí protnou dostáváme řešení
soustavy; výsledky jsou v podobně souřadnic bodů
Ukázkový příklad (grafický způsob):
x – y = 5  f1: y = x – 5
vyjádříme první rovnici jako funkci
xy = 6  f2: y =
vyjádříme druhou rovnici jako funkci
tabulka pro f1 – lineární funkce (přímka) – D(f) = R
x
0
1
y
-5
-4
v tabulce stačí 2 body
tabulka pro f2 – lineární lomená funkce (hyperboly) – D(f) = R – {0}
x
-3
-2
-1
1
2
3
y
2
3
6
-6
-3
-2
v tabulce musí být 3 body, respektive 6 bodů, protože jsou dvě hyperboly
[ x1; y1] ; [ x2; y2]
 A = [ 3; - 2] ; B = [ 2; - 3]
Příklady na procvičení
př. 1: 4x + 2y - 6 = 0
x2 – y = 0
Řešení
př. 2: y = x2
xy = 8
Řešení
přeskočit
Řešení př. 1:
4x + 2y – 6 = 0  f1: y = -2x + 3
x2 – y = 0  f2: y = x2
tabulka pro f1 – lineární funkce (přímka) – D(f) = R
x
0
2
y
3
-1
tabulka pro f2 – kvadratická funkce (parabola) – D(f) = R
x
-2
-1
0
1
2
y
4
1
0
1
4
souřadnice vrcholu V = [ 0; 0]
[ x1; y1] A = [ 1; 1]
[ x2; y2] B = [- 3; 9]
zpět
Řešení př. 2:
y = x2  f1: y = x2
xy = 8  f2: y =
tabulka pro f1 – kvadratická funkce (parabola) – D(f) = R
x
-2
-1
0
1
2
y
4
1
0
1
4
souřadnice vrcholu V = [ 0; 0]
tabulka pro f2 – lineární lomená funkce (hyperboly) – D(f) = R – {0}
x
-4
-2
-1
1
2
4
y
-2
-4
-8
8
4
2
v tabulce musí být 3 body, respektive 6 bodů, protože jsou dvě hyperboly
[ x1; y1] A = [ 2; 4]
zpět
Shrnutí
• způsoby řešení soustava rovnic
– početní
a)
b)
metoda sčítací
metoda dosazovací
– graficky
– pomocí funkcí a grafů
Zdroje
• HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z
matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání.
Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005. Učebnice pro
střední školy. ISBN 80-7196-318-6