Transcript Kvadratická nerovnice - Mendelova střední škola, Nový Jičín, po

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420
Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín
NÁZEV MATERIÁLU:
Kvadratická nerovnice
Autor: Mgr. Břetislav Macek
Rok vydání: 2013
Tento projekt je spolufinancován ESF a státním rozpočtem ČR. Byl uskutečněn z prostředků projektu OP VK. Materiály
jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv
další využití podléhá Autorskému zákonu. Materiál je publikován pod licencí Creative Commons – Uveďte autora Neužívejte komerčně - Nezasahujte do díla 3.0 Česko.
Kvadratická nerovnice
Osnova
a)
b)
c)
d)
pojmem kvadratická nerovnice
způsoby řešení kvadratické nerovnice
ukázkové příklady
příklady na procvičení včetně řešení
Kvadratická nerovnice
• Kvadratickou nerovnicí nazýváme nerovnicí v
obecném tvaru
ax2 + bx + c > 0 , kde koeficienty a,b,c R, a ≠ 0
pozn.: znakem nerovnosti může být > , < , ≥ , ≤
pozn.: řešením kvadratické nerovnice je interval (výjimečně něco jiného)
pozn.: při násobení nebo dělení záporným číslem obrátit znaménko
Způsoby řešení kvadratické nerovnice
• početní
krok 1.) nerovnici převedeme na rovnici a vyřešíme tuto
rovnici
krok 2.) napíšeme součin závorek s kořeny rovnice
krok 3.) vyřešíme nerovnici v součinovém tvaru
krok 4.) napíšeme řešení příkladu
Ukázkový příklad:
x(5x + 1) > (x + 1)2 + 2 – 5x
5x2 + x > x2 + 2x + 1 + 2 – 5x
4x2 + 4x – 3 > 0
4x2 + 4x – 3 = 0
(převedeme na kvadratickou rovnici)
(vyřešíme kořeny rovnice)
x1 = -3/2 ; x2 = ½
a(x – x1)(x – x2)
(rozložíme na součin dvou závorek)
4(x + 3/2)(x – ½) > 0 / :4
(x + 3/2)(x – ½) > 0
a
b
a.b > 0 < = > a > 0
b>0
a<0
(vyřešíme dle daného schématu)
b<0
a>0
b>0
(x + 3/2) > 0
x > - 3/2
(vyřešíme levou stranu schématu)
(x – ½) > 0
x>½
(řešíme dvě lineární nerovnice)
(zaneseme do grafu; hledáme průnik)
- 3/2
½
(napíšeme výsledek levé strany schématu)
a<0
b<0
(x + 3/2) < 0
x < - 3/2
(vyřešíme pravou stranu schématu)
(x – ½) < 0
x<½
(řešíme dvě lineární nerovnice)
(zaneseme do grafu; hledáme průnik)
- 3/2
½
(napíšeme výsledek levé strany schématu)
(oba výsledky sjednotíme; konečné řešení)
Příklady na procvičení
př. 1: 2 – 5x – 3x2 < 0
Řešení
Př. 2: 21 – 29x ≤ (6 – 4x)(3 – 2x)
Řešení
přeskočit
Řešení př. 1:
2 – 5x – 3x2 < 0
- 3x2 – 5x + 2 < 0
- 3x2 – 5x + 2 = 0
a(x – x1)(x – x2)
-3(x - 1/3)(x + 2) < 0 / :(-3)
(x – 1/3)(x + 2) > 0
x1 = 1/3 ; x2 = -2
a.b > 0 < = > a > 0
a>0
(x - 1/3) > 0
x > 1/3
-2
b>0
(x + 2) > 0
x > -2
1/3
a
b>0
b
a<0
b<0
a<0
(x - 1/3) < 0
x < 1/3
-2
b<0
(x + 2) < 0
x < -2
1/3
zpět
Řešení př. 2:
21 – 29x ≥ (6 – 4x)(3 – 2x)
21 – 29x ≥ 18 – 12x – 12x + 8x2
21 – 29x ≥ 18 – 24x + 8x2
- 8x2 – 5x + 3 ≥ 0
- 8x2 – 5x + 3 = 0
a(x – x1)(x – x2)
-8(x - 3/8)(x + 1) ≥ 0 / :(-8)
(x – 3/8)(x + 1) ≤ 0
a
b
x1 = 3/8 ; x2 = -1
a.b ≤ 0 < = > a ≥ 0
a≥0
(x - 3/8) ≥ 0
x ≥ 3/8
-1
b≤0
(x + 1) ≤ 0
x ≤ -1
3/8
b≤0
a≤0
b≥0
a≤0
(x - 3/8) ≤ 0
x ≤ 3/8
-1
b≥0
(x + 1) ≥ 0
x ≥ -1
3/8
zpět
Způsoby řešení kvadratické nerovnice
• graficky
krok 1.) nerovnici převedeme na rovnici a vyřešíme tuto
rovnici
krok 2.) kořeny rovnice zaneseme na osu x
krok 3.) zjistíme tvar grafu
krok 4.) dle kvadratické nerovnice zjistíme, kde se nachází
řešení
krok 5.) napíšeme řešení příkladu
Ukázkový příklad:
- 3x2 + 7x + 6 < 0 / .(-1) (vynásobíme -1; musíme převrátit znaménko)
3x2 – 7x – 6 > 0
3x2 – 7x – 6 = 0
(vyřešíme kořeny kvadratické rovnice)
x1 = -2/3 ; x2 = 3
(zaneseme kořeny na osu x; průsečíky s grafem)
(určíme tvar grafu --- a > 0)
(hledáme část, která je nad osou x; zeleně)
(zaneseme kolečka; podle znaku nerovnosti)
a=3
y
(označíme řešení na ose x; červeně)
-2/3
3
x
(napíšeme řešení)
Příklady na procvičení
př. 1: 8x2 – 10x - 3 ≤ 0
Řešení
př. 2: (x + 3)(1 – x) ≤ 2x2 + 8x + 8 – 5x – 7
Řešení
přeskočit
Řešení př. 1:
8x2 – 10x – 3 ≤ 0
8x2 – 10x – 3 = 0
x1 = 3/2 ; x2 = -1/4
a > 0 ..... a = 8
y
x
-1/4
3/2
zpět
Řešení př. 2:
(x + 3)(1 – x) ≤ 2x2 + 8x + 8 – 5x – 7
x – x2 + 3 – 3x ≤ 2x2 + 8x + 8 – 5x – 7
-3x2 – 5x + 2 ≤ 0
-3x2 – 5x + 2 = 0
x1 = 1/3 ; x2 = - 2
a < 0 ..... a = -3
y
-2
1/3
x
zpět
Zvláštní příklady
př. 1: - 4.(3x + x2) < 7x + 24
Řešení
př. 2: 3x2 – 7x + 6 < 0
Řešení
přeskočit
Řešení př. 1:
- 4.(3x + x2) < 7x + 24
- 12x – 4x2 < 7x + 24
- 4x2 – 19x – 24 < 0
- 4x2 – 19x – 24 = 0
D = (-19)2 – 4.(-4).(-24) = 361 – 384 = -13
rovnice nemá řešení v R
ALE nerovnice lze řešit !!!!!
a < 0 .... a = -4
y
x
celý graf je pod osou x, proto je řešením  R
zpět
Řešení př. 2:
3x2 – 7x + 6 < 0
3x2 – 7x + 6 = 0
D = (-7)2 – 4.3.6 = 49 – 72 = -23
kvadr. rovnice nemá řešení v R
ALE kvadr. nerovnice lze řešit !!!
a > 0 .... a = 3
y
x
žádná část grafu není pod osou x, proto je řešením 
zpět
Shrnutí
• obecný tvar kvadratické nerovnice
ax2 + bx + c > 0
• způsoby řešení
a) početně
b) graficky
• zvláštní případy – řešením je R nebo prázdná
množina
Zdroje
• HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z
matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání.
Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005. Učebnice pro
střední školy. ISBN 80-7196-318-6
• HEJKRLÍK, Pavel. Sbírka řešených příkladů – rovnice a
nerovnice. 1. vydání. Opava: SSŠP, spol. s r.o., 2006.
ISBN 978-80-903861-0-5