Transcript Nerovnice - druhy řešení dle definičního oboru

Nerovnice
Druhy řešení
podle definičního oboru
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Lineární nerovnice - opakování
Lineární nerovnice je zápis nerovnosti dvou výrazů (v obecném
tvaru a.x + b < 0 , kde se mohou vyskytovat znaménka nerovnosti >,
<, ,  ), ve kterém máme najít všechna čísla dané množiny
(neznámé), která splňují danou nerovnost.
2.x + 6 > 0
Postup řešení nerovnic je obdobný jako při
řešení rovnic s tou výjimkou, že pokud
násobíme nebo dělíme nerovnici záporným
znaménka
= (rovná
se)
číslem, Místo
mění
se znak
nerovnosti
v opačný.
užívaného v rovnicích se
nerovnicích
U nerovnic a vurčení
jejichobjevují
řešeníznaménka
hraje podstatnou roli i číselný obor,
> (je většířešíme.
než), < (je menší než), 
ve kterém nerovnici
(je větší nebo rovno) nebo  (je
Jestliže řešíme
nerovnici v přirozených či celých číslech, pak
menší nebo rovno).
je řešením zpravidla množina prvků. Jestliže řešíme nerovnici
v reálných číslech, pak je řešením zpravidla interval.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Druhy řešení
Nerovnice může mít 3 různá řešení:
Po několika krocích ekvivalentních úprav tak můžeme dostat některé
z následujících řešení:
1)
7 < 4 nebo -3 > 1 nebo -2  -5,5
Tedy nepravdivý matematický výraz, nepravdivá nerovnost,
což znamená, že nerovnice nemá žádné řešení.
2)
7 > 4 nebo -3 < 1 nebo -2  -5,5
Tedy pravdivý matematický výraz, pravdivá nerovnost, což
znamená, že nerovnice má nekonečně mnoho řešení,
přesněji řečeno všechna čísla z dané množiny definičního
oboru.
3)
x > 5 nebo y  -3
Tedy nerovnost, určující také nekonečně mnoho řešení,
přesněji řečeno interval čísel. Řešením je tedy spojitá část
(množina) čísel definičního oboru.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Druhy řešení
Nerovnice může mít 3 různá řešení:
Po několika krocích ekvivalentních úprav, tak můžeme dostat některé
z následujících řešení:
1.)
Kromě
prvního
nerovnic
zbývajících
7 < druhu
4 nebořešení
-3 > 1
nebo -2se
 ve
-5,5
dvouTedy
objevuje
odvolávka
na definiční
obor. Nynínerovnost,
se tedy
nepravdivý
matematický
výraz, nepravdivá
podíváme,
co to vžepraxi
znamená.
což znamená,
nerovnice
nemá žádné řešení.
2.)
7 > 4 nebo -3 < 1 nebo -2  -5,5
Tedy pravdivý matematický výraz, pravdivá nerovnost, což
znamená, že nerovnice má nekonečně mnoho řešení,
přesněji řečeno všechna čísla z dané množiny definičního
oboru.
3.)
x > 5 nebo y  -3
Tedy nerovnost, určující také nekonečně mnoho řešení,
přesněji řečeno interval čísel. Řešením je tedy spojitá část
(množina) čísel definičního oboru.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Druhy řešení – podle definičního oboru
Řešte nerovnici v R:
17  2  x  3   2 x  1
17  2  x  3   2 x  1
17  2 x  6  2 x  1
Reálná čísla
Nerovnice má
/  4x
17  4 x  5
v množině reálných
čísel nekonečně
17  4 x  4 x  5  4 x
Nejdříve se
zbavíme
závorek,
mnoho
řešení
17  4 x  5
/  17
a to tak, že je
určených
spojitým
roznásobíme.
17  4 x  17  5  17
intervalem čísel od
Převede všechny
/ :  4 
 4 x  12
mínus
nekonečna do
členy
s neznámou
 4 x :  4  12 :  4
na
levou stranu
a
trojky
včetně.
členyvydělíme
bez neznámé
Nerovnici
číslem –4.
x 3
pravou. či
Pozorna
na stranu
to, že násobíme-li
x   ; 3
dělíme-li nerovnici záporným
číslem, musíme obrátit
znaménko nerovnosti!
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Druhy řešení - ověření
Řešte nerovnici v R:
17  2  x  3   2 x  1
Řešení ... x   ; 3
Ověření:
Provedeme si tedy ověření správnosti, nejprve pro „hraniční“ číslo x=3.
L3  17
L3  P 3
P 3  2  3  3   2  3  1  2  6   5  12  5  17
Prone
číslo,
Ověření správnosti,
tedykteré není
A nyní si provedeme ověření správnosti
pro jiné
než „krajní“
číslo
řešením,
tedy není
zkouška, protože
většinou
intervalua řešení, daná
intervalu řešení, např. pro x=0.je řešením celýz interval
nerovnost neplatí!
my nemáme možnost
17
hraniční bod
všechna číslaPro
z daného
intervalu
řešení, ovšem
intervalu
dosadit.
2 jen
 3 pokud
 1  je6 součástí
1 5
řešení, nastává vždy
A na závěr si provedeme ověření správnosti pro číslo, které není
rovnost!
L0 
P 0  2  0  3   2  0  1 
L0  P 0
řešením nerovnice, které nepatří do intervalu řešení, např. pro x=5.
Pro jiné než „hraniční“
L5   17
L5  P 5
číslo intervalu řešení
 5 daná
1 nerovnost!
2  8   9  16  9  25
P 5   2  5  3   2platí
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Druhy řešení – podle definičního oboru
Řešte nerovnici v Z:
17  2  x  3   2 x  1
17  2  x  3   2 x  1
17  2 x  6  2 x  1
Celá čísla
Ještě jednou si
/  4x
17  4 x  5
tedy projdeme
Nerovnice
má celý
postup řešení
této
17  4 x  4 x  5  4 x
Nejdříve
se
vzbavíme
množině
celých
nerovnice.
Ten se
závorek,
17  4 x  5
v závislosti
na
/  17
čísel
a totiž
to nekonečně
tak,
že je
zadaném
roznásobíme.
mnoho
řešení
17  4 x  17  5  17
definičním
oboru
Převede
všechnynemění!
určených
množinou
/ :  4 
 4 x  12
členy s neznámou
čísel
(bodů).
na levou
stranu
a
 4 x :  4  12 :  4
členy bez neznámé
stranu pravou.
x 3
x  na...;
 2vydělíme
;  1;číslem
0;1–4.; 2; 3
Nerovnici

…
Pozor na to, že násobíme-li či
dělíme-li nerovnici záporným
číslem, musíme obrátit
znaménko nerovnosti!
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Druhy řešení – podle definičního oboru
Řešte nerovnici v N:
17  2  x  3   2 x  1
17  2  x  3   2 x  1
Přirozená
17  2 x  6  2 x  1
čísla
A totéž ještě jednou.
/  4x
17  4 x  5
A vzhledem k tomu,
Nerovnice
17  4 x  4 x  5  4 x
že již Nejdříve
víme, žemá
postup
se
úprav
nerovnice
se
zbavíme
závorek,
v
množině
17  4 x  5
/  17
vazávislosti
to tak, že na
je
přirozených
čísel
zadaném
definičním
roznásobíme.
17  4 x  17  5  17
oboru nemění,
konečnou
množinu
Převede
všechny
můžete
jej
již
rychle
/ :  4 
 4 x  12
členy
s
neznámou
řešení
- čísel (bodů).
„překlikat“!
na levou stranu a
 4 x :  4  12 :  4
členy bez neznámé
Nerovnici vydělíme číslem –4.
na
stranu
x 3
Pozor
že
xnato,pravou.
1;násobíme-li
2; 3 či


dělíme-li nerovnici záporným
číslem, musíme obrátit
znaménko nerovnosti!
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Druhy řešení – podle definičního oboru
Řešte nerovnici v R - :
17  2  x  3   2 x  1
17  2  x  3   2 x  1
Záporná
17  2 x  6  2 x  1
Nerovnice má
reálná čísla
/  4x
17  4 x  5
v množině
záporných reálných
17  4 x  4 x  5  4 x
čísel nekonečně
17  4 x  5
/  17
mnoho řešení
17  4 x  17  5  17
určených spojitým
/ :  4 
 4 x  12
intervalem čísel od
 4 x :  4  12 :  4
mínus nekonečna do
x 3
nuly (ta však již řešením není).
x   ; 0
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Druhy řešení – podle definičního oboru
x  3   2x  1
17  2  x  3   2 x  1
Řešte nerovnici v R+0 : 17  2 
17  2 x  6  2 x  1
/  4x
17  4 x  5
Nezáporná
reálná čísla
17 (tj.
 4kladná
x 4
x  5  4x
a
17  4nula)
x 5
/  17
17  4 x  17  5  17
/ :  4 
 4 x  12
 4 x :  4  12 :  4
x 3
Nerovnice má
v množině
nezáporných
reálných čísel
nekonečně mnoho
řešení určených
spojitým intervalem
čísel od nuly (včetně) do
tří (včetně).
x  0;3
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Druhy definičních oborů
N … množina všech přirozených čísel
Z …
Z+ …
Z- …
Z+0 …
Z-0 …
množina všech
množina všech
množina všech
množina všech
množina všech
celých čísel
kladných celých čísel
záporných celých čísel
celých nezáporných čísel
celých nekladných čísel
R …
R+ …
R- …
R+0 …
množina všech
množina všech
množina všech
množina všech
reálných čísel
kladných reálných čísel
záporných reálných čísel
reálných nezáporných čísel
R-0 … množina všech reálných nekladných čísel
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklady k procvičení
Řešte nerovnici v R:
2 x  15  2x  3  3 x  4
Reálná čísla
Klikněte pro zobrazení výsledku
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklady k procvičení
Řešte nerovnici v R :
2 x  15  2x  3  3 x  4
2 x  15  2 x  6  3 x  4
4x  9  3x  4
/  3x
4x  9  3x  3x  4  3x
x 9   4
/9
x 99   4 9
x 5
x   ; 5
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklady k procvičení
Řešte nerovnici:
2 x  15  2x  3  3 x  4
x 5
Jak by vypadalo řešení, kdyby se nerovnice řešila:
1) v N
2) v Z
3) v Z+
4) v Z5) v Z- 0
... x  {1; 2; 3; 4}
... x  {...; 3;  2;  1; 0;1; 2; 3; 4}
... x  {1; 2; 3; 4}
... x  {...; 3;  2;  1}
... x  {...; 3;  2;  1; 0}
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklady k procvičení
Řešte nerovnici:
2 x  15  2x  3  3 x  4
x 5
Jak by vypadalo řešení, kdyby se nerovnice řešila:
6) v Z+ 0
7) v R+
8) v R9) v R+ 0
10) v R- 0
... x  {0;1; 2; 3; 4}
... x  0; 5
... x   ; 0
... x  0; 5
... x   ; 0
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklady k procvičení
Řešte nerovnici v R:
5x  1  x 7  x   x 2  1
Reálná čísla
Klikněte pro zobrazení výsledku
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklady k procvičení
Řešte nerovnici v R:
5x  1  x 7  x   x 2  1
5 x  5  7x  x 2  x 2  1
 2x  5  1
 2 x  1 5
 2x  6
x  6 :  2
x  3
x   3; 
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklady k procvičení
Řešte nerovnici v R:
5x  1  x 7  x   x 2  1
x  3
Jak by vypadalo řešení, kdyby se nerovnice řešila:
1) v N
2) v Z
3) v Z+
4) v Z5) v Z- 0
... x  {1; 2; 3; 4; ...}
... x  {3;  2;  1; 0;1; 2; 3; 4; ...}
... x  {1; 2; 3; 4; ...}
... x  {3;  2;  1}
... x  {3;  2;  1; 0}
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklady k procvičení
Řešte nerovnici v R:
5x  1  x 7  x   x 2  1
x  3
Jak by vypadalo řešení, kdyby se nerovnice řešila:
6) v Z+ 0
7) v R+
8) v R9) v R+ 0
10) v R- 0
... x  {0;1; 2; 3; 4; ...}
... x  0; 
... x   3;0
... x  0; 
... x   3; 0
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklady k procvičení
Řešte nerovnici v R:
x 1
x 7  52 x
 21  4 x   
3
4
6
Reálná čísla
Klikněte pro zobrazení výsledku
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklady k procvičení
Řešte nerovnici v R:
x 1
x 7  52 x
 21  4 x   
3
4
6
x 1
x 7  52 x
 2  8x  
3
4
6
/ .12
4 x  4  24  96 x  3 x  14  104 x
100 x  28  107 x  14
 7 x  14
x  14 :  7
x  2
x   ;  2
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklady k procvičení
Řešte nerovnici v R:
x 1
x 7  52 x
 21  4 x   
3
4
6
x  2
Jak by vypadalo řešení, kdyby se nerovnice řešila:
1) v N
2) v Z
3) v Z+
4) v Z5) v Z- 0
... x  
... x  {...; 5;  4;  3;  2}
... x  
... x  {...; 5;  4;  3;  2}
... x  {...; 5;  4;  3;  2}
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklady k procvičení
Řešte nerovnici v R:
x 1
x 7  52 x
 21  4 x   
3
4
6
x  2
Jak by vypadalo řešení, kdyby se nerovnice řešila:
6) v Z+ 0
7) v R+
8) v R9) v R+ 0
10) v R- 0
... x  
... x  
...x   ;  2
... x  
...x   ;  2
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Tak víme, co jsou nerovnice,
známe ekvivalentní úpravy používané při
řešení nerovnic,
víme, co jsou intervaly řešení,
víme, co jsou „obory“, jaké existují a co
znamenají.
Nyní tedy vzhůru na příklady, bez obav vzhůru do
řešení nerovnic.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.