Transcript Slovní úlohy o společné práci 2

Slovní úlohy
o společné práci − 2
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Jak při řešení slovních úloh postupovat?
1. Pozorně si přečti text úlohy (raději několikrát).
2. Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec
nic, jako neznámou.
3. Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři
všechny ostatní údaje z textu.
4. Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu
úlohy a na jejím základě sestav rovnici
a vyřeš ji.
5. Proveď zkoušku, kterou ověříš, že získané
výsledky vyhovují všem podmínkám úlohy.
6. Napiš odpovědi na otázky zadané úlohy.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Slovní úloha o společné práci
Úlohy o společné práci jsou si velice podobné a počítají se
v podstatě pořád stejně. Takže:
• Pracovat mohou dvě, tři, ale i více těles, osob najednou.
• Práci začnou i ukončí většinou naráz (stejná doba společné práce,
stejný čas).
• Můžeme však počítat i příklady, kdy tělesa, osoby nepracují naráz, ale
jeden začne a druhý se k němu přidá, či naopak začnou společně a
jeden skončí dříve (pak doba, čas společné práce stejný není).
• Celá společná práce se rovná jedné (ať pracují 2, 3, 4 nebo i více
jedinců, to, na čem společně „makají“, je vždy rovno 1).
• Při výpočtech vycházíme vždy z toho, jakou část
společné práce udělá každé těleso, každá osoba
za časovou jednotku (hodinu, den, minutu…)
• Celá společná práce je tvořena součtem částí
společné práce, vykonaných jednotlivými tělesy,
osobami, které se na společné práci podílejí.
• Někdy nemusí pracovat společně, ale mohou
pracovat proti sobě, např. jednou rourou voda
přitéká, druhou odtéká. Pak není společná práce
tvořena součtem, ale rozdílem.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Slovní úloha o společné práci
Úlohy o společné práci jsou si velice podobné a počítají se
v podstatě pořád stejně. Takže:
• Pracovat mohou dvě, tři, ale i více těles, osob najednou.
• Práci začnou i ukončí většinou naráz (stejná doba společné práce,
stejný čas).
• Můžeme však počítat i příklady, kdy tělesa, osoby nepracují naráz, ale
jeden začne a druhý se k němu přidá, či naopak začnou společně a
jeden skončí dříve (pak doba, čas společné práce stejný není).
• Celá společná práce se rovná jedné (ať pracují 2, 3, 4 nebo i více
jedinců, to, na čem společně „makají“, je vždy rovno 1).
• Při výpočtech vycházíme vždy z toho, jakou část
společné práce udělá každé těleso, každá osoba
za časovou jednotku (hodinu,
minutu…).
Právě den,
na tento
• Celá společná práce jetyp
tvořena
součtem částí
příkladů
společné práce, vykonaných jednotlivými tělesy,
o společné
osobami, které se na společné práci podílejí.
se teď
• Někdy nemusí pracovat práci
společně,
ale mohou
pracovat proti sobě, např.podíváme.
jednou rourou voda
přitéká, druhou odtéká. Pak není společná práce
tvořena součtem, ale rozdílem.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Slovní úloha o společné práci
Ukázka zadání takové úlohy:
Prvním přítokem se bazén naplní
za 20 hodin, druhým za 30 hodin.
Za jak dlouho se bazén naplní,
jestliže se nejdříve na 5 hodin
otevře jen první přítok a teprve
potom i přítok druhý?
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Slovní úloha o společné práci
1. přítokem by se bazén naplnil za 20
hodin, což znamená, že za 1 hodinu by
se naplnila
bazénu,
První1/20
přítok
byl za 2 hodiny pak
2/20otevřen
atd. Protože
se
bazén nejdříve plnil
o 5 hodin
5 hodin
jentzn.
tímto
dříve,
popřítokem
dobu a pak teprve
oběma společně, je i doba plnění tímto
o 5 hodin delší,
přítokem o 5 hodin delší než doba
tj.společná,
(x + 5) hodin.
tzn. (x + 5) hodin
a naplněná část bazénu za tuto dobu
je tedy (x + 5)/20.
x
x 5

30
20
Jako neznámou
x
2. přítokem
by se bazén
zvolíme
veličinu,
o které
naplnil za
30 hodin,
víme
nejméně, ažetou je
což znamená,
společné
práce,
za 1 doba
hodinu
by se naplnila
tzn. doba,
byly
1/30 bazénu,
zakdy
2 hodiny
pakotevřeny
2/30 atd. oba
Za xpřítoky
hodin
společně.
Mimochodem
společné
práce
se tedy
−
jde o x/30
dobu,
po kterou
naplní
bazénu.
byl otevřen druhý přítok.
 1
Prvním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin.
Za jak dlouho se bazén naplní, jestliže se nejdříve na 5 hodin otevře
jen první přítok a teprve potom i přítok druhý?
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklad:
Prvním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. Za jak dlouho se
bazén naplní, jestliže se nejdříve na 5 hodin otevře jen první přítok a teprve potom
i přítok druhý?
Tak ještě jednou a pomaleji.
1. přítok :
celý bazén ... za 20 hodin
1
za 1hodinu ...
bazénu
20
2
za 2 hodiny ...
bazénu
20
za 5 hodin samostatného
x 5
bazénu
a x hodin společného plnění ...
20
2. přítok :
celý bazén ... za 30 hodin
1
bazénu
30
za x hodin společné práce ...
za 1hodinu ...

1 celý bazén
x
bazénu
30
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklad:
Prvním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. Za jak dlouho se
bazén naplní, jestliže se nejdříve na 5 hodin otevře jen první přítok a teprve potom
i přítok druhý?
1. přítok :
za 5 hodin samostatného plnění
a x hodin společné práce ...
x 5
bazénu
20
2. přítok :
za x hodin společné práce ...
x
bazénu
30
x 5 x

1
20
30
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklad:
Prvním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. Za jak dlouho se
bazén naplní, jestliže se nejdříve na 5 hodin otevře jen první přítok a teprve potom
i přítok druhý?
1. přítok :
za 5 hodin samostatného plnění
a x hodin společné práce ...
x 5
Čas navíc,
bazénu
20
po který pracuje
samostatně
2. přítokpřed
:
společným časem
za x hodin společné práce ...
x
bazénu
30
Doba
práce
prvního
Doba
společné
práce
x 5 x

1
20
30
Jedna celá
společná
práce.
Doba
práce
druhého
Typická rovnice slovních úloh o společné práci
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklad:
Prvním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. Za jak dlouho se
bazén naplní, jestliže se nejdříve na 5 hodin otevře jen první přítok a teprve potom
i přítok druhý?
1. přítok :
za 5 hodin samostatné
x 5
a x hodin společné práce ... 20 bazénu
2. přítok :
x
bazénu
za x hodin společné práce ...
30
x 5 x

 1 / 60
20
30
3x  5  2x  60
3x  15  2x  60
5 x  60  15
5 x  45
x  45 : 5
x  9h
Společně se bude bazén
oběma přítoky plnit 9 hodin.
Otázka se však neptá
na dobu společného plnění,
ale na dobu, za kterou se
Zbavíme
bazén se
naplní. Proto musíme
vzít
zlomků v úvahu i prvních
5 hodin plnění, kdy se plnilo
vynásobením
jen prvním přítokem. Bazén
celé rovnice
se tedy naplnil za 9 a 5,
společnýmtj. 14 hodin.
jmenovatelem
Bazén se naplní za 14 hodin.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklad:
Vodní nádrž se vypustí větším stavidlem za 10 hodin, menším za 12 hodin.
Nádrž vypouštěli tak, že první čtyři hodiny otevřeli jen větší stavidlo,
teprve pak otevřeli také stavidlo menší. Urči dobu, jakou trvalo vypouštění
nádrže.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklad:
Vodní nádrž se vypustí větším stavidlem za 10 hodin, menším za 12 hodin.
Nádrž vypouštěli tak, že první čtyři hodiny otevřeli jen větší stavidlo,
teprve pak otevřeli také stavidlo menší. Urči dobu, jakou trvalo vypouštění
nádrže.
Menší stavidlo :
x
za x hodin práce spolu ...
nádrže
12
Větší stavidlo :
x+4
nádrže
za 4 hodiny samostatné a x hodin společné práce ...
10
x x 4

1
/ 60
12
10
5 x  6x  4  60
5 x  6x  24  60
11x  60  24
x  36__
: 11
.
x  3,27 h
Opět pozor na to, že jsme
vypočítali dobu společného
vypouštění. Vodní nádrž se
však nejdříve 4 hodiny
vypouštěla jen větším
stavidlem a teprve potom
oběma stavidly společně.
Celková doba vypouštění je
tedy
3,27 + 4 = 7,27 hodiny.
Vypouštění nádrže trvalo přibližně 7,27 hodiny.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklad:
Závod A je schopen splnit zakázku za 12 dní, závod B splní tutéž zakázku
za 18 dní. Za kolik dní bude zakázka splněna, jestliže první dva dny na ní
pracuje jen závod A, zbývající dny pak oba závody?
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklad:
Závod A je schopen splnit zakázku za 12 dní, závod B splní tutéž zakázku
za 18 dní. Za kolik dní bude zakázka splněna, jestliže první dva dny na ní
pracuje jen závod A, zbývající dny pak oba závody?
Závod B :
za x dní společné práce ...
x
zakázky
18
Závod A :
x 2
zakázky
za 2 hodiny samostatné a x hodin společné práce ...
12
x x 2

1
/ 36
18
12
2 x  3x  2  36
2x  3x  6  36
5 x  36  6
x  30 : 5
x  6 dní
Pozor na to, že jsme
vypočítali dobu společné
práce na zakázce. Dva dny
však na ni pracoval jen
závod A, teprve potom oba
závody společně. Celková
doba plnění celé zakázky je
tedy 6 + 2 = 8 dní.
Zakázka bude splněna za 8 dní.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.