Transcript Slovní úlohy o společné práci 1

Slovní úlohy
o společné práci
Jak při řešení rovnic postupovat?
1. Pozorně si přečti text úlohy (raději několikrát).
2. Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec
nic, jako neznámou.
3. Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři
všechny ostatní údaje z textu.
4. Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu
úlohy a na jejím základě sestav rovnici
a vyřeš ji.
5. Proveď zkoušku, kterou ověříš, že získané
výsledky vyhovují všem podmínkám
úlohy.
6. Napiš odpovědi na otázky zadané úlohy.
Slovní úloha o společné práci
Úlohy o společné práci jsou si velice podobné a počítají se
v podstatě pořád stejně. Takže:
• Pracovat mohou dvě, tři, ale i více těles, osob najednou.
• Práci začnou i ukončí většinou naráz (stejná doba společné práce,
stejný čas).
• Můžeme však počítat i příklady, kdy tělesa, osoby nepracují naráz,
ale jeden začne a druhý se k němu přidá, či naopak začnou společně
a jeden skončí dříve (pak doba, čas společné práce stejný není).
• Celá společná práce se rovná jedné (ať pracují 2, 3, 4 nebo i více,
to, na čem společně „makají“, je vždy rovno 1).
• Při výpočtech vycházíme vždy z toho, jakou část
společné práce udělá každé těleso, každá osoba
za časovou jednotku (hodinu, den, minutu…).
• Celá společná práce je tvořena součtem částí
společné práce, vykonaných jednotlivými tělesy,
osobami, které se na společné práci podílejí.
• Někdy nemusí pracovat společně, ale mohou
pracovat proti sobě, např. jednou rourou voda
přitéká, druhou odtéká. Pak není společná práce
tvořena součtem, ale rozdílem.
Slovní úloha o společné práci
Ukázka zadání takové úlohy:
Jedním přítokem se bazén
naplní za 20 hodin, druhým
za 30 hodin. Za jak dlouho se
bazén naplní oběma přítoky
současně?
Slovní úloha o společné práci
1. přítokem by se
bazén naplnil za 20
hodin, což znamená,
že za 1 hodinu by se
naplnila 1/20 bazénu,
za 2 hodiny pak 2/20
a za x hodin společné
práce x/20 bazénu.
2. přítokem by se
bazén naplnil za 30
hodin, což znamená,
že za 1 hodinu by se
naplnila 1/30 bazénu,
za 2 hodiny pak 2/30
a za x hodin společné
práce x/30 bazénu.
x
x
 1

20 30
Jedním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin.
Za jak dlouho se bazén naplní oběma přítoky současně?
Příklad:
Jedním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30
hodin. Za jak dlouho se bazén naplní oběma přítoky současně?
Tak ještě jednou a pomaleji.
1. přítok:
celý bazén... za 20 hodin
1
bazénu
za 1hodinu...
20
2
bazénu
za 2 hodiny...
20
x
bazénu
za x hodinspolečnépráce...
20
2. přítok:
celý bazén... za 30 hodin

1 celý bazén
1
bazénu
za 1hodinu...
30
za x hodinspolečnépráce...
x
bazénu
30
Příklad:
Jedním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30
hodin. Za jak dlouho se bazén naplní oběma přítoky současně?
1. přítok:
za x hodinspolečnépráce...
x
bazénu
20
2. přítok:
za x hodinspolečnépráce...
x
bazénu
30
x
x

1
20 30
Příklad:
Jedním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30
hodin. Za jak dlouho se bazén naplní oběma přítoky současně?
1. přítok:
za x hodinspolečnépráce...
x
bazénu
20
2. přítok:
za x hodinspolečnépráce...
x
bazénu
Doba
30
společné
práce
Doba
práce
prvního
x
x

1
20 30
Jedna celá
společná
práce
Doba
práce
druhého
Typická rovnice slovních úloh o společné práci
Příklad:
Jedním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30
hodin. Za jak dlouho se bazén naplní oběma přítoky současně?
1. přítok:
x
za x hodinspolečnépráce...
bazénu
20
2. přítok:
x
bazénu
za x hodinspolečnépráce...
30
x
x

1
20 30
/  60
3 x  2 x  60
5 x  60
x  60 : 5
x  12 h
Zbavíme se
zlomků
vynásobením
celé rovnice
společným
jmenovatelem
Oběma přítoky současně se bazén naplní za 12 hodin.
Příklad:
Jeden kopáč by vykopal příkop pro telefonní vedení za 6 hodin.
Druhý by vykopal tentýž příkop za 3 hodiny. Jak dlouho by jim
vykopání příkopu trvalo, kdyby pracovali společně?
Příklad:
Jeden kopáč by vykopal příkop pro telefonní vedení za 6 hodin.
Druhý by vykopal tentýž příkop za 3 hodiny. Jak dlouho by jim
vykopání příkopu trvalo, kdyby pracovali společně?
1. kopáč:
x
za x hodinspolečnépráce...
příkopu
6
2. kopáč:
x
příkopu
za x hodinspolečnépráce...
3
x x
 1
/ 6
6 3
x  2x  6
3x  6
x  6:3
x  2h
Kdyby kopáči pracovali společně, vykopali by příkop za 2 hodiny.
Příklad:
První čerpadlo vyčerpá vodu z nádrže za 3 hodiny, druhé
čerpadlo za 7 hodin. Za jak dlouho se vyčerpá voda z nádrže,
když budou obě čerpadla pracovat společně?
Příklad:
První čerpadlo vyčerpá vodu z nádrže za 3 hodiny, druhé
čerpadlo za 7 hodin. Za jak dlouho se vyčerpá voda z nádrže,
když budou obě čerpadla pracovat společně?
1. čerpadlo:
za x hodinspolečnépráce...
x
nádrže
3
2. čerpadlo:
x
nádrže
za x hodinspolečnépráce...
7
x x
 1
/  21
3 7
7 x  3 x  21
10 x  21
x  21: 10
x = 2,1 h = 2 h 6 min
Oběma čerpadly se voda z nádrže vyčerpá za 2 hodiny a 6 minut.
Příklad:
Jeden kombajn poseká obilí na poli za 15 hodin, druhý kombajn
poseká totéž pole za 10 hodin. Za kolik hodin by bylo obilí z tohoto
pole sklizeno, jestliže by pracovaly oba kombajny společně?
Příklad:
Jeden kombajn poseká obilí na poli za 15 hodin, druhý kombajn
poseká totéž pole za 10 hodin. Za kolik hodin by bylo obilí z tohoto
pole sklizeno, jestliže by pracovaly oba kombajny společně?
1. kombajn:
za x hodinspolečnépráce...
2. kombajn:
za x hodinspolečnépráce...
x
pole
15
x
pole
10
x
x

 1 /  30
15 10
2 x  3 x  30
5 x  30
x  30 : 5
x  6h
Oběma kombajny by pole bylo sklizeno za 6 hodin.
Příklad:
Jeden zedník nahodí dům za 12 dní, druhý zedník nahodí tentýž
dům za 20 dní. Za jak dlouho nahodí tentýž dům, jestliže budou
pracovat společně?
Příklad:
Jeden zedník nahodí dům za 12 dní, druhý zedník nahodí tentýž
dům za 20 dní. Za jak dlouho nahodí tentýž dům, jestliže budou
pracovat společně?
1. zedník:
x
za x dní společnépráce...
domu
12
2. zedník:
x
domu
za x dní společnépráce...
20
x
x

 1 /  60
12 20
5 x  3 x  60
8 x  60
x  60 : 8
x  7,5 dne
Oba zedníci společně nahodí dům za 7,5 dne.
Příklad:
Bazén se naplní prvním přívodem vody za 2 hodiny, druhým
přívodem za 3 hodiny a třetím přívodem za 4 hodiny. Za jak
dlouho se naplní, když jsou otevřeny všechny tři přívody?
Příklad:
Bazén se naplní prvním přívodem vody za 2 hodiny, druhým
přívodem za 3 hodiny a třetím přívodem za 4 hodiny. Za jak
dlouho se naplní, když jsou otevřeny všechny tři přívody?
x
1. přívodem … za x hodinspolečnépráce...
bazénu
2
x
bazénu
2. přívodem … za x hodinspolečnépráce...
3
x
bazénu
3. přívodem … za x hodinspolečnépráce...
4
x x x
  1
/  12
2 3 4
6 x  4 x  3 x  12
13 x  12
x  12 : 13
12
x
h
13
Všemi třemi přívody se bazén naplní za 12/13 hodiny.