Transcript Slovní úlohy o společné práci 1

Slovní úlohy
o společné práci
Slovní úloha o společné práci
Ukázka zadání takové úlohy:
Jedním přítokem se bazén
naplní za 20 hodin, druhým
za 30 hodin. Za jak dlouho se
bazén naplní oběma přítoky
současně?
Slovní úloha o společné práci
1. přítokem by se
bazén naplnil za 20
hodin, což znamená,
že za 1 hodinu by se
naplnila 1/20 bazénu,
za 2 hodiny pak 2/20
a za x hodin společné
práce x/20 bazénu.
2. přítokem by se
bazén naplnil za 30
hodin, což znamená,
že za 1 hodinu by se
naplnila 1/30 bazénu,
za 2 hodiny pak 2/30
a za x hodin společné
práce x/30 bazénu.
x
x
 1

20 30
Jedním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin.
Za jak dlouho se bazén naplní oběma přítoky současně?
Příklad:
Jedním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30
hodin. Za jak dlouho se bazén naplní oběma přítoky současně?
Tak ještě jednou a pomaleji.
1. přítok:
celý bazén... za 20 hodin
1
bazénu
za 1hodinu...
20
2
bazénu
za 2 hodiny...
20
x
bazénu
za x hodinspolečnépráce...
20
2. přítok:
celý bazén... za 30 hodin

1 celý bazén
1
bazénu
za 1hodinu...
30
za x hodinspolečnépráce...
x
bazénu
30
Příklad:
Jedním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30
hodin. Za jak dlouho se bazén naplní oběma přítoky současně?
1. přítok:
za x hodinspolečnépráce...
x
bazénu
20
2. přítok:
za x hodinspolečnépráce...
x
bazénu
30
x
x

1
20 30
Příklad:
Jedním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30
hodin. Za jak dlouho se bazén naplní oběma přítoky současně?
1. přítok:
za x hodinspolečnépráce...
x
bazénu
20
2. přítok:
za x hodinspolečnépráce...
x
bazénu
Doba
30
společné
práce
Doba
práce
prvního
x
x

1
20 30
Jedna celá
společná
práce
Doba
práce
druhého
Typická rovnice slovních úloh o společné práci
Příklad:
Jedním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30
hodin. Za jak dlouho se bazén naplní oběma přítoky současně?
1. přítok:
x
za x hodinspolečnépráce...
bazénu
20
2. přítok:
x
bazénu
za x hodinspolečnépráce...
30
x
x

1
20 30
/  60
3 x  2 x  60
5 x  60
x  60 : 5
x  12 h
Zbavíme se
zlomků
vynásobením
celé rovnice
společným
jmenovatelem
Oběma přítoky současně se bazén naplní za 12 hodin.
Příklad:
Jeden kopáč by vykopal příkop pro telefonní vedení za 6 hodin.
Druhý by vykopal tentýž příkop za 3 hodiny. Jak dlouho by jim
vykopání příkopu trvalo, kdyby pracovali společně?
Příklad:
Jeden kopáč by vykopal příkop pro telefonní vedení za 6 hodin.
Druhý by vykopal tentýž příkop za 3 hodiny. Jak dlouho by jim
vykopání příkopu trvalo, kdyby pracovali společně?
1. kopáč:
x
za x hodinspolečnépráce...
příkopu
6
2. kopáč:
x
příkopu
za x hodinspolečnépráce...
3
x x
 1
/ 6
6 3
x  2x  6
3x  6
x  6:3
x  2h
Kdyby kopáči pracovali společně, vykopali by příkop za 2 hodiny.
Příklad:
První čerpadlo vyčerpá vodu z nádrže za 3 hodiny, druhé
čerpadlo za 7 hodin. Za jak dlouho se vyčerpá voda z nádrže,
když budou obě čerpadla pracovat společně?
Příklad:
První čerpadlo vyčerpá vodu z nádrže za 3 hodiny, druhé
čerpadlo za 7 hodin. Za jak dlouho se vyčerpá voda z nádrže,
když budou obě čerpadla pracovat společně?
1. čerpadlo:
za x hodinspolečnépráce...
x
nádrže
3
2. čerpadlo:
x
nádrže
za x hodinspolečnépráce...
7
x x
 1
/  21
3 7
7 x  3 x  21
10 x  21
x  21: 10
x = 2,1 h = 2 h 6 min
Oběma čerpadly se voda z nádrže vyčerpá za 2 hodiny a 6 minut.
Příklad:
Jeden kombajn poseká obilí na poli za 15 hodin, druhý kombajn
poseká totéž pole za 10 hodin. Za kolik hodin by bylo obilí z tohoto
pole sklizeno, jestliže by pracovaly oba kombajny společně?
Příklad:
Jeden kombajn poseká obilí na poli za 15 hodin, druhý kombajn
poseká totéž pole za 10 hodin. Za kolik hodin by bylo obilí z tohoto
pole sklizeno, jestliže by pracovaly oba kombajny společně?
1. kombajn:
za x hodinspolečnépráce...
2. kombajn:
za x hodinspolečnépráce...
x
pole
15
x
pole
10
x
x

 1 /  30
15 10
2 x  3 x  30
5 x  30
x  30 : 5
x  6h
Oběma kombajny by pole bylo sklizeno za 6 hodin.
Příklad:
Jeden zedník nahodí dům za 12 dní, druhý zedník nahodí tentýž
dům za 20 dní. Za jak dlouho nahodí tentýž dům, jestliže budou
pracovat společně?
Příklad:
Jeden zedník nahodí dům za 12 dní, druhý zedník nahodí tentýž
dům za 20 dní. Za jak dlouho nahodí tentýž dům, jestliže budou
pracovat společně?
1. zedník:
x
za x dní společnépráce...
domu
12
2. zedník:
x
domu
za x dní společnépráce...
20
x
x

 1 /  60
12 20
5 x  3 x  60
8 x  60
x  60 : 8
x  7,5 dne
Oba zedníci společně nahodí dům za 7,5 dne.
Příklad:
Bazén se naplní prvním přívodem vody za 2 hodiny, druhým
přívodem za 3 hodiny a třetím přívodem za 4 hodiny. Za jak
dlouho se naplní, když jsou otevřeny všechny tři přívody?
Příklad:
Bazén se naplní prvním přívodem vody za 2 hodiny, druhým
přívodem za 3 hodiny a třetím přívodem za 4 hodiny. Za jak
dlouho se naplní, když jsou otevřeny všechny tři přívody?
x
1. přívodem … za x hodinspolečnépráce...
bazénu
2
x
bazénu
2. přívodem … za x hodinspolečnépráce...
3
x
bazénu
3. přívodem … za x hodinspolečnépráce...
4
x x x
  1
/  12
2 3 4
6 x  4 x  3 x  12
13 x  12
x  12 : 13
12
x
h
13
Všemi třemi přívody se bazén naplní za 12/13 hodiny.
Příklad:
Prvním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. Za jak dlouho se
bazén naplní, jestliže se nejdříve na 5 hodin otevře jen první přítok a teprve potom
i přítok druhý?
1. přítok:
za 5 hodinsamostatného plnění
a x hodinspolečnépráce...
x 5
bazénu
20
2. přítok:
za x hodinspolečnépráce...
x
bazénu
30
x 5 x

1
20
30
Příklad:
Prvním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. Za jak dlouho se
bazén naplní, jestliže se nejdříve na 5 hodin otevře jen první přítok a teprve potom
i přítok druhý?
1. přítok:
za 5 hodinsamostatného plnění
a x hodinspolečnépráce...
x 5
Čas navíc,
bazénu
20
po který pracuje
samostatně
2. přítokpřed
:
společným časem
za x hodinspolečnépráce...
x
bazénu
30
Doba
práce
prvního
Doba
společné
práce
x 5 x

1
20
30
Jedna celá
společná
práce.
Doba
práce
druhého
Typická rovnice slovních úloh o společné práci
Příklad:
Prvním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. Za jak dlouho se
bazén naplní, jestliže se nejdříve na 5 hodin otevře jen první přítok a teprve potom
i přítok druhý?
1. přítok:
za 5 hodinsamostatné
x 5
a x hodinspolečné práce... 20 bazénu
2. přítok:
x
bazénu
za x hodinspolečnépráce...
30
x 5 x

 1 /  60
20
30
3x  5  2 x  60
3 x  15  2 x  60
5 x  60  15
5 x  45
x  45 : 5
x  9h
Bazén se naplní za 14 hodin.
Společně se bude bazén
oběma přítoky plnit 9 hodin.
Otázka se však neptá
na dobu společného plnění,
ale na dobu, za kterou se
Zbavíme
bazén se
naplní. Proto musíme
vzít
zlomků v úvahu i prvních
5 hodin plnění, kdy se plnilo
vynásobením
jen prvním přítokem. Bazén
celé rovnice
se tedy naplnil za 9 a 5,
společnýmtj. 14 hodin.
jmenovatelem
Příklad:
Vodní nádrž se vypustí větším stavidlem za 10 hodin, menším za 12 hodin.
Nádrž vypouštěli tak, že první čtyři hodiny otevřeli jen větší stavidlo,
teprve pak otevřeli také stavidlo menší. Urči dobu, jakou trvalo vypouštění
nádrže.
Příklad:
Vodní nádrž se vypustí větším stavidlem za 10 hodin, menším za 12 hodin.
Nádrž vypouštěli tak, že první čtyři hodiny otevřeli jen větší stavidlo,
teprve pak otevřeli také stavidlo menší. Urči dobu, jakou trvalo vypouštění
nádrže.
M enší stavidlo:
x
nádrže
za x hodinprácespolu ...
12
Větší stavidlo:
x+4
nádrže
za 4 hodinysamostatnéa x hodinspolečnépráce...
10
x x 4

1
/  60
12
10
5 x  6x  4  60
5 x  6 x  24  60
11x  60  24
x  36__
: 11
.
x  3,27 h
Opět pozor na to, že jsme
vypočítali dobu společného
vypouštění. Vodní nádrž se
však nejdříve 4 hodiny
vypouštěla jen větším
stavidlem a teprve potom
oběma stavidly společně.
Celková doba vypouštění je
tedy
3,27 + 4 = 7,27 hodiny.
Vypouštění nádrže trvalo přibližně 7,27 hodiny.
Příklad:
Závod A je schopen splnit zakázku za 12 dní, závod B splní tutéž zakázku
za 18 dní. Za kolik dní bude zakázka splněna, jestliže první dva dny na ní
pracuje jen závod A, zbývající dny pak oba závody?
Příklad:
Závod A je schopen splnit zakázku za 12 dní, závod B splní tutéž zakázku
za 18 dní. Za kolik dní bude zakázka splněna, jestliže první dva dny na ní
pracuje jen závod A, zbývající dny pak oba závody?
ZávodB :
za x dní společnépráce...
x
zakázky
18
ZávodA :
x 2
zakázky
za 2 hodinysamostatnéa x hodinspolečnépráce...
12
x x 2

1
/  36
18
12
2 x  3x  2  36
2 x  3 x  6  36
5 x  36  6
x  30 : 5
x  6 dní
Zakázka bude splněna za 8 dní.
Pozor na to, že jsme
vypočítali dobu společné
práce na zakázce. Dva dny
však na ni pracoval jen
závod A, teprve potom oba
závody společně. Celková
doba plnění celé zakázky je
tedy 6 + 2 = 8 dní.