Transcript Soustavy Lineárních rovnic

Soustavy Lineárních
rovnic
O více neznámých
Soustavy rovnic s více neznámými
 Z pravidla neřešíme ( v daném číselném oboru M)
jednotlivé rovnice s více neznámými, nýbrž několik
takových rovnic, které mají být splněny zároveň.
Mluvíme pak o soustavě rovnic se dvěma, resp. více
neznámými. Mezi jednotlivé rovnice soustavy bychom
měli psát znak ۸ (“ a zároveň”). Obvykle se však mezi
nimi píše čárka, resp. se rovnice píší pod sebou.
 Řešením soustavy rovnic o n neznámých x1, x2, ..., xn
se rozumí každá uspořádaná n-tice [x1, x2, ...., xn] čísel
z daného číselného oboru M, která splňují zároveň
všechny rovnice soustavy, tj. Po dosazení do každé z
rovnic soustavy dostaneme pravdivý výrok (rovnost).
Množina všech řešení soustavy je průnikem množin
všech řešení jednotlivých rovnic soustavy.
Druhy soustav rovnic s více
neznámými
 Prakticky nejdůležitější jsou soustavy lineárních
algebraických rovnic (stručně dále budeme mluvit o
soustavách lineálních rovnic), tj. algebraických rovnic
prvního stupně v neznámých x1, x2, …, xn.

Obecněji se řeší soustavy algebraických rovnic
vyšších stupňů, na střední škole se ovšem omezujeme
na soustavy rovnic nejvýše 2. stupně (kvadratické
rovnice) pro dvě neznámé.

Lze vytvářet též soustavy nealgebraických rovnic,
jež obsahují např. exponenciální, logaritmické nebo
goniometrické rovnice vzhledem k neznámým.
Početní řešení soustav rovnic
 Metody početního řešení soustav rovnic užívají
ekvivalentní úpravy soustavy rovnic, tj. takové úpravy,
jimiž se nemění řešení soustavy. Nejdůležitější jsou
souhrnně uvedeny v následujících snímcích.
 Při použití pouze ekvivalentních úprav soustavy není
zkouška nutnou součástí postupu řešení, ale je vhodná
pro kontrolu.
Přehled ekvivalentních úprav
soustavy rovnic

(USR 1)
- Nahrazení libovolné rovnice
soustavy rovnicí, která je s ní ekvivalentní, tj. má totéž
řešení. Získává se zejména těmito dvěma
ekvivalentními úpravami:
1. K oběma stranám rovnic přičteme totéž číslo nebo
výraz s neznámými, který je definován v celém
oboru, v němž se rovnice řeší.
2. Obě strany rovnice násobíme týmž číslem různým
od nuly nebo výrazem s neznámými, který je
definován a nenulový v celém oboru, v němž se
rovnice řeší. (Stručně říkáme, že rovnici násobíme
číslem, resp. výrazem.)
Přehled ekvivalentních úprav
soustavy rovnic
 (USR 2) - Nahrazení libovolné rovnice soustavy
součtem této rovnice a libovolné jiné rovnice soustavy.
 (USR 3) - Dosazení neznámé nebo výrazu s
neznámou z jedné rovnice soustavy do jiné její rovnice.
Soustavy lineárních rovnic
 Základním typem metod řešení soustav lineárních
algebraických rovnic jsou eliminační metody, jejichž
podstatou je postupná eliminace (vylučování)
neznámých z rovnic soustavy.
Soustava dvou lineárních rovnic se
dvěmi neznámými
Podle způsobu, jímž eliminujeme (vyloučíme) jednu
neznámou z některé rovnice soustavy, rozlišujeme tyto
tři metody řešení:
a) Metoda sčítací - rovnice soustavy násobíme čísly
zvolenými tak, aby se po sečtení vynásobených rovnic
jedna neznámá vyloučila.
b) Metoda dosazovací (substituční) - vyjádříme jednu
neznámou z jedné rovnice soustavy a dosadíme ji do
druhé rovnice, čímž se jedna neznámá z této rovnice
vyloučí.
c) Metoda srovnávací (komparační) - z obou rovnic
vyjádříme touž neznámou, výsledky porovnáme a tím
získáme rovnici, ve které je tato neznámá vyloučena.
Příklad řešení soustavy dvou
lineárních rovnic s neznámými x, y
Є R:
2x - y = 1
x + 3y = 11
a) Řešení metodou sčítací
 První rovnici vynásobíme třemi, dostáváme rovnici




6x - 3y = 3.
Získanou rovnici sečteme s druhou rovnicí soustavy, tím
vyloučíme neznámou y a pro neznámou x dostáváme
rovnici
7x = 14,
odtud po dělení rovnice sedmi
x = 2.
Obdobně lze vyloučit neznámou x vynásobením druhé
rovnice minus dvěma a sečtením s první rovnicí;
dostáváme rovnici
-7y = -21,
odtud po dělení rovnice minus sedmi
y = 3.
b) Řešení metodou dosazovací
 Z první rovnice vyjádříme





y = 2x - 1
a dosadíme do druhé rovnice; dostáváme
7x - 3 = 11,
odtud
7x = 14 čili x = 2.
Obdobně, vyjádříme-li z druhé rovnice
x = 11 - 3y
a dosadíme do první rovnice, dostáváme
22 - 7y = 1,
odtud
-7y = -21 čili y = 3.
c) Řešení metodou srovnávací
 Z první i druhé rovnice vyjádříme např. neznámou y,




dostáváme
y = 2x - 1 a y = (1/3)(11 - x).
Porovnáním odtud plyne rovnice
2x - 1 = (1/3) (11 - x)
čili
6x - 3 = 11 - x
a odtud
7x = 14 čili x = 2.
Po dosazení do rovnice y = 2x - 1 vypočteme y = 3.
 Výsledek: Daná soustava rovnic má v množině R2 právě
jedno řešení [x, y] = [2; 3].

Zkoušku provedeme dosazením do dané soustavy
rovnic:
L1 = 2 . 2 - 3 = 4 - 3 = 1 = P1
L2 = 2 + 3 . 3 = 2 + 9 = 11 = P2
Grafické řešení soustav lineárních
rovnic se dvěma neznámými v R2
 Soustavy rovnic se dvěma neznámými x, y є R lze
rovněž řešit graficky. Vycházíme přitom z poznatku, že
množinou všech bodů, jejichž kartézské souřadnice
splňují lineární rovnici, je přímka. Jestliže sestrojíme
přímky, které graficky znázorňují v soustavě kartézských
souřadnic Oxy obě dané lineární rovnice, pak body jejich
průniku mají souřadnice, jež představují řešení soustavy
těchto lineárních rovnic. Přitom dvě přímky v rovině
mohou být navzájem buď různoběžné, nebo rovnoběžné
různé, anebo splývající, takže platí:

a)
b)
c)
Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma
neznámými má
právě jedno řešení, jestliže přímky graficky
znázorňující všechna řešení daných rovnic jsou
různoběžné,
žádné řešení, jestliže tyto přímky jsou rovnoběžné
různé,
nekonečně mnoho řešení, jestliže obě přímky
splývají.
Příklady grafického řešení soustav
dvou lineárních rovnic s
neznámými x, y є R:
a)
2x - y = 1
x + 3y = 11
b) 4x - 6y = 3
6x - 9y = 12
c) x + 2y = 4
3x + 6y = 12
Řešení:
a)
Sestrojíme množinu bodů, jejichž kartézské
souřadnice splňují první rovnici. Je to graf funkce y =
2x - 1, tj. přímka procházející body A [0; -1], B[1; 1].
Obdobně druhá rovnice vyjadřuje funkci y = Jejím
grafem je přímka procházející body C [-1; 4], D[5; 2].
Přímky AB, CD jsou různoběžné, jejich průsečíkem je
bod Q[2; 3]. Daná soustava má tedy právě jedno
řešení [2; 3].
a) 2x - y = 1
x + 3y = 11
b)
První rovnici upravíme na tvar y = , který vyjadřuje
funkci, jejímž grafem je přímka procházející body E [3;
1,5], F [-3; -2,5]. Druhou rovnici upravíme na tvar y = ,
který je vyjádřením funkce, jejímž grafem je přímka
procházející body G = [-1; -2], H [5; 2]. Přímky EF, GH
jsou dvě různé rovnoběžky. To odpovídá tomu, že
daná soustava nemá žádné řešení, neboť obě rovnice
si zřejmě odporují (dělíme-li první rovnici dvěma,
dostáváme 2x - 3y = 1,5, dělíme-li druhou rovnici třemi,
dostáváme 2x - 3y = 4).
b) 4x - 6y = 3
6x - 9y = 12
c)
Rovnice představují analytická vyjádření dvou sobě
rovných funkcí, jejichž grafy jsou totožné přímky
procházející body K [0; 2], L [4; 0]. To odpovídá tomu,
že každá uspořádaná dvojice [x; y], která splňuje první
rovnici, vyhovuje též druhé rovnici, tj. daná soustava
rovnic má nekonečně mnoho řešení.
c) x + 2y = 4
3x + 6y = 12
Příklad řešení soustavy dvou
lineárních rovnic o dvou
neznámých s reálnými parametry:
 Řešte soustavu rovnic a proveďte diskusi podle parametru p є R:




p2x + py = p3 + 1
p3x + y = p2 + p
Řešení provedeme např. metodou dosazovací. Ze 2. rovnice
vyjádříme:
y = p2 + p - p3y
a dosadíme do 1. rovnice:
p2x + p3 + p2 - p4x = p3 + 1
Po úpravě dostáváme:
p2(1-p2)x = 1 - p2
čili:
p2(1 + p)(1 - p)x = (1 + p)(1 - p)
Diskuse řešení:
a)
b)
c)
Je-li p ≠ 0 ۸ p ≠ 1, plyne odtud, že x = 1/p2 , a tedy
y = p2, tj. daná soustava má pak právě jedno řešení
[x, y] = [1/p2, p2].
Je-li p = 0, dané rovnice nabývají tvaru 0x + 0y = 1,
0x + y = 0, první rovnici nelze však splnit pro žádná
x, y є R, takže daná soustava v tomto případě nemá
žádné řešení [x; y] є R2.
Je-li p = 1, obě rovnice dané soustavy nabývají téhož
tvaru x + y = 2, soustava má tedy nekonečně mnoho
řešení tvaru [x; y] = [x; 2 - x], kde x je libovolné reálné
číslo. Je-li p = -1, obě rovnice dané soustavy nabývají
tvaru x - y = 0, -x + y = 0, tj. Jsou obě ekvivalentní s
rovnicí x = y, soustava má tedy nekonečně mnoho
řešení tvaru [x; y] = [x; x], kde x je libovolné reálné
číslo.
Soustava dvou lineárních rovnic se
třemi neznámými
 Jednu neznámou lze v této soustavě zvolit za parametr
a získat tak soustavu dvou rovnic o dvou neznámých,
kterou řešíme některou z uvedených metod.
 Příklad řešení soustavy dvou lineárních rovnic se třemi
neznámými x, y, z є R:
6x + 2y + 3z = 2
2x - 3y + z = 8
Řešení:
 Danou soustavu upravíme na tvar
6x + 2y = 2 - 3z,
2x - 3y = 8 - z.
 Neznámou z zvolíme za reálný parametr. Tuto soustavu
dvou rovnic o dvou neznámých x, y řešíme např.
metodou sčítací: Druhou rovnici vynásobíme minus třemi
a sečteme s první rovnicí, čímž se vyloučí neznámá x
(a též parametr z), dostáváme:
2y + 9y = 2 - 24 čili 11y = -22, odkud y = -2.
 Dosazením do druhé rovnice soustavy dále plyne:
2x + 6 + z = 8 čili 2x = 2 - z, odkud x = 1 - 0,5z.
 Výsledek: Daná soustava má v R3 nekonečně mnoho
řešení tvaru [x; y; z] = [1 - 0,5z; -2; z], kde z je libovolné
reálné číslo.
 Zkouška (dosazením do dané soustavy):
L1 = 6 - 3z - 4 + 3z = 2 = P1
L2 = 2 - z + 6 + z = 8 = P2
Bonus navíc
 Následujících šest snímků (až k testu) je rozšiřující
učivo, které se probírá na dalším stupni, tedy na střední
škole, popřípadě na gymnáziu.
Soustava tří lineárních rovnic se
třemi neznámými
 Lze ji řešit obdobně jako soustavu dvou rovnic o dvou
neznámých, tj. zobecněnou metodou sčítací,
dosazovací nebo srovnávací.

Avšak výhodnější je použití Gaussovy eliminační
metody (GEM), která spočívá v postupném převedení
dané soustavy rovnic na tzv. trojúhelníkový tvar, kde
ve druhé rovnici je eliminována první neznámá a ve třetí
rovnici jsou eliminovány první a druhá neznámá.
Převedení soustavy na trojúhelníhový tvar se provádí
ekvivalentními úpravami tímto postupem (zvaným přímý
chod GEM):
1.
2.
3.
Rovnice dané soustavy uspořádáme tak, aby
koeficient 1. neznámé v 1. rovnici byl buď 1, anebo
jiné číslo různé od nuly - v tomto případě 1. rovnici
tímto číslem vydělíme, čímž dostaneme rovnici s
koeficientem 1 u 1. neznámé.
Od 2. a 3. rovnice odečteme takové násobky
upravené 1. rovnice, aby se v nich po odečtení
eliminovaly členy s 1. neznámou.
Obdobně eliminujeme člen s 2. neznámou ve 3.
rovnici.
Ze získané soustavy lineárních rovnic v
trojúhelníkovém tvaru určíme již snadno její řešení
tímto postupem (zvaným zpětný chod GEM): Ze 3.
rovnice vypočteme kořen z, pak dosazením do 2.
rovnice kořen y a nakonec po dosazení do 1. rovnice
kořen x.
Příklad řešení soustavy tří
lineárních rovnic s neznámými x, y,
z є R:
9x + 5y - 2z = 15
8x + 6y + 3z = 15
3x - 7y + 4z = 27
(1)
(2)
(3)
 Danou soustavu rovnic převedem na trojúhelníkový tvar
takto (přímý chod GEM): Nejprve ji upravíme tak, aby v
1. rovnici koeficient u 1. neznámé byl 1. Bylo by možné
dosáhnout toho dělením této rovnice číslem 9, tím
bychom ovšem dostali v upravené rovnici desetinná
čísla. Při ručním výpočtu můžeme použít takové
ekvivalentní úpravy, aby koeficienty zůstaly čísla celá; od
1. rovnice odečteme 2. rovnici, čímž dostaneme
soustavu rovnic:
x - y - 5z = 0, (11)
8x + 6y + 3z = 15, (21) = (2)
3x - 7y + 4z = 27. (31) = (3)
 Dále od rovnice (21) odečteme 8. (11) a od rovnice (31)
odečteme 3. (11), tím eliminujeme neznámou x v těchto
rovnicích a dostáváme tuto ekvivalentní soustavu rovnic
x - y - 5z = 0,
(13) = (12)
y + 43/14z = 15/14, (23)
219z = 219.
(33)
Tato soustava rovnic má trojúhelníkový tvar a její řešení
určíme snadno takto (zpětný chod GEM): Z rovnice (33)
po dělení číslem 219 dostáváme: z = 1. Dosazením do
rovnice (23) vypočteme
y = 1/14(15 - 43) = -2
 a po dosazení do rovnice (13) vychází x = -2 + 5 = 3.

Výsledek: Daná soustava má v R3 právě jedno řešení
[x; y; z] = [3; -2; 1].

Zkouška (dosazením řešení do dané soustavy
rovnic):
L1 = 9 . 3 + 5(-2) - 2 . 1 = 27 - 10 - 2 = 15 = P1
L2 = 8 . 3 + 6(-2) + 3 . 1 = 24 - 12 + 3 = 15 = P2
L3 = 3 . 3 - 7(-2) + 4 . 1 = 9 + 14 + 4 = 27 = P3
Krátký testík na závěr

a)
b)
Uveďte kolik řešení mají
následující soustavy
rovnic.
5x - 3y = 8
a)*
2x - 5y = 26
4x - 6y = 3
6x - 9y = 12
1. žádné řešení
2. dvě řešení
3. nekonečně mnoho řešení
1. žádné řešení
b)*
2. dvě řešení
3. nekonečně mnoho řešení
c)
x + 2y = 4
3x + 6y = 12
1. žádné řešení
c)*
2. dvě řešení
3. nekonečně mnoho řešení
Děkuji za pozornost
Toto jest konec