Metoda konečných prvků

Mezi moderními metodami napěťově-deformační analýzy dnes jednoznačně dominuje metoda konečných prvků (dále jen MKP), používaná i v jiných oblastech inženýrských výpočtů (vedení tepla, proudění kapalin, elektřina a magnetismus). V oblasti mechaniky těles MKP umožňuje řešit tyto základní typy úloh: • •

Deformačně-napěťová analýza

zatěžování, včetně nejrůznějších nelineárních úloh.

• Vlastní i vynucené

kmitání

při statickém, cyklickém i dynamickém soustav s tlumením i bez tlumení

Kontaktní úloha

pružnosti (rozložení stykového tlaku) •

Stabilitní

problémy (ztráta tvarové stability konstrukcí) • Analýza stacionárního i nestacionárního vedení tepla a určení

teplotní napjatosti

(včetně zbytkové).

Funkcionál

• MKP je založena na zcela jiném principu než analytické metody pružnosti. Zatímco analytické metody jsou založeny na diferenciálním a integrálním počtu, MKP je založena na obecně méně známém počtu variačním, hledá minimum nějakého

funkcionálu

.

•

Vysvětlení pojmu:

Funkce – zobrazení mezi množinami čísel. Je to tedy matematický termín pro pravidlo, kterým jednoznačně přiřadíme nějaké číselné hodnotě (z definičního oboru funkce) jinou číselnou hodnotu (z oboru funkčních hodnot).

•

Funkcionál – zobrazení z množiny funkcí do množiny čísel. Je to tedy pravidlo, podle něhož přiřadíme funkci na jejím definičním oboru (nebo jeho části) nějakou číselnou hodnotu. Příkladem je určitý integrál funkce.

Věta o minimu kvadratického funkcionálu.

Ze všech přípustných posuvů (tj. těch, které vyhovují okrajovým podmínkám úlohy, při splnění geometrických a fyzikálních rovnic) se při přechodu do blízkého zatěžovacího stavu (změna posuvů u o variaci δu) realizují takové posuvy, které minimalizují kvadratický funkcionál Π L . Tento funkcionál (zvaný

Lagrangeův potenciál

funkcemi pružnosti. ) představuje celkovou potenciální energii tělesa a příslušné posuvy, přetvoření a napětí, které ho minimalizují, jsou hledanými Věta se také nazývá

Lagrangeův variační princip

.

Lagrangeův potenciál je dán vztahem

kde Π L = W – P W je celková energie napjatosti tělesa P je celková potenciální energie vnějších sil

Základní termíny MKP

• Prvek (konečný – finite element) • Uzel (node) • Bázová funkce • Tvarová funkce • Diskretizace • Hustota sítě • Matice – posuvů – tuhosti – bázových funkcí • Konvergence • Procentuální energetická chyba • Izoparametrický prvek

Řešení koncentrace napětí ve vrubu

Typ prvku lineární – čtyřuzlový lineární – čtyřuzlový kvadratický – osmiuzlový kvadratický - osmiuzlový Hustota sítě hrubá jemná hrubá jemná vypočtené max. napětí [MPa] 1,28 1,67 1,59 1,67

Rozložení napětí v nebezpečném průřezu ve vrubu

Přehled základních typů prvků

Rozlišujeme podle toho, na jakých předpokladech je prvek založen (prutové předpoklady, rotační symetrie, Kirchhoffovy desky aj.), resp. pro jakou problematiku je navržen.

• 2D prvky (rovinné, resp. rot. symetrické) • 3D prvky (prostorové) • prutové prvky (pouze pro tah-tlak nebo i pro ohyb, příp. krut) • skořepinové prvky • deskostěnové prvky • speciální prvky (kontaktní, trhlinové, se speciálními konstitutivními vztahy apod.)

Typy prvků – jednorozměrné

Příhradový prvek (prutový, namáhaný jen na tah-tlak) Nosníkový prvek (prutový, namáhaný na ohyb, příp. smyk) Rámový (prutový, namáhaný na tah-tlak, ohyb, v prostoru i na krut)

Typy prvků – dvourozměrné

Stěnové (membránové) prvky

Trojúhelník lineární Trojúhelník kvadratický Čtyřúhelník bilineární Čtyřúhelník izoparametrický

Deskový prvek Skořepinový prvek

(obecná skořepina, membránové i ohybové namáhání)

Typy prvků – trojrozměrné

Tělesové) prvky

(obecná prostorová napjatost) Čtyřstěn lineární Pětistěn lineární Šestistěn osmiuzlový – lineární Šestistěn dvacetiuzlový – kvadratický, izoparametrický

Základní typy konstitutivních vztahů v MKP

• • • • • •

lineárně elastické anizotropní

příkladem jsou monokrystaly, dřevo, vláknové kompozity nebo vrstvené materiály) (elastické parametry jsou směrově závislé,

pružně plastické

chování nad mezí kluzu (ideálně pružně plastický materiál, různé typy

zpevnění

), (ocel po překročení meze kluzu) s různým charakterem

nelineárně elastické

napětí), (deformace jsou vratné, ale nelineárně závislé na

hyperelastické

(vykazující pružné deformace řádu desítek až stovek procent, rovněž nelineární),

viskoelastické

(deformace je i časově závislá, vykazují tečení, resp. relaxaci napětí),

viskoplastické

(jejich plastická deformace je časově závislá) atd.

Příklad nelineární úlohy konečnoprvková síť v plastovém ochranném krytu

Příklad řešení nelineární úlohy