Transcript Document 7587125

16. CLASSICAL
CONFIGURATIONS
Fano plane (73).
• We can reconstruct (73) from
the matrx M.
• Columns are homogeneous
coordinates in F2.
• <ijk> = det (Mi Mj Mk)
• ijk form a line if and only if
<ijk> = 0.
0 0 0 1 1
0 1 1 0 0
1 0 1 0 1
1 1
1 1
0 1
Heawood Graph in Torus
• On the left there is a
hexagonal embedding
of the Heawood graph
in torus.
• Its dual is a triangular
embedding of K7 in
S2.
Menger Graph on Torus
• On the left there is a
hexagonal embedding
of the Heawood graph
in torus.
• Its dual is a triangular
embedding of K7 in
S2.
Menger Graph on Torus
• Menger graph is K7
and has a triangular
embedding in torus.
Tutte’s 8-Cage – Construction (III)
• By gluing appropriately the
leaves of the tree on the left to
the midpoints of the edges of
the cube on the right one
obtains Tutte’s 8-Cage.
• Cubic graph
• Bipartite graph
• Girth 8
• Diameter 4.
Question
• Q. If we subdivide the
edges of K_4 we may
attach the tree on the
left to it in such a way
that we avoid
quadrangles. What
graph is produced in
ths way?
Similar Question
• Same for the S(K2,2,2) and
the tree. First layer
antipodal edges, second
layer main squares of the
octahedron. Truncate
vertices of valence 4.
Möbius-Kantor Configuration –
Revisited
• Möbius-Kantor configuration
is the only (83) configuration.
Its Levi graph is the
generalized Petersen graph
G(8,3).
• The configuration has no
geometric realization.
Complex Coordinatization of
(94,123)
A Z3 coordinatization of (134) = PG(2,3)
Exercises
• N1. Show that by deleting any
column of the matrix from the
previous slide a coordinatization of
(123,94) is obtained.
• N2. Determine the homogeneous
coordinates of the 9 lines from the
previous problem.
• N3.Show that by deleting any
column of the matrix for (94,123) a
coordinatization of (83) is obtained.
• N4. Given the Levi graph G(8,3) of
(83), determine the Levi graph of
(94,123).
Möbius-Kantor Configuration –
Revisited
0 0 0 1 1
0 1 1 0 0
1 0 1 0 1
1
1
0
1
1
1
0 0 0 1 1
0 1 1 0 0
1 0 1 0 1
1
1
0
1
1
1
Menger graph of Möbius-Kantor
Configuration
• Menger graph of this
configuration is depleated K8:
DK8 = K8 – 4K2
• Vertices represent
configuration points while
triangles represent lines.
Möbius-Kantor Graph in Double Torus
• Möbius-Kantor graph
in double torus .
• The embedding is
octagonal.
• The map is regular.
Möbius-Kantor Graph in Double Torus
• Möbius-Kantor graph in
double torus gives rise to
the embedding of the
Menger graph DK8 in the
same surface with 8
triangles and 6
quadrilaterals.
• By adding 4 missing
edges we get an
embedding of K_8 in
double torus with all
triangles, except two
quadrilaterals.
The Dual
• The dual graph is
S[2](K4).
• Let G be any graph.
Recall that S(G) is the
subdivision graph.
• S[k](G) is obtained
from S(G) by
multiplying the
original vertices of G
k times.
Pappusova konfiguracija
• Pappusova (93) konfiguracija
sestoji iz devetih točk in devetih
premic. Točkam lahko
pripišemo homogene
koordinate (a,b,c), pa tudi
premicam lahko pripišemo
homogene koordinate [p,q,r] pri
čemer incidenco določa zveza
ap+bq+cr=0.
• Ta primer lahko interpretiramo
kot zgled ortogonalne
reprezentacije grafov, pri
katerih u~v implicira r(u) ^
r(v).
Pappus Graph on Torus
•
•
•
•
•
•
•
•
•
10, 17, 18, 13, 12, 11
8, 15, 16, 17, 10, 9
7,12, 13, 14, 15, 8
4, 11, 12, 7, 6, 5
3,4, 5, 16, 15, 14
2, 9, 10, 11, 4, 3
1, 2, 3, 14, 13, 18
1, 18, 17, 16, 5, 6
1, 6, 7, 8, 9, 2
Three (93) Configurations
Three (93) Configurations
• They are all
combinatorially selfpolar.
• Pappus (red)
• Cyclic (green)
• Non-cyclic (yellow?).
Three (93) Configurations
•
•
•
•
•
•
5, 11, 14, 7, 15, 16, 12, 6
4, 10, 18, 17, 11, 5
3, 9, 17, 18, 12, 16, 8, 13, 10, 4
2, 8, 16, 15, 9, 3
1, 2, 3, 4, 5, 6
1, 6, 12, 18, 10, 13, 14, 11, 17, 9,
15, 7
• 1, 7, 14, 13, 8, 2
Three (93) Configurations
•
•
•
•
•
•
•
•
•
10, 16, 15, 11, 17, 18
8, 18, 17, 9, 14, 13
7, 15, 16, 12, 13, 14
4, 5, 6, 12, 16, 10
3, 9, 17, 11, 5, 4
2, 3, 4, 10, 18, 8
1, 2, 8, 13, 12, 6
1, 6, 5, 11, 15, 7
1, 7, 14, 9, 3, 2
Exercises
• N1. Show that each (9_3) configuration is
combinatorially self-polar.
• N2. Determine the groups of automorphisms and
extended automorphisms.
• N3. Show that the genus of two configurations is 1
while the genus of the third one is 2. Make
models!
• N4. Determine the three Menger graphs and their
duals on the minimal surfaces.
• N4. Prove that the complements of the three
Menger graphs are respectively C9, C6 [ C3, 3C3.
Menger and Levi - Pappus
Menger and Levi – Non-Cyclic
Menger and Levi - Cyclic
Again - Shaken
Menger and Its Complement
of G(10,3)
Genus of G(10,3) is 2.
•
•
•
•
•
•
•
•
6, 7, 17, 20, 13, 16
5, 6, 16, 19, 12, 15
4, 5, 15, 18, 11, 14
3, 13, 20, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4
2, 3, 4, 14, 17, 7, 8, 18, 15, 12
1, 2, 12, 19, 9, 10
1, 10, 20, 17, 14, 11
1, 11, 18, 8, 9, 19, 16, 13, 3, 2
Affine plane of order 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
• (94,123)
configuration is
the affine plane of
order 3.
• It contains the
Pappus
configuration.
• It contains also the
Möbius-Kantor
configuration.
Clebschev šestkotnik
Clebschev šestkotnik – še enkrat
4
7
15
12
5
8
3
16
2
1
11
14
9
6
10
13
Clebschev graf
Hiperkocka Q4
Clebschev graf – še enkrat
Grayev graf G
• Najmanjši kubični graf, ki je
povezavno tranzitiven in ni
vozliščno tranzitiven ima 54
vozlišč in je znan pod
imenom Grayev graf.
Označili ga bomo z G.
• Ker ima ožino 8, je Levijev
graf dveh najmanjših
dualnih, točkovno, premično
in praporno tranzitivnih, ne
sebidualnih (273)konfiguracij.
Grayeva konfiguracija
• Ciklično risanje obeh
konfiguracij, ki izhajata iz
Grayevega grafa.
• Obe risbi prikazujeta probleme
v zvezi z risanjem z ravnimi
črtami. Na obeh opazimo lažne
incidence, ki jih v
kombinatornih konfiguracijah
ni. Če se želimo izogniti lažnim
incidencam bodisi zgubimo 9merno simetrijo bodisi
izgubimo ravne črte.
Grayeva konfiguracija še enkrat
• Slika na levi prikazuje
mnogo boljšo sliko
Grayeve konfiguracije.
Pomaga nam tudi ločiti
med Grayevo
konfiguracijo in dualno
Grayevo konfiguracijo.
• Risba na levi pokaže, da je
Mengerjev graf M
Grayeve konfiguracije
izomorfen kartezičnemu
produktu treh trikotnikov:
K3  K3  K3 .
Mengerjev in dualni Mengerjev
graf
• Lepa reprezentacija iz
prejšnje prosojnice
olajša izbiro med
Grayevo konfiguracijo
in njenim dualom (ter
med Mengerjevim
grafom M = K33 in
dualnim Mengerjevim
grafom D.)
Rod produkta K3  K3  K3
a
c
'
a
b
'
c
'
b
c
+
c
b
a
a
'
b
'
c
c
'
a
b
c
b
'
a
'
a
'
b
'
b
'
a
'
c
'
b
• Pred leti so dokazali,
da je g(K3  K3  K3 )
= 7. Optimalno
vložitev so konstruirali
Mohar, Pisanski,
Škoviera in White.
Shematično je
prikazana na levi.
Optimalna vložitev
• Optimalna vložitev s prejšnje prosojnice ima nekaj
zelo lepih lastnosti:
– Njen dual je dvodelni.
– Vložitev uporabi vseh 27 trikotnikov grafa za lica
– Če pobarvamo lica z dvema barvama, je vseh 27
trikotnikov pobarvanih z isto barvo.
• Od tod pa sledi zelo pomembna ugotovitev: Točke
Grayeve konfiguracije ustrezajo vozliščem,
premice pa trikotnikom vložitve. Incidenca je
seveda določena s povezavami.
Grayev graf lahko vložimo v
sklenjeno orientabilno ploskev
roda 7
• Če obržimo originalna
vozlišča in vpeljemo nova
vozlišča v težiščih
trikotnikov in povežemo
vsako težišče z oglišči,
dobimo na ta način ravno
Grayev graf.
• Posledica: Grayev graf je
mogoče vložiti v isto
ploskev!
Grayev graf lahko vložimo v
sklenjeno orientabilno ploskev
roda 7
• Če obržimo originalna
vozlišča in vpeljemo nova
vozlišča v težiščih
trikotnikov in povežemo
vsako težišče z oglišči,
dobimo na ta način ravno
Grayev graf.
• Posledica: Grayev graf je
mogoče vložiti v isto
ploskev!
Spodnja meja
• Zgornja meja je potemtakem 7.
Da je tudi spodnja meja 7, sledi
iz naslednjega rezultata:
• Trditev: Naj bo L Levijev in M
Mengerjev graf neke (v3)
konfiguracije C, tedaj velja
ocena g(M)  g(L).
• Dokaz: Začnemo z optimalno
vložitvijo grafa L. Že opisani
proces lahko obrnemo (in
vpeljemo trikotnike). Tako
dobimo vložitev grafa M v isto
ploskev.
Dualni Mengerjev graf D
19
4
7
5
20
6
24
2
3
27
17
8
23
12
16
18
9
21
26
22
1
10
13
25
14
11
15
• Še na nekaj moramo
opozoriti, namreč na dualni
Mengerjev graf D, gi se ga da
po isti logiki vložiti v
sklenjeno ploskev roda 7. Ni
težko videti, da je tudi ta graf
s slike na levi zanimiv. Je
namreč Cayleyev graf
poldirektnega produkta
cikličnih grup Z3 ⋉ Z9.
• Lahko ga tudi opišemo kot Z9krovni graf nad bazičnim
grafom z naslednje prosojnice.
Napetostni graf
+2
-4
-1
+4 +1
+2
+1
-2
• Dualni Mengerjev graf
je Z9 krovni graf nad
napetostnim grafom na
levi. Napetosti so
seveda iz grupe Z9.
• Lahko ga tudi
predstavimo kot
+4
Cayleyev graf z
naslednje prosojnice.
Holtov Graf
• 4-valentni Holtov graph H
je vpet podgraf grafa D na
27 vozliščih in je
najmanjši 1/2-ločno
tranzitivni graf. To
pomeni, da je H najmanjši
vozliščno in povezavno,
ne pa ločno tranzitiven
graf. Prikazuje ga slika na
levi.
Holtov graf - ponovno
+2
-4
+4 +1
+2
+1
-2
• 4-valentni Holovt graf
H je vpet podgraf grafa
D. Iz D ga dobimo z
odtranitvijo 2-faktorja
-1
3C9. Natančneje: H je
Z9-krov nad zelenim
grafov na levi [z
odstranjenimi tremi
+4
rdečimi zankami.]
Nekaj prezentacij grupe Z3 ⋉ Z9
• Grafa H in D sta Cayleyeva grafa grupe Z3
⋉ Z9.
– Z3 ⋉ Z9 = <a, b | a9 = b3 = 1, b-1ab = a2>
– D = <x, y, z | x9 = y9 = z9 = 1, y-1xy = x2,
y-1zy = z2, x-1yx = y2, x-1zx = z2, z-1xz = x2,
z-1yz = y2>
– H dobimo iz D če iz prezentacije odstranimo
kateregakoli od x,y,z.
Nerešeni problemi
• Kolikšen je rod grafa D? Kolikšen je rod grafa H?
Rod grupe Z3 ⋉ Z9 je poznan: g(Z3 ⋉ Z9) = 4.
Po drugi strani smo dokazali, da dopušča D
vložitev v sklenjeno ploskev roda 7. Zato velja:
– 4  g(D)  7
– 4  g(H)  7
• V prvem primeru bo najbrž lažje izboljšati
spodnjo, v drugem pa zgornjo mejo.
Balabanova 10-kletka
• Na levi vidimo Balabanovo 10kletko. To je najmanjši kubični graf
ožine 10. Ima 70 vozlišč, vidimo
tudi očitno simetrijo.
• Kletka poseduje tudi Hamiltonov
cikel. To vidimo npr. iz LCF kode
zanjo:
•
[-9, -25, -19, 29, 13, 35, -13, 29, 19, 25, 9, -29, 29, 17, 33, 21,
9, -13, -31, -9, 25, 17, 9, -31, 27,
-9, 17, -19, -29, 27, -17, -9, -29,
33, -25, 25, -21, 17, -17, 29, 35, 29, 17, -17, 21, -25, 25, -33, 29,
9, 17, -27, 29, 19, -17, 9, -27, 31,
-9, -17, -25, 9, 31, 13, -9, -21, 33, -17, -29, 29]
Preostali 10-kletki
• Ob Balabanovi
obstajata še dve 10kletki. Druga je bolj
simetrična od tretje.
• [(-29, -19, -13, 13,
21, -27, 27, 33, -13,
13, 19, -21, -33,
29)5]
Preostali 10-kletki
• Ob Balabanovi obstajata še dve
10-kletki. Tretja je najman
simetrična.
• [9, 25, 31, -17, 17, 33, 9,
-29, -15, -9, 9, 25, -25,
29, 17, -9, 9, -27, 35, -9,
9, -17, 21, 27, -29, -9, 25, 13, 19, -9, -33, -17,
19, -31, 27, 11, -25, 29, 33, 13, -13, 21, -29, -21,
25, 9, -11, -19, 29, 9, 27, -19, -13, -35, -9, 9,
17, 25, -9, 9, 27, -27, 21, 15, -9, 29, -29, 33, 9, -25].
10-kletke
• Vse tri 10-kletke so hamiltonske, zato smo
jih lahko opisali z LCF kodo.
• Grupe avtomorfizmov imajo rede: 80, 120,
24.
• Literatura: T.P., M. Boben, D. Marušič, A.
Orbanič: The 10-cages and derived
Configurations, Discrete Math. 2003 (v
tisku).