Transcript LINEARNA FUNKCIJA Roko Salković, 1.g

LINEARNA FUNKCIJA
f(x)= ax + b
Linearna funkcija je svaka
funkcija koja se može zapisati
jednadžbom f(x) = ax + b, pri
čemu su a i b realni brojevi
Graf linearne funkcije je pravac
y = ax + b
Linearna jednadžba i pravac
 Jednadžba oblika
Ax + By = C
pri čemu su A, B i C realni brojevi i barem jedan od
brojeva A i B je različit od nule, naziva se linearna
jednadžba.
 Skup svih rješenja linearne jednadžbe prikazan u
pravokutnom koordinatnom sustavu je pravac.
 Taj pravac nazivamo grafom linearne jednadžbe.
Posebni slučajevi linearne jednadžbe
 Graf jednadžbe Ax + By = C je pravac:
 1. Za C = 0 pravac prolazi kroz ishodište
 2. Za A = 0 graf je pravac paralelan s osi apscisa
 3. Za B = 0 graf je pravac paralelan s osi ordinata
Eksplicitna i implicitna jednadžba pravca
 Jednadžbom Ax + By = C određen je pravac u
pravokutnom koordinatnom sustavu.
 Zato kažemo da je ovo linearna jednadžba pravca,
odnosno implicitni oblik jednadžbe pravca.
 Implicitni oblik često zapisujemo i u obliku Ax + By +
C=0
 Izrazimo li iz nje y, dobit ćemo jednadžbu oblika
y = ax + b
 Tu jednadžbu zovemo eksplicitnim oblikom
jednadžbe pravca.
Jednadžba pravca
zadanog dvjema točkama
 Pravac je potpuno određen dvjema točkama
 Postavljamo pitanje: kako odrediti jednadžbu pravca,
ako znamo koordinate točaka kroz koje prolazi?
 Jednadžba pravca koji prolazi točkama A(x1y1) i
B(x2y2), x1 ≠ x2, glasi
𝑦2 − 𝑦1
𝑦 − 𝑦1 =
× (x − x1)
𝑥2 − 𝑥1
 Odredimo jednadžbu pravca koji prolazi točkama:
1) A(3,-2), B(1,2)
 Dobijemo rješenje 𝑦 = −2𝑥 + 4
 2) A(3,-2), B(3,2)
 Dobijemo rješenje 𝑥 = 3
Linearna funkcija
 Linearna funkcija je pridruživanje kojim
nekom broju x pridružujemo
broj f (x) pri čemu je
f(x) = ax + b, a≠0.
 Pravac y = ax + b graf je linearne funkcije.
Značenje koeficijenata a i b
 Prikažimo u istom koordinatnom sustavu pravce koji
su grafovi funkcija
f(x) = x + 1
f(x) = 2x + 1
f(x) = 4x + 1
 Sva tri pravca imaju pozitivan nagib, svi su rastući: s
povećanjem broja x povećava se i vrijednost funkcije
y = f(x).
 Što je nagib veći, funkcija brže raste.
 Prikažimo također neke funkcije s negativnim
nagibom
 Neka su to funkcije
f(x) = -x – 2
f(x) = -3x – 2
f(x) = -6x – 2
 a - koeficijent smjera (nagib pravca)
 b - odsječak na osi y
 Ako je a > 0, onda funkcija raste.
 Ako je a < 0, onda funkcija pada.
 Ako je a = 0, onda je funkcija konstanta.
 Pravci su paralelni ako imaju isti nagib (koeficijent
smjera), a okomiti ako su im nagibi suprotni i
recipročni.
Nultočka linearne funkcije
 Nultočka linearne funkcije je broj x za koji je
f(x) =- 0
 Nultočku određujemo iz linearne jednadžbe
ax + b = 0
𝑏
 Rješenje te jednadžbe je x = −
𝑎
 Odredimo nultočku funkcije f(x) = -2x + 5
Graf funkcije f(x) = 𝒙
 Funkcija apsolutne vrijednosti povezana je s linearnom
funkcijom, a definiramo ju ovako:
f(x) = |𝒙| =
x, x ≥ 0
-x, x < 0
 Njezin se graf sastoji od dva polupravca
 Graf je smješten iznad osi x
 Graf je simetričan prema osi y
nacrtati graf funkcije f(x) = 2𝑥 − 4
Sjecište dvaju pravaca
 Dva se pravca, ako nisu paralelni, sijeku u jednoj i
samo jednoj točki
 Sjecište dvaju pravaca je točka koja zadovoljava
jednadžbe oba pravca
 Točka u kojoj se dva pravca sijeku rješenje je
sustava linearnih jednadžbi
 Primjer:
𝑥 + 3𝑦 = 7
2𝑥 − 𝑦 = 5
 Rješavanjemovog sustava dobili smo jedinstveno
22 9
7 7
rješenje ( , )
 Uzmimo drugi primjer: 2𝑥 + 𝑦 = 3
4𝑥 + 2𝑦 = 2
 Dobili smo nemoguću jednakost 6 = 2
 To znači da početni sustav nema rješenja, odnosno da
se pravci ne sijeku – paralelni su
 Za ovakav sustav kažemo da je nesuglasan ili
nemoguć
 Riješimo sustav: −2𝑥 + 𝑦 = 1




4𝑥 − 2𝑦 = −2
Rješavanjem ove jednadžbe dobijemo rješenje
−2 = −2
Jednadžba je zadovoljena bilo kojom vrijednošću x
Pravci se podudaraju
Za ovakav sustav kažemo da je neodređen
 Prezentaciju izradili:
Adam Mišković
Roko Salković
SŠ Ambroza Haračića, P.O. Cres, 1.g
Mentor: Melita Chiole, prof. savjetnik