Metoda supstitucije 1. dio (izražavamo x iz prve jednadžbe) Na latinskom, riječ substituere znači zamjena. Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit ćemo.
Download ReportTranscript Metoda supstitucije 1. dio (izražavamo x iz prve jednadžbe) Na latinskom, riječ substituere znači zamjena. Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit ćemo.
Slide 1
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 2
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 3
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 4
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 5
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 6
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 7
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 8
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 9
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 10
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 11
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 12
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 13
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 14
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 15
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 16
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 2
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 3
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 4
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 5
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 6
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 7
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 8
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 9
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 10
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 11
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 12
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 13
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 14
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 15
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/
Slide 16
Metoda supstitucije
1. dio
(izražavamo x iz prve jednadžbe)
Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.
Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit
ćemo nekoliko zamjena.
Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x
iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro
savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema
složenijima.
Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom
proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz
prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip
zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno,
ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti
- najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i
same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati
na papiru.
Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona
potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu
svrhu koristite ponuđene linkove.
Sretno!
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
30 - 6y - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.
Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,
kliknite ovdje.
Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje
izvan gornja dva linka.
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
Uvrstimo dobivene
vrijednosti
od x i y rezultat.
Izračunajmo
ovo... Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj strani
jednadžbe,
Otuda prve
zaključujemo
da uređeni par (2,4)
te provjerimo hoće
li rezultat prvu
biti jednak
zadovoljava
jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
a)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 10 - 2y
x + 2y = 10
3x - y = 2
3· ( 10 - 2y ) - y = 2
x = 10 - 2 · 4
x = 10 - 8
x= 2
30 - 6y - y = 2
- 6y - y = 2 - 30
- 7y = - 28
: (-7)
Rj. ( 2, 4 )
y = 4
Provjera:
2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10
3·2- 4 = 6 -4 = 2
Izračunajmo ovo...
I tu smo dobili
predviđeni rezultat.
Dakle, uređeni par (2,4)
zadovoljava i drugu
jednadžbu.
Stoga on zadovoljava
obje jednadžbe,
pa je on rješenje
zadanog sustava.
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
x = -1 - y
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
Riješimo
ovejasno
zagrade...
Ukoliko tisenije
otkud
ova dva minusa,
klikni ovdje.
Ako ti je sve jasno, klikni
bilo gdje izvan tog linka
za nastavak.
Rj. ( 12, -13 )
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
Uvrstimo
dobivene
od xrezultat.
iy
Izračunajmo
ovo... vrijednosti
Dobili
smo predviđeni
u izraz na lijevoj
strani
prve jednadžbe,
Otuda
zaključujemo
da uređeni par (12,-13)
te provjerimozadovoljava
hoće li rezultat
biti jednak
prvu jednadžbu.
desnoj strani iste jednadžbe...
A drugu? ...
Primjer 1.:
b)
Riješimo metodom supstitucije:
x = -1 - y
x + y = -1
-5x - 4y = -8
-5 · ( -1 - y ) - 4y = -8
x = -1 - (-13)
x = -1 + 13
x = 12
5 + 5y - 4y = -8
5y - 4y = -8 - 5
y = - 13
Rj. ( 12, -13 )
Provjera:
12 + (-13) = 12 - 13 = -1
-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52 = -8
I tu smo dobili predviđeni rezultat.
Izračunajmo
ovo...
Dakle,
uređeni par
(12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu.
Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,
pa je on rješenje zadanog sustava.
Primjer 1.:
c)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 3+y
x-y=3
-x - 2y = 15
- ( 3 + y ) - 2y = 15
x = 3 + (-6)
x= 3 -6
x = -3
-3 - y - 2y = 15
-y - 2y = 15 + 3
-3y = 18
: (-3)
Rj. ( -3, -6 )
y = -6
Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?
Provjeru napravi sam...
Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.
Primjer 1.:
d)
Riješimo metodom supstitucije:
x = y
x-y=0
2x + 3y = -25
x = -5
2 · y + 3y = -25
2y + 3y = -25
5y = -25
y = -5
:5
Napomena:
Nulu nema potrebe pisati ako
se nešto seli na njenu stranu.
Naime, vrijedi 0+y=y, pa je
prirodno pisati ono što je
jednostavnije, dakle samo y.
Rj. ( -5, -5 )
Provjeru napravi sam...
Primjer 1.:
e)
Riješimo metodom supstitucije:
x = 6-y
x+y=6
x - 2y = -3
x = 6 -3
6 - y - 2y = -3
-y - 2y = -3 - 6
x= 3
Napomena:
-3y = pisati
-9 ako
: (-3)
Zagradu ne moramo
ispred nje nema niti množenja niti minusa.
Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo jeRj.
se (išli
budući da
3,riješiti,
3)
3 to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve
ispred nje ništa yne=piše,
iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.
Provjeru napravi sam...
Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.
Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,
vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!
Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav
možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b
primjeru).
Sretno!
1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:
a) x + y = -8
-2x -6y = 20
f) x + 3y = -12
x - 2y = 8
b) x - 5y = 34
-x - 2y = 15
g) x - 2y = 11
-2x + y = -28
c) x + y = -5
-4x + 6y = 0
h) x + y = -36
-x + 2y = 0
d) x - y = -1
3x - 2y = -8
i) x + y = -2
5x - y = -4
e) x + 3y = -4
x + 2y = -4
j) x - 3y = 8
-2x + 3y = -13
Rješenja:
a) (-7,-1)
b) (-1,-7)
c) (-3,-2)
d) (-6,-5)
e) (-4,0)
f) (0,-4)
g) (15,2)
h) (-24,-12)
i) (-1,-1)
j) (5,-1)
Nadam se da si uspješno riješio zadatke.
Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!
U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo
postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz
neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...
Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek
svibanj 2011.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/