Transcript Nelinearni sustav drugog reda

Signali i sustavi
Sustavi drugog reda
Definicija i blok dijagram
 Sustav drugog reda ima dva elementa s
memorijom, dakle, dva integratora u blok
dijagramu.
 Opisan je s diferencijalnom jednadžbom
drugog reda, odnosno s dvije jednadžbe
prvog reda.
2
Definicija i blok dijagram
 Sustav s ulazom u i izlazom y je drugog
reda ako se mogu identificirati dvije
varijable stanja x1 i x2.
dx1
x1 (t0 )  x10 za t  t0
 f1 ( x1 , x2 , u )
dt
dx2
 f 2 ( x1 , x2 , u )
dt
x2 (t0 )  x20
y  g ( x1 , x2 , u)
3
Definicija i blok dijagram
 Opći oblik blok dijagrama za sustav drugog
reda može se nacrtati s funkcijskim
blokovima samo s jednim izlazom:
f1
v1

x1
u
g
y
x2
f2
v2

4
Definicija i blok dijagram
 x1 
 Vektor stanja: x   
 x2 
 Sustav drugog reda:
dx1
 f1 ( x1 , x2 , u )
dx
dt
 f (x, u )
dx2
dt
 f 2 ( x1 , x2 , u )
dt
y  g(x, u )
x(0)  x0
y  g ( x1 , x2 , u)
5
Definicija i blok dijagram
 Rješenje vektorske diferencijalne jednadžbe
možemo napisati formalno u obliku kao da se
radi o diferencijalnoj jednadžbi prvog reda:
t
x(t )  x 0   f (x( ), u ( )) d .
t0
 Dobivena je integralna jednadžba u kojoj se
funkcija stanja x(t) pojavljuje implicitno, pa
je nije moguće jednostavno riješiti.
 To je oblik koji se koristi u numeričkim
postupcima.
6
Vladanje i svojstva sustava
drugog reda
Linearni sustav vremenski stalan
 Opći oblik jednadžbe stanja:
x1  a11x1  a12 x2  b11u1  b12u2
x2  a21x1  a22 x2  b21u1  b22u2
 x1   a11 a12   x1  b11 b12   u1 
   
 x  Ax  Bu
 x   a




 2   21 a22   x2  b21 b22  u2 
 Može se transformirati u diferencijalnu
jednadžbu drugog reda:
x1  Tx1  x1  u (t ),
x2  Tx2  x2  v(t ).
7
Vladanje i svojstva sustava
drugog reda
 Pri tom su:
T  a11  a22
Δ  a11a22  a12a21
trag matrice A
determinan ta od A
u (t )  (a12b21  a22b11 )u1  (a12b22  a22b12 )u2  b11u1  b12u2
v(t )  (a21b11  a11b21 )u1  (a21b12  a11b22 )u2  b21u1  b22u2
 Ako su obje konstante a12  a21  0 (matrica
A je dijagonalna) sustav je opisan s dvije
razvezane jednadžbe prvog reda.
8
Vladanje i svojstva sustava
drugog reda
 Često se jednadžba drugog reda
nepobuđenog sustava piše u obliku:
x  2x   02 x  0,
 2   T,  je faktor prigušenja,
  02  , 0 je frekvencija neprigušenog
titranja.
9
Vladanje i svojstva sustava
drugog reda
 Pretpostavimo da je rješenje eksponencijala:
x(t )  Xe .
pt
 Uvrštenje vodi do karakteristične jednadžbe:
p  2p    0,
2
2
0
 čija rješenja su karakteristične ili prirodne
frekvencije sustava drugog reda.
10
Vladanje i svojstva sustava
drugog reda
     d za    0  0

2
2
p12       0    
za    0  0
   j za 0 <  < 
d
d

 d   2   02
d    
2
0
Rješenje je oblika:
2
x  X1e  X 2e
p1t
p 2t
11
Vladanje i svojstva sustava
drugog reda
 zavisno od veličina  i 0 postoji tzv.




nadkritično prigušenje
kritično prigušenje
podkritično prigušenje
neprigušeni slučaj
  0,
  0,
 < 0,
  0.
12
Vladanje i svojstva sustava
drugog reda
SIMULINK primjer
13
Vladanje i svojstva sustava
drugog reda
 Proizvoljne konstante određuju početni
uvjeti x(0) i x (0).
 Rješenje se može napisati u obliku:
x (0)  x(0)p 2 p1t x (0)  x(0)p1 p 2t
x(t ) 
e 
e .
(p1  p 2 )
(p 2  p1 )
14
Vladanje i svojstva sustava
drugog reda
 Rješenje homogene jednadžbe stanja može
se dobiti pretpostavkom da eksponencijalne
funkcije x1  X1ept , x2  X2ept zadovoljavaju
skup od dvije jednadžbe:
x1  a11x1  a12 x2
x2  a21x1  a22 x2
15
Vladanje i svojstva sustava
drugog reda
 Dobije se sustav karakterističnih
algebarskih jednadžbi:
x1  a11x1  a12 x2
pX1e pt  a11X1  a12X 2 e pt


x2  a21x1  a22 x2
pX 2e pt  a21X1  a22X 2 e pt
x1  X1e pt
x2  X 2 e pt
pX1  a11X1  a12X 2
pX 2  a21X1  a22X 2
(a11  p)X1  a12X 2  0
a21X1  (a22  p)X 2  0
16
Vladanje i svojstva sustava
drugog reda
 Da bi sustav karakterističnih jednadžbi dao
rješenja za amplitude X1, X2 različite od
nule, mora determinanta sustava isčezavati,
(a11  p)
a12
 0.
a21
(a22  p)
 To daje polinom drugog stupnja:
p  Tp    0.
2
17
Vladanje i svojstva sustava
drugog reda
 odakle slijede prirodne frekvencije p1 i p2 za
koje ept zadovoljava jednadžu.
 Rješenje se može napisati u obliku:
x1 (t )  X 11e  X12e ,
p1t
p 2t
x2 (t )  X 21e p1t  X 22e p 2t .
18
Vladanje i svojstva sustava
drugog reda
 Nezavisne su samo dvije konstante i one se
odrede iz dva početna uvjeta.
 Druge dvije konstante proizlaze iz prvih
uvrštenjem u jednadžbe stanja za t  0.
(a11  p 2 ) x10  a12 x20
X11 
p1  p 2
(a11  p1 ) x10  a12 x20
X12 
p 2  p1
a21x10  (a22  p 2 ) x20
X 21 
p1  p 2
a21x10  (a22  p1 ) x20
X 22 
p 2  p1
19
Vladanje i svojstva sustava
drugog reda
 Primjer: Najjednostavniji slučaj dva
integratora s povratnom vezom.
dx
dx
dx
x
x
1
2
1
dt
dt

x
2


dt
dx2
 ax1
a
dt
a11  0
a12  1
 x1  0 1  x1 
a22  0
 x   a 0   x  a21  a
  2
 2 
T 0
  a
2
1
20
Vladanje i svojstva sustava
drugog reda
...
 Determinanta sustava mora isčezavati
p 1
2
 p  a  0 p12   a  α
a p
za a  0
sh(
t
)


x
(
t
)
 x10 
 1 
ch(
αt
)
   x 
 x (t )  
 2   sh( αt ) ch(t )  20 
 x(t)  F(t)x0 , gdje je F(t)  prijelazna matrica.
21
Vladanje i svojstva sustava
drugog reda
 Veza između x1(t) i x2(t).
 Jednadžbu krivulje F(x1, x2)  0 možemo
dobiti eliminacijom vremena.
 Uzmimo početno stanje x10, (x20  0):
2
2
 x1   x2 
   
  1.
 x10   x10 
22
Vladanje i svojstva sustava
drugog reda
Im
x2
-
0

Re
0
x1   za t  
x10
x1
 Nestabilan sustav. Ravnoteža
x  0 se ne dosegne  sedlo
x2   za t  
23
Vladanje i svojstva sustava
drugog reda
 Primjer: za a < 0
2
 x 1   x2 

  

 x10   x10 
2
p12    02   j0
 Zatvorena krivulja  periodičan
proces. Trajektorija obilazi oko točke
 1 ravnoteže  fokus.
Im
x2
jd
0
Re
0
x1
-jd
24
Vladanje i svojstva sustava
drugog reda
+
dx2
dt

x2
dx1
dt

x1
a21
a22
p12    j d
d    
1   x1 
 x1   0
 
 x   a

 2   21 a22   x2 
2
0
2
25
Vladanje i svojstva sustava
drugog reda
2
2
 x1  

x2

  
 1
t 
t 
 x10e    d x10e 
Im
x2
jd
-
0
Re
0
x1
-jd
26
1.5
1
0.5
x2
0
-0.5
-1
-1.5
4
30
3
20
2
10
1
x1
0
0
t
27
1
x2
0.5
0
-0.5
3
30
2
20
1
x1
0 0
10
t
28
0.6
0.5
x2
0.4
0.3
0.2
0.1
0
2
30
20
1
x1
10
0
0
t
29
Vladanje i svojstva sustava
drugog reda
 Slučaj realnih i različitih p1 i p2,
a)
p1, p2 < 0
Im
p2
p1
stabilni čvor
x2
0
Re
0
x1
30
Vladanje i svojstva sustava
drugog reda
 Slučaj realnih i različitih p1 i p2
b)
p1, p2  0
Im
nestabilni čvor
x2
0
p1
p2
Re
0
x1
31
SIMULINK primjer
32
Vremenski varijantan sustav
drugog reda
dx2
dt

x2
dx1
dt

x1
-1
a(t)    f(t)
 Pojačanje a(t) u petlji blok dijagrama je
zavisno od vremena.
x1 (t )  x2
x2 (t )  a(t ) x1 (t )
33
Vremenski varijantan sustav
drugog reda
 Vremenska funkcija a(t) pojačanja će
utjecati na vladanje sustava.
 Hillova diferencijalna jednadžba a(t )    f (t )
x1  x2  (   f (t )) x1 ,
x1  (   f (t )) x1  0.
 Za f(t)  2cos 2t izlazi Mathieu  ova
diferencijalna jednadžba:
x1  (  2 cos 2t ) x1  0.
34
Vremenski varijantan sustav
drugog reda
 Za f(t)  r(t) pravokutan oblik, gdje je
funkcija pojačanja konstantna po
odsječcima (Meissnerova jednadžba).
 Jednadžba se može rješavati po invervalima
kao diferencijalna jednadžba s konstantnim
koeficijentima.
35
Vremenski varijantan sustav
drugog reda
 Pretpostavimo a(t)
a(t )  α(1  mr (t ))

1
r (t )  
 1

0 < (1  m)α 

2

2
< (1  m)α  
 Za 1,3,5,... četvrtinu perioda jednadžba stanja
je
x2  α(1  m) x1 x1  x2 x1  ω12 x1  0.
 Za 2,4,6,... četvrtinu perioda jednadžba stanja
je
2
x2  α(1  m) x1 x1  x2 x1  ω 2 x1  0.
36
Vremenski varijantan sustav
drugog reda
 U oba slučaja je to rješenje vremenski
nepromjenljivog sustava.
2
 Prvi slučaj:
ω1  α(1  m).
2
 Drugi slučaj:
ω2  α(1  m).
 Rješenje izraženo s početnim uvjetima je:
x20
x1  x10 cos ωt 
sin ωt ,
ω
x2  ωx10 sin ωt  x20 cos ωt.
37
Vremenski varijantan sustav
drugog reda
 Odredimo rješenje gornjih diferencijalnih
jednadžbi u 1, 2, 3 i 4. vremenskom
odsječku.
 U svakom odsječku ćemo smatrati da
vrijeme počinje od t  0.
 Kao početno stanje uzet ćemo krajnje stanje
iz prethodnog vremenskog intervala.
 Kao početno stanje u prvom intervalu
uzmimo: x10  0, x20  0.
38
Vremenski varijantan sustav
drugog reda
 Uz dane pretpostavke dobije se izraz za
amplitudu titranja:
2
 ω1 
1 m
x1 (2 )    x10 
x10 .
1 m
 ω2 
39
Vremenski varijantan sustav
drugog reda
x1(t)
x10
0
 1

 2
2

1 m
 x10 
x10
1

m

t
x2
r(t)
1
x10
0
-1
t
0
2
x1
 1 
  x10
 2 
40
Vremenski varijantan sustav
drugog reda
 Periodična promjena parametra pogodnog
polariteta m  0 i dvostruke frekvencije
izaziva porast amplitude titranja.
 Analizirani sustav je model:
 fizikalnog njihala (dječja ljuljačka) gdje se težiste mase
mijenja,
 titrajnog kruga čiji se kapacitet mijenja dvostrukom
frekvencijom od frekvencije titranja kruga.
 Promjenljivi element pumpa energiju u
sustav.
41
Nelinearni sustav drugog reda
+

dx2
dt

x2
dx1
dt

x1
f(x)
 Neka je funkcija nelinearnog bloka polinom
trećeg stupnja, f(x)  ax  cx3.
dx1
dx2
 x2
  x1  f ( x2 )
dt
dt
42
Nelinearni sustav drugog reda
 Jednadžbe se mogu svesti na jednadžbu
drugog reda
2
d x2 dx1 df x2



2
dt
dt dx2 dt
2
d x2
df dx2
  x2 

,
2
dt
dx2 dt
2
odnosno
d x2
2 dx2
 (a  3cx2 )
 x2  0.
2
dt
dt
Van der Pol  ova jednadžba
43
SIMULINK primjer
44
Nelinearni sustav drugog reda
 Ova jednadžba je poslužila za analizu
nekoliko tipova oscilatora.
 Od niza zanimljivih fenomena posvetit će se
pažnja radu ovog sustava kao oscilatora.
 Pretpostavit ćemo da veličine a << 1 i
c << 1 tako da je sustav vrlo oscilatoran.
dx
 Uz zanemarenje člana s 2 dominantni proces
dt
može se opisati jednadžbom: x2  x2  0
čije je rješenje harmonijsko titranje.
45
Nelinearni sustav drugog reda
 Za očekivati je da će se proces moći opisati
približno s harmonijskim titranjem.
2
 Mali srednji član (a  3cx ) x će utjecati na
sporo mijenjanje amplitude titranja.
 Pretpostavimo zato rješenje u obliku:
x  A(t ) sin(t )
gdje je A(t) sporo mijenjajuća amplituda
oscilacija.
x  A (t ) sin t  A(t ) cos t
(t ) sin t  2 A (t ) cos t  A(t ) sin t
x  A
46
Nelinearni sustav drugog reda
 Da bi jednadžba bila zadovoljena, svi
članovi koji množe sin(t) i koji množe cos(t)
moraju biti jednaki nuli.
(t ) sin t  A(t ) sin t  aA (t ) sin t  3 A2 (t )cA (t ) sin 3 t  0,
A
2 A (t ) cos t  aA(t ) cos t  3cA3 (t ) sin 2 t cos t  0.
 Iz druge jednadžbe izlazi:
3c 3

2 A(t ) cos t  aA(t ) cos t  A cos t  cos 3t   0.
4
47
Nelinearni sustav drugog reda
 Efekt treće harmoničke komponente (3t) se
može zanemariti, pa dobijemo jednadžbu za
sporo mijenjanje amplitude:
3c 3

2 A(t )  aA(t )  A (t )  0.
4
 Stalna amplituda A (t )  0 uspostavit će se pri:
4a
 3c 2 
2
A(t ) a  A (t )   0 tj. A s1  0 i A s 2 , 3  .
4
3c


48
Nelinearni sustav drugog reda
 Pretpostavimo da je početno stanje u
sustavu izazvalo početnu amplitudu titranja
A(0)  A0.
 Rješenjem jednadžbe za amplitudu, dobit
ćemo izraz za utitravanje oscilatora od A0
do As:
As
A(t ) 
.
 A  2 
 at
s


1  
 1 e

 A 0 

49
Nelinearni sustav drugog reda
A(t)
A0
As
A0
0
t
 Amplituda se u početku ekspenencijalno razvija počevši od A0, a
kasnije asimptotički približava stalnoj vrijednosti As.
 U slučaju A0 < As raste, dok za A0  As asimptotički pada na As.
 Amplituda oscilacija pokazuje svojstvo stabilnosti.
50
Nelinearni sustav drugog reda
x2
0
x1
 Trajektorija u ravnini stanja kreće od početnog
stanja i teži zatvorenoj krivulji.
 Zatvorena krivulja opisuje tzv. granični ciklus
u sustavu.
51
Nelinearni sustav drugog reda
 Za razliku od zatvorenih trajektorija u
linearnom sustavu, gdje početno stanje
određuje veličinu zatvorene krivulje, ovdje
parametri nelinearnog funkcijskog bloka (a, c)
određuju veličinu zatvorene trajektorije.
 U njenoj neposrednoj blizini nema drugih
trajektorija.
 Takve trajektorije se nazivaju izoliranim.
52