Transcript Vezbe 1. deo - University of Belgrade

OPŠTA ALGEBRA
Neka je  binarna operacija definisana na skupu A  A.
Osobine:
1) zatvorenost
(x, y  A) x  y  A
2) asocijativnost
(x, y, z  A)( x  y )  z  x  ( y  z )
3) postojanje neutralnog elementa
(e  A)(x  A) x  e  x, e  x  x
4) postojanje inverznog elementa
(x  A)(x 1  A) x  x 1  e, x 1  x  e
5) komutativnost
(x, y  A) x  y  y  x
Uređeni par ( A, ) gde je A neprazan skup, a  binarna
operacija, zove se:
- grupoid, ako ima osobinu 1)
- semigrupa, ako ima osobine 1) i 2)
- monoid, ako ima osobine 1), 2) i 3)
- grupa, ako ima osobine 1), 2), 3) i 4)
- Abelova (komutativna) grupa, ako ima osobine 1), 2), 3), 4) i 5).
Struktura (S , , ) naziva se:
- prsten, ako je:
1) (S , ) Abelova grupa
2) (S , ) semigrupa
3) operacija distributivna u odnosu na 
- telo, ako je:
1) (S , ) Abelova grupa
2) (S \ e , ) grupa, gde je e neutralni element operacije 
3) operacija distributivna u odnosu na 
- polje, ako je:
1) (S , ) Abelova grupa
2) (S \ e , ) Abelova grupa, gde je e neutralni element operacije 
3) operacija
distributivna u odnosu na  .
1. Dokazati da je binarna operacija  definisana na sledeći način:
(x, y  R  ) x  y  x loga y (a  0, a  1),
asocijativna i da ima neutralni element e.
2. Neka je u skupu R definisana operacija  sa:
(x, y  R  ) x  y  4 xy  k ( x  y ) (k je realni parametar).
Naći vrednost parametra k tako da je data operacija asocijativna.
3. Dokazati da je (G,) grupa, gde je skup G dat na sledeći način:


G  x  y 5 x 2  5 y 2  1; x, y  Q ,
a operacija  predstavlja množenje realnih brojeva.
4. Ispitati prirodu strukture (S , ), gde je skup S  (a, b) a, b  R; a  0
a operacija  definisana sa: (a, b)  (c, d )  (ac, bc  c  d ).
5. U prstenu ( Z , , ) definisane su operacije  i
a  b  a  b  1, a
:
b  ab  a  b.
Dokazati da je ( Z , , ) komutativni prsten sa jedinicom,
izomorfan prstenu ( Z , , ).
6. Dokazati da je ( M , , ) polje, gde je M  ( x  y 2 | x, y  Q), a + i 
sabiranje i množenje realnih brojeva.
6. Ispitati prirodu strukture ( A,*) :
ab
1  2m

1) A  
m, n  Z  ,  je množenje u R
2) A  Q  , a  b 
ab
 1  2n

3) a) A  N , a  b  a b
b) A  N 0  N  0 , a  b  min a, b
4) a) A  Q, a  b 
2a  b
3
b) A  R \ 0 , a  b 
5) a) A  R  , a  b  a 2b 2
6) A  (1,1)  R, a  b 

b) A  R  , a  b  ab
ab
1  ab
ab
2

7) A  a  b 3 a 2  b 2  0; a, b  Q ,  je množenje u R
8)
A  (a, b) a  0; a, b  Q , (a, b)  (c, d )  (ac, ad  b)
9)
A  (a, b) a  0; a, b  R , (a, b)  (c, d )  (ac, ad  bc)
10)
A  (a, b)a, b  Z  , (a, b)  (c, d )  (a  c, ( 1) c b  d )
MATRICE
A  aij
mn

a11
a21
a12
a22
a1n
a2 n
am1 am 2
amn
Neka su date matrice A i B istog formata, tj. A  aij
Tada je:
A  B  aij  bij
mn
i kA  kaij
mn
mn
, B  bij
mn
.
.
Neka su date matrice A i B takve da je matrica A formata m  n,
a matrica B formata n  p. Tada je: A  B  ai1b1 j  ai 2b2 j  ...  ain anj
m p
.
1. Neka su date matrice A 
2
1
3
3
iB
2 0
1 1
.
Naći: 1) A  B, 2) 2 A  3B, 3) A  B, 4) B  A, 5) f ( A), ako je f ( x)  x 2  5 x  3.
3 1 1
1
1
2. Naći proizvod matrica A i B ako je: 1) A  2 1 1 , B  2 1 ,
1 2 3
1 0
2) A 
1 3
3 12 6 15
, B
.
2 6
1 4 2 5
1 0
1 2
1 2
3. Naći A  B i A  C , ako je A 
, B
iC
.
2 0
2 3
3 4
2 1
4. Naći sve matrice koje su komutativne sa matricom A 
.
3 2
 0 0

5. Dokazati da skup matrica M  
a C

a
a


ima strukturu polja u odnosu na operacije sabiranja i množenja matrica.
DETERMINANTE
a11
a12
a21
a22
a11
a12
 a11a22  a12 a21
a13 a11
a12
a21 a22
a23 a21 a22  (Sarusovo pravilo)
a31
a33 a31
a32
a32
 a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32  a13a22 a31  a11a23a32  a12 a21a33
Vrednost determinante
- se ne menja ako vrste i kolone zamene mesta (prva vrsta postane prva kolona itd.)
ili ako jednoj vrsti (koloni) dodamo drugu vrstu (kolonu) pomnoženu nekim brojem
- menja znak ako dve vrste (kolone) zamene mesta
- se uvećava k puta ako jednu vrstu (kolonu) pomnožimo sa k
- je nula ako jedna vrsta (kolona) sadrži samo nule ili ako su dve vrste (kolone)
jednake, tj. proporcionalne.
Za determinantu reda n, n  N , važi sledeća teorema o razvoju:
a11
a21
a12
a22
a1n
a2 n
an1
an 2
ann
a11
a21
a12
a22
a1n
a2 n
an1
an 2
ann
 ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ...  ain Ain (razvoj po i -toj vrsti), tj.
 a1 j A1 j  a2 j A2 j  ...  anj Anj (razvoj po j -toj koloni).
Aij je tzv. algebarski kofaktor elementa aij za koji važi Aij  (1)i  j Dij ,
gde je Dij determinanta koja se dobija iz početne izostavljanjem i-te vrste
i j -te kolone.
Kramerove formule (za sistem 3 linearne jednačine sa 3 nepoznate)
a11 x  a12 y  a13 z  b1
a21 x  a22 y  a23 z  b2
a31 x  a32 y  a33 z  b3
a11 a12 a13
Neka je D  a21 a22 a23 determinanta sistema, a Dx , Dy i Dz
a31 a32 a33
determinante koje se dobiju kad se kolona koeficijenata uz x, y, tj. z
D
Dx
D
, y y, z z
D
D
D
i to je jedinstveno rešenje sistema. Ako je D  0,a bar jedna od determinanti Dx , Dy , Dz
zameni kolonom slobodnih članova. Tada je (ako D  0), x 
različita od nule, onda sistem nema rešenja.Ako je D  Dx  Dy  Dz  0,
onda sistem ili nema rešenja ili ima beskonačno mnogo rešenja.
1. Izračunati:
1 2
1)
3 4
1 4 2
2) 1 3 5
2
4
1
3
5
1
2
2 4 0 3
3)
12 2 1 0
0
6
1
4
5 6
4
2 7
0 1
9
7 8 13
0 0 1
4)
0 0 0
9
2
0
4
0 0
0 0
0
0
1
0
2. Rešiti sistem u zavisnosti od vrednosti realnog parametra p :
px  y  z  1
x  py  z  p
x  y  pz  p 2 .
0
0
3
2
.
3
17
1
3. Rešiti sistem u zavisnosti od vrednosti realnog parametra p :
1) px  y  z  1
x  py  2 z  2
2x  y  z  0
2) px  y  z  p
x  py  z  1
x  y  pz  p
MATRICE - nastavak
1. Naći inverznu matricu A1 matrice A, ako je:
1 0 1
2 2 3
a b
1) A 
, ad  bc  0, 2) A  2 1 2 , 3) A  1 1 0 .
c d
0 3 3
1 2 1
2. Rešiti matričnu jednačinu:
1
2
3
1
1) AX  B, ako je A  3 2 4 , B  10
2 1 0
10
2) AX  B  X , ako je A 
3 0
2
7
7 ,
8
2 1
0 3
, B
.
1 2
4 1
3. Rešiti matričnu jednačinu:
1) A( X  B)  C , 2) XA  AB  AC ,
ako su A, B i C kvadratne matrice istog reda, pri čemu je A regularna matrica.