Vezbe 1. deo - University of Belgrade
Download
Report
Transcript Vezbe 1. deo - University of Belgrade
OPŠTA ALGEBRA
Neka je binarna operacija definisana na skupu A A.
Osobine:
1) zatvorenost
(x, y A) x y A
2) asocijativnost
(x, y, z A)( x y ) z x ( y z )
3) postojanje neutralnog elementa
(e A)(x A) x e x, e x x
4) postojanje inverznog elementa
(x A)(x 1 A) x x 1 e, x 1 x e
5) komutativnost
(x, y A) x y y x
Uređeni par ( A, ) gde je A neprazan skup, a binarna
operacija, zove se:
- grupoid, ako ima osobinu 1)
- semigrupa, ako ima osobine 1) i 2)
- monoid, ako ima osobine 1), 2) i 3)
- grupa, ako ima osobine 1), 2), 3) i 4)
- Abelova (komutativna) grupa, ako ima osobine 1), 2), 3), 4) i 5).
Struktura (S , , ) naziva se:
- prsten, ako je:
1) (S , ) Abelova grupa
2) (S , ) semigrupa
3) operacija distributivna u odnosu na
- telo, ako je:
1) (S , ) Abelova grupa
2) (S \ e , ) grupa, gde je e neutralni element operacije
3) operacija distributivna u odnosu na
- polje, ako je:
1) (S , ) Abelova grupa
2) (S \ e , ) Abelova grupa, gde je e neutralni element operacije
3) operacija
distributivna u odnosu na .
1. Dokazati da je binarna operacija definisana na sledeći način:
(x, y R ) x y x loga y (a 0, a 1),
asocijativna i da ima neutralni element e.
2. Neka je u skupu R definisana operacija sa:
(x, y R ) x y 4 xy k ( x y ) (k je realni parametar).
Naći vrednost parametra k tako da je data operacija asocijativna.
3. Dokazati da je (G,) grupa, gde je skup G dat na sledeći način:
G x y 5 x 2 5 y 2 1; x, y Q ,
a operacija predstavlja množenje realnih brojeva.
4. Ispitati prirodu strukture (S , ), gde je skup S (a, b) a, b R; a 0
a operacija definisana sa: (a, b) (c, d ) (ac, bc c d ).
5. U prstenu ( Z , , ) definisane su operacije i
a b a b 1, a
:
b ab a b.
Dokazati da je ( Z , , ) komutativni prsten sa jedinicom,
izomorfan prstenu ( Z , , ).
6. Dokazati da je ( M , , ) polje, gde je M ( x y 2 | x, y Q), a + i
sabiranje i množenje realnih brojeva.
6. Ispitati prirodu strukture ( A,*) :
ab
1 2m
1) A
m, n Z , je množenje u R
2) A Q , a b
ab
1 2n
3) a) A N , a b a b
b) A N 0 N 0 , a b min a, b
4) a) A Q, a b
2a b
3
b) A R \ 0 , a b
5) a) A R , a b a 2b 2
6) A (1,1) R, a b
b) A R , a b ab
ab
1 ab
ab
2
7) A a b 3 a 2 b 2 0; a, b Q , je množenje u R
8)
A (a, b) a 0; a, b Q , (a, b) (c, d ) (ac, ad b)
9)
A (a, b) a 0; a, b R , (a, b) (c, d ) (ac, ad bc)
10)
A (a, b)a, b Z , (a, b) (c, d ) (a c, ( 1) c b d )
MATRICE
A aij
mn
a11
a21
a12
a22
a1n
a2 n
am1 am 2
amn
Neka su date matrice A i B istog formata, tj. A aij
Tada je:
A B aij bij
mn
i kA kaij
mn
mn
, B bij
mn
.
.
Neka su date matrice A i B takve da je matrica A formata m n,
a matrica B formata n p. Tada je: A B ai1b1 j ai 2b2 j ... ain anj
m p
.
1. Neka su date matrice A
2
1
3
3
iB
2 0
1 1
.
Naći: 1) A B, 2) 2 A 3B, 3) A B, 4) B A, 5) f ( A), ako je f ( x) x 2 5 x 3.
3 1 1
1
1
2. Naći proizvod matrica A i B ako je: 1) A 2 1 1 , B 2 1 ,
1 2 3
1 0
2) A
1 3
3 12 6 15
, B
.
2 6
1 4 2 5
1 0
1 2
1 2
3. Naći A B i A C , ako je A
, B
iC
.
2 0
2 3
3 4
2 1
4. Naći sve matrice koje su komutativne sa matricom A
.
3 2
0 0
5. Dokazati da skup matrica M
a C
a
a
ima strukturu polja u odnosu na operacije sabiranja i množenja matrica.
DETERMINANTE
a11
a12
a21
a22
a11
a12
a11a22 a12 a21
a13 a11
a12
a21 a22
a23 a21 a22 (Sarusovo pravilo)
a31
a33 a31
a32
a32
a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a13a22 a31 a11a23a32 a12 a21a33
Vrednost determinante
- se ne menja ako vrste i kolone zamene mesta (prva vrsta postane prva kolona itd.)
ili ako jednoj vrsti (koloni) dodamo drugu vrstu (kolonu) pomnoženu nekim brojem
- menja znak ako dve vrste (kolone) zamene mesta
- se uvećava k puta ako jednu vrstu (kolonu) pomnožimo sa k
- je nula ako jedna vrsta (kolona) sadrži samo nule ili ako su dve vrste (kolone)
jednake, tj. proporcionalne.
Za determinantu reda n, n N , važi sledeća teorema o razvoju:
a11
a21
a12
a22
a1n
a2 n
an1
an 2
ann
a11
a21
a12
a22
a1n
a2 n
an1
an 2
ann
ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ... ain Ain (razvoj po i -toj vrsti), tj.
a1 j A1 j a2 j A2 j ... anj Anj (razvoj po j -toj koloni).
Aij je tzv. algebarski kofaktor elementa aij za koji važi Aij (1)i j Dij ,
gde je Dij determinanta koja se dobija iz početne izostavljanjem i-te vrste
i j -te kolone.
Kramerove formule (za sistem 3 linearne jednačine sa 3 nepoznate)
a11 x a12 y a13 z b1
a21 x a22 y a23 z b2
a31 x a32 y a33 z b3
a11 a12 a13
Neka je D a21 a22 a23 determinanta sistema, a Dx , Dy i Dz
a31 a32 a33
determinante koje se dobiju kad se kolona koeficijenata uz x, y, tj. z
D
Dx
D
, y y, z z
D
D
D
i to je jedinstveno rešenje sistema. Ako je D 0,a bar jedna od determinanti Dx , Dy , Dz
zameni kolonom slobodnih članova. Tada je (ako D 0), x
različita od nule, onda sistem nema rešenja.Ako je D Dx Dy Dz 0,
onda sistem ili nema rešenja ili ima beskonačno mnogo rešenja.
1. Izračunati:
1 2
1)
3 4
1 4 2
2) 1 3 5
2
4
1
3
5
1
2
2 4 0 3
3)
12 2 1 0
0
6
1
4
5 6
4
2 7
0 1
9
7 8 13
0 0 1
4)
0 0 0
9
2
0
4
0 0
0 0
0
0
1
0
2. Rešiti sistem u zavisnosti od vrednosti realnog parametra p :
px y z 1
x py z p
x y pz p 2 .
0
0
3
2
.
3
17
1
3. Rešiti sistem u zavisnosti od vrednosti realnog parametra p :
1) px y z 1
x py 2 z 2
2x y z 0
2) px y z p
x py z 1
x y pz p
MATRICE - nastavak
1. Naći inverznu matricu A1 matrice A, ako je:
1 0 1
2 2 3
a b
1) A
, ad bc 0, 2) A 2 1 2 , 3) A 1 1 0 .
c d
0 3 3
1 2 1
2. Rešiti matričnu jednačinu:
1
2
3
1
1) AX B, ako je A 3 2 4 , B 10
2 1 0
10
2) AX B X , ako je A
3 0
2
7
7 ,
8
2 1
0 3
, B
.
1 2
4 1
3. Rešiti matričnu jednačinu:
1) A( X B) C , 2) XA AB AC ,
ako su A, B i C kvadratne matrice istog reda, pri čemu je A regularna matrica.