Transcript The World of Matrix Uvod u linearnu algebru

The World of Matrix
Uvod u linearnu algebru
Erna Oklapi
Elektrotehnički fakultet, Beograd
[email protected]
Njeno Visočanstvo: Matrica
 Matematička definicija
Za pravougaonu šemu brojeva aij  K (i  1,..., m, j  1,..., n)

Definicija u programskim jezicima
predstavljenu u obliku:
 a11 a12 ... a1n 
 Matrica je niz nizova

a
a
...
a
22
2n 
 21
 Pascal: type
= ARRAY[1..40,
1..40] of integer;
A MATRICA


 C: int mat1[40][40];
int
*
mat2[40];

 int** mat3;
 am1 am 2 ... amn 
kažemo da je matrica tipa
m n
nad poljem
aij kažemo da su elementi matrice A
K
, a za brojeve
Njeno Visočanstvo: Matrica
 Oznaka i tip
 Odgovarajući elementi
 Jednakost
A   aij 
B  bij 
mn
mn
Vrste matrica
 Nula matrica
 Matrica vrsta
 Matrica kolona
(vektor kolona)
 Kvadratna matrica
 Dijagonalna
matrica
0 0 a11...
0 0 a ...
21 

a11  a12
 a11a a ...
  11 a  12 
22
a
a
...
a

21
22
0
0
...
 m1 
A  [a A]   

ij m n





 an1
an 2
0

0a
 1n
a1n 


0a2 n 


... aamn
nn 

Vrste matrica
 Jedinična matrica
 Trougaone matrice
 a11





a12
a22
1

... a1n 
 1
...
I  a2 n 
 
 
ann 

 a11


a

a

21
22








 an1 1an 2 ... ann 
Operacije sa matricama
 Sabiranje
 važi komutativnost
 važi asocijativnost
 Množenje skalarom
Operacije sa matricama
 Množenje dve matrice
 broj kolona matrice A jednak broju vrsta
u matrici B
 broj vrsta u matrici C jednak broju vrsta
u matrici A
 broj kolona u matrici C jednak je broju
kolona u matrici B
 Komutativnost ne važi
Algebarske strukture na vidiku?!
 Neka je M mn skup svih matrica tipa
(m x n). Struktura (M mn , ) je
Abelova grupa.
 Neka je M n skup svih kvadratnih
matrica reda n, snabdeven
operacijom sabiranja + i operacijom
množenja *. Tada je struktura (M n , ,*)
prsten sa jedinicom.
Transponovana matrica
 Ako u matrici A   aij  mn zamenimo
vrste kolonama i obrnuto dobijamo
T
A
  aij 
matricu
koja se zove
nm
transponovana matrica matrice A.
 Transponovanjem vektora dobija se
vrsta matrica i obrnuto.
Transponovana matrica
 Za operaciju transponovanja važe
sledeće teoreme:
 T1: ( AT )T  A i ( A)T   AT
 T2: Ako su A i B matrice istog tipa tada
je
( A  B)T  AT  BT
 T3: Za matrice A i B, za koje je definisan
T T
B
A
proizvod AB, definisan je i proizvod
i važi: ( AB)T  AT  BT
Transponovana matrica
 T4: Za m matrica A1 ,..., Am , za koje je
definisan proizvod A1 Am , važi
jednakost
( A1
Am )  A
T
T
m
T
1
A
Stepenovanje kvadratne matrice
 Neka je A kvadratna matrica. Stepen
matrice A definiše se pomoću
A0  I , A1  A, An  AAn 1
(n  2,3...)
 Ako su k i m nenegativni celi brojevi,
važe formule
k m
A A A
k
m
, (A )  A
k m
km
Stepenovanje kvadratne matrice
 Ako je Am  0 za neko m  , tada za
matricu A kažemo da je nilpotentna.
Najmanji broj k  , za koji je Ak  0
naziva se stepen nilpotentnosti.
2
A
 A za matricu A kažemo da
 Ako je
je idempotentna.
2
 Ako je A  I za matricu A kažemo da
je involutivna.
Determinanta matrice
 Neka je matrica A data sa
 a11
a
A   21


 an1
a12
a22
an 2
Preslikavanje A
pomoću a11 a12
det A 
... a1n 
... a2 n 


... ann 
det A definisaćemo
...
a1n
a21
a22
... a2 n
an1
an 2
...
ann
  (1) j a1 j1 a2 j2
anjn
Determinanta matrice
 Broj D=det A se naziva determinanta
matrice A.
 Neka je data matrica A. Tada se det A
može izraziti u obliku
det A 
a11
a12
...
a1n
a21
a22
... a2 n
an1
an 2
...
  (1)i  j ai1 j1 ai2 j2
ain jn
ann
Gde se sumiranje izvodi preko svih
permutacija prvih (drugih) indeksa
elemenata, dok su drugi (prvi) indeksi
elemenata fiksirani
Osobine determinanti
 T1: det AT  detA
 T2: Ako se svi elementi jedne vrste
matrice A pomnože nekim brojem c i
dobijenu matricu obeležimo sa B,
tada je det B=c det A.
 T3: Ako su elementi jedne vrste
matrice A jednaki nuli, tada je
detA=0.
Osobine determinanti
 T3: Ako su u matrici A elementi jedne
vrste jednaki odgovarajućim
elementim neke druge vrste, tada je
detA=0.
 T4: Ako su u matrici A elementi jedne
vrste proporcionalni odgovarajućim
elementima neke druge vrste, tada je
det A=0.
Osobine determinanti
 T5: Determinanta ne menja vrednost
ako se elementima jedne vrste
dodaju odgovarajući elementi neke
druge vrste, prethodni pomniženi
istim skalarom.
 T6: Ako je u matrici A jedna vrsta
linearna kombinacija ostalih vrsta,
tada je det A=0
Osobine determinanti
 T7: Ako odgovarajući elementi dve
vrste matrice A promene svoja mesta
i dobijenu matricu obeležimo sa B,
tada važi jednakost det B=-det A.
 T8: Neka su date kvadratne matrice A
i B. Tada je
det(AB)=(det A)(det B)
Razlaganje determinante
 Minor
 Kofaktor
 Razvoj determinante po vrsti
 Razvoj determinante po koloni
Adjungovana i inverzna matrica
 Matrica kofaktora matrice A je
adjungovana matrica.
 Neka je A  M n . Za matricu X  M n
kažemo da je inverzna matrica
matrice A ako je: AX  XA  I
Inverzna matrica - teorema
 Ako je det A≠0, tada inverzna matrica A
postoji, jedinstvena je i može se
predstaviti u obliku
1
A 
adjA
det A
1
 Dokaz...
1
Literatura
 Gradimir V. Milovanović – Linearna
algebra
 Tatomir P. Anđelić - Matrice
Hvala na pažnji!
Pitanja?
Ili zauvek ćutite... :-)