Transcript A = -Fs
Mehanika Sile v naravi • delovanje telesa na telo • ob dotiku ali na daljavo • privlačne ali odbojne • enake sile povzročajo enake učinke • enota: 1 N = 1 kg·m/s2 • teža: Fg= m·g, g = 9,8 m/s2 na površini Zemlje Sile v naravi • • • • gravitacijska sila elektromagnetna sila močna sila šibka sila • • sila je vektor, določena je, ko povemo velikost sile smer sile Sila F • učinek sile na telo je določen, ko povemo še, kje je prijemališče sile • sila na točkasto telo prijemlje tam, kjer je telo: prijemališče je določeno s krajevnim vektorjem telesa F y r točkasto telo x r Sila sile na točkasto telo seštejemo v rezultanto: • učinek sil F1 in F2 je enak učinku rezultante R • vektor F2 vzporedno prenesemo tako, da začetek vektorja F2 sovpada s koncem vektorja F1 (ker so vektorji določeni le z velikostjo in smerjo) • rezultanta je vektor, ki ima začetek na začetku vektorja F1 in konec na koncu vektorja F2 • (ali: vektor F1 vzporedno prenesemo tako, da začetek vektorja F1 sovpada s koncem vektorja F2, rezultanta je vektor, ki ima začetek na začetku vektorja F2 in konec na koncu vektorja F1) F2 F1 F2 R = F1 F2 F1 R Razstavljanje sil v ravnini silo lahko razstavimo na komponente: • učinek sile F na točkasto telo je enak, kot je skupni učinek komponent Fx in Fy • skozi začetek in konec vektorja F potegnemo vzporednice koordinatnima osema x in y • vektorja, ki jih s tem odrežemo v smereh koordinatnih osi, sta komponenti vektorja Fx in Fy • v treh dimenzijah postopamo enako, le da določimo tri komponente: Fx, Fy in Fz y Fy F j F Fx = F·cos(j) Fy = F·sin(j) Fx x Seštevanje sil največkrat sile seštevamo tako, da: • vsako silo Fi razstavimo na komponente Fix, Fiy in Fiz • seštejemo istovrstne komponente v ustrezno komponento rezultante • komponente rezultante seštejemo v rezultanto R Fi R F1 F2 Fy1+Fy2 Fy2 . Rx Fix Ry Fiy Rz Fiz F2 Fy1 F1 Fx2 Fx1 Fx1 + Fx2 x Teža na klancu • sila teže kaže navpično navzdol • na klancu jo običajno razstavimo na: komponeto, ki kaže v smeri pravokotno na klanec (smer y): ta komponenta ne povzroča gibanja (ker je klanec trden) = statična komponenta teže komponento, ki kaže v smeri klanca (smer x), ta komponenta lahko povzroča gibanje = dinamična komponenta teže y dinamična komponenta teže: Fd = Fg·sin(j) Fx Fd Fy Fs statična komponenta teže: j j Fg x Fs = Fg·cos(j) Teža na klancu • na vodoravni podlagi je statična komponenta enaka celotni teži, dinamična komponenta je enaka nič • z rastočim nagibom klanca velikost statične komponenta pada, velikost dinamične komponente pa raste • pri navpični podlagi je statična komponenta enaka nič, dinamična komponenta Fs = 0 je enaka celotni teži Fd =0 Fd Fs Fg Fs Fg = Fs Fd Fg = Fd Fg statična komponenta teže: dinamična komponenta teže: Fs = Fg·cos(j) Fd = Fg·sin(j) Zunanje / notranje sile Zunanje sile na sistem od teles iz okolice: teža (zaradi Zemlje), sila vrvice, tal... Notranje sile v sistemu od drugih teles v sistemu Newtonovi zakoni 3. Newtonov zakon (zakon akcije in reakcije): Če prvo telo deluje na drugo telo z neko silo, drugo telo deluje na prvo z nasprotno enako silo. F12 F21 • sili ležita na isti premici • imata enako velikost • imata nasprotno smer primeri: • sila, s katero deluje telo na podlago in sila, s katero deluje podlaga na telo • sila, s katero deluje Zemlja na klado in sila, s katero deluje klada na Zemljo • sila, s katero deluje roka na vrvico in sila, s katero deluje vrvica na roko Newtonovi zakoni 1. Newtonov zakon: Če je vsota vseh sil, ki delujejo na točkasto telo, enaka nič, telo miruje ali pa se giblje premo in enakomerno. Če točkasto telo miruje ali pa se giblje premo in enakomerno, je vsota vseh sil, ki delujejo nanj, enaka nič. Fi 0 v konst 1. Newtonov zakon definira nepospešeni (inercialni) opazovalni sistem. Newtonovi zakoni 1. Newtonov zakon: Če je vsota vseh sil, ki delujejo na točkasto telo, enaka nič, telo miruje ali pa se giblje premo in enakomerno = = ne spreminja svoje hitrosti ne po velikosti, ne po smeri = = ves čas miruje ali pa se ves čas giblje v isti smeri z enako hitrostjo = = ne zavija, ne pospešuje, ne zavira i Če točkasto telo miruje ali pa se giblje premo in enakomerno, je vsota vseh sil, ki delujejo nanj, enaka nič = = na telo ne deluje nobena sila ali pa so sile uravnovešene F 0 v konst primeri: • biljardna kroglica spremeni smer gibanja, ko trči ob drugo kroglico • astronavt se lahko premakne le, če nanj deluje zunanja sila (npr. sila vrvi) • avtomobil lahko zavija le, če nanj deluje dovolj velika sila podlage v smeri proti središču ovinka Zaboj miruje na gladkem klancu S kolikšno silo uravnovesimo klado z maso 20 kg na gladkem klancu z nagibom 25º? • izbira sistema teles: klada FN +y F • izbira koordinatnega sistema: x, y Fd • sile na sistem: teža, sila podlage, sila vrvi Fs j j Fg FN F 85 N Fs 180 N +x • razstavitev sil v koord. smereh: Fd in Fs • 1. Newtonov zakon: 180 N Fd 85 N F F F Fi 0 ix 0 → Fd = F iy 0 → Fs = FN iz 0 → 0=0 Dva zaboja mirujeta na gladkem klancu S kolikšno silo uravnovesimo povezani kladi na gladkem klancu? F 2 F F2v 1 2 Fv1 FN 1 Fv1 1 Fs1 180 N F2v Fd 1 85 N vrv F = Fd1+ Fd2 Fv 2 2 F1v Fs 2 Fd 2 1 Fd 2 FN 2 F Fv 2 85 N 180 N Vsota vseh sil na vsako telo sistema je enaka nič, torej je tudi vsota vseh sil na vsa telesa enaka nič. Fd 1 F1v Notranje sile v sistemu delujejo v parih (npr. prvo telo na drugo in drugo na prvo), zato se po 3. Newtonovem zakonu notranje sile seštejejo v nič. Dva zaboja mirujeta na gladkem klancu F 2 1 Sistem točkastih teles je v ravnovesju (= miruje ali pa se giblje premo in enakomerno), če je vsota vseh zunanjih sil na sistem enaka nič, saj je po 3. Newtonovem zakonu vsota vseh notranjih sil na sistem enaka nič. Fiz 0 F ixz 0, F iyz 0 , Fiyz 0 Sila trenja v Ft = kt FN • deluje na telo, ki se giblje po podlagi FN Ft Fg • deluje v nasprotno smer gibanja (= hitrosti) • velikost sile trenja je odvisna od - pravokotne sile, s katero telo pritiska na podlago (= sile podlage FN po 3. Newtonovem zakonu) - kakovosti obeh stičnih ploskev (vrste materiala, hrapavosti…) – opišemo s koeficientom trenja (kt) • (ni odvisna od velikosti stične ploskve itd.) Sila lepenja F F FN FN Fg Fl Fg FN Fl F F Fg ... FN FN Fl max Fg v Ft Fg • telo miruje na vodoravni podlagi: na telo delujeta le sila teže in sila podlage, obe v navpični smeri; sili sta uravnovešeni • telo vlečemo v vodoravni smeri z majhno silo, zaradi hrapavih tal se telo ne premakne: vlečno silo uravnovesi komponenta sile podlage v vodoravni smeri = sila lepenja (telo se “lepi” na podlago) • vlečno silo povečamo, telo ne zdrsne: sila lepenja se poveča in uravnovesi vlečno silo • ko vlečna sila preseže mejno vrednost, telo zdrsne Sila lepenja 0 Fl Flmax F FN FN Fg F Fl Fg Flmax = kl · FN F FN Fl Fg ... F FN FN Fl max Fg v Ft Fg • deluje na telo, ki miruje na podlagi • deluje v nasprotno smer od smeri, kamor bi telo zdrsnilo, če bi bila podlaga povsem gladka • velikost sile lepenja je odvisna od sil, ki skušajo telo premakniti • največja možna sila lepenja je odvisna od sile, s katero telo pritiska na podlago, in lastnosti stičnih ploskev (= normalne sile podlage in koeficienta lepenja) • koeficient lepenja je večji od koeficient trenja, vendar istega velikostnega reda F Trenje - lepenje Fl = Flmax klada miruje: Fv = Fl F FN FN Fg Fl Fg FN Fl F F ... Fg FN FN Fl max Fg v Ft povprečna sila trenja klada drsi enakomerno: Fv = Ft zdrs • klada na začetku miruje • nato jo vlečemo v vodoravni smeri in merimo vlečno silo • vlečno silo povečujemo, dokler klada ne zdrsne; nato vlečemo tako, da se klada giblje enakomerno Fg Ravnovesje togega telesa • vse sile na točkastno telo prijemljejo v isti točki (tam, kjer je telo) • sile na razsežno telo lahko prijemljejo v različnih točkah telesa • togo telo je razsežno telo, ki se ne deformira (= razdalje med poljubnimi točkami telesa se ne spreminjajo, telo se lahko premika le kot celota) • če je vsota vseh sil na togo telo enaka nič, telo miruje (leva slika) ali pa ne (se vrti; desna slika) • za ravnovesje togega telesa mora biti vsota vseh sil na telo enaka nič, to je potreben pogoj, vendar pa to ni zadosten pogoj: pomembno je tudi, kje sile prijemljejo, kar opišemo z navori (= vrtilnimi momenti) Ravnovesje togega telesa • kolo v obliki valja je vrtljivo okoli vodoravne geometrijske osi • obremenimo ga s silo F1 • telo uravnovesimo s silo F2 na različne načine: Fo Fo F2 F2 F1 Fg F1 Fg Fo Fo F2 F1 Fg b j F2 a Fg F1 Navor (= vrtilni moment) O O r j F F || M r r F F j F F - sila (vektor) - ročica sile = vektor od osi vrtenja do prijemališča sile r M - navor sile okoli osi O (je vektor = določata ga velikost in smer) j Navor (ravninski primeri) O r M r F r F|| j F j F F smer (predznak) navora: - pozitivna: sila bi telo zavrtela okoli osi v nasprotni smeri urnega kazalca + - negativna: sila bi telo zavrtela okoli osi v smeri urnega kazalca Navor (ravninski primeri) M r F velikost navora: M = rFsin(j) = r F r r F|| F j F produkt velikosti sile, ročice in sinusa kota med njima r O O j r F = F produkt velikosti ročice in = komponente sile, ki je pravokotna na smer ročice r O r j || j F produkt velikosti sile in = komponente ročice, ki je pravokotna na smer sile Navor (ravninski primeri) M = rFsin(j) = r F r r F|| F j F r O O j r F = F r O j r|| j F • sila v smeri ročice: M = 0 • pri dani velikosti sile in ročice je navor največji, če je sila pravokotna na ročico • vrti le komponenta sile, ki je pravokotna na ročico • sila prijemlje v osi (= ročica je nič): M = 0 • pri dani sili je navor odvisen le od tega, koliko je premica sile oddaljena od osi (= od komponente ročice, ki je pravokotna na smer sile) Ravnovesje togega telesa razsežno togo telo je v ravnovesju, če velja, da je • vsota vseh sil nanj enaka nič • vsota vseh navorov nanj enaka nič Fi 0 MiO 0 F i 0 telo se vrti MiO 0 F i 0 telo je v ravnovesju M 0 iO • os za računanje navorov (O) pri primerih ravnovesja izberemo poljubno • vse navore izračunamo okoli iste osi Naloga Okrogla plošča je prosto vrtljiva okoli svoje vodoravne geometrijske osi. Obremenimo jo s silama F1 in F2, kakor kaže slika. Velikost sile F1 je podana, kolikšna je velikost sile F2? Vsota vseh sil je enaka nič: -Fg + Fo – F1 - F2 = 0 Vsota vseh navorov je enaka nič: 1.) os O: MgO + MoO + M1O + M2O = 0 F2 F1 y0 O‘ -Fg∙0 + Fo∙0 – F1∙a + F2∙b∙sin(j) = 0 Fo Fo Fg x0 O a b j F2 F2 2.) os v O‘: F1a b sin j MgO‘ + MoO‘ + M1O‘ + M2O‘ = 0 -F ∙(x +0)+F ∙(x +0)–F ∙(x +a)-F ∙(x -b∙sin(j)) = 0 g 0 o 0 1 0 2 0 F1 x0(-Fg+Fo–F1-F2)-Fg∙0+Fo∙0–F1∙a+F2∙b∙sin(j) = 0 Fg 0 F2 F1a b sin j Če je vsota vseh sil enaka nič in če je vsota vseh navorov okoli neke osi enaka nič, je tudi vsota navorov okoli katerekoli druge vzporedne osi enaka nič (telo je v ravnovesju ne glede na izbiro osi). Težišče sistema točkastih teles težišče Vsota navorov sil teže na sistem točkastih teles je enaka navoru sile, ki je enaka vsoti tež in prijemlje v težišču sistema. r i mi g i rT mi g i x m g x m g i ri i i T i i masno središče Fgi T rMS rT xT xm g m g i i i i i yT m g i i m i Fg y i mi g i ri mi zT geometrijsko središče z m g m g i i i i i rGS r iVi V i Težišče telesa Razsežno telo razdelimo na infinitezimalno majhne dele. Vsota (= integral) navorov njihovih sil teže je enaka navoru sile, ki je enaka vsoti (= integralu) tež in prijemlje v težišču sistema. mi dm rT r gdm gdm x dm g x dm g T rMS dm dm dm T T rGS r x xT r dm xgdm gdm yT ygdm gdm zT zgdm gdm r dV dV Naloge Kockast zaboj brez pokrova ima dno in stranice iz enakih kvadratnih plošč z robom a. Kje je težišče zaboja? 1. Zaboj je postavljen v 1. kvadrant koordinatnega sistema, eno oglišče ima v a z koordinatnem izhodišču: m1 g 0 3 a 2 a xT 5m1 g 2 y a T a m1 g 0 4 2 2 zT a 5m1 g 5 a a a m1 g 0 3 a 2 a yT 5m1 g 2 r 2. Zaboj brez vrtenja prestavimo za vektor 0 = (x0 , y0, z0): x z y r0 a y0 x0 a T z0 x a m1 g x0 3 x0 a x0 2 x a xT 0 5m1 g 2 a yT y0 a 2 2 zT z0 a 5 Naloge Homogeni kvadratni plošči z robom a in višino d izrežemo okroglo luknjo s polmerom r in središčem v točki (a/4, a/4), r < a/4. Kje je težišče? Ploščo z luknjo obravnavamo kot vsoto plošče brez luknje in luknje z negativno maso, polni plošči (kvadratna in okrogla) imata težišči v svojih središčih: - = m mp mo mp mo y T d a 2 r 2 mp a2d xT yT mo r 2d a 2a 2 r 2 4 a 2 r 2 m d a 2 r 2 zT d 2 a 2 d a 2 r 2 a 4 x Zaradi simetrije je težišče na diagonali osnovne ploskve in na polovici višine. 2. Newtonov zakon velja za: • točkasto telo • v nepospešenem opazovalnem sistemu F ma telo se pod vplivom sile giblje pospešeno: • pospešek ima smer sile oz. rezultante sil • pospešek je sorazmeren z velikostjo sile • pospešek je obratno sorazmeren z maso telesa 2. Newtonov zakon • če na točkasto telo deluje več sil, jih sestavimo v rezultanto, ta določa pospešek telesa • gibanje opazujemo iz nepospešenega sistema (npr. vezanega na površino Zemlje; vlak, ki se enakomerno giblje…) • večja sila, večji pospešek • večja masa pri dani sili, manjši pospešek v F ma m t telo se giblje: • sila deluje v smer gibanja: pospešek v smeri gibanja, hitrost raste • sila deluje v nasprotno smer gibanja: pospešek v nasprotni smeri gibanja, hitrost pada • sila deluje pravokotno na smer gibanja: telo spreminja smer gibanja • v splošnem sila spreminja velikost in smer vektorja hitrosti Sani na klancu S kolikšnim pospeškom drsijo sani po hrapavem klancu? FN • izbira sistema teles: sani +y • izbira koordinatnega sistema: x, y Ft Fd Fs • sile na sistem: teža, sila podlage, sila vrvi, sila trenja j j Fg a = g (sin(j) - kt cos(j)) drsenje po klancu navzdol a = g (sin(j) + kt cos(j)) drsenje po klancu navzgor (trenje v smeri Fd) +x • razstavitev sil v koord. smereh: Fd in Fs • 3. Newtonov zakon: Fi ma F F F ix max → Fd – Ft = m·ax = m∙a iy may → FN – Fs = m·ay = 0 iz maz → 0 = 0 Sistem togo vezanih teles F 2 1 Kladi na hrapavi vodoravni podlagi sta povezani z lahko neraztegljivo vrvico. Vlečemo ju s stalno silo v vodoravni smeri. S kolikšnim pospeškom se gibljeta? 1 Ft1 FN 1 Fg1 Fv 2 Fv FN 2 F Ft 2 sile v vodoravni smeri za vsako telo posebej: Fv – Ft1 = m1a1 F – Fv – Ft2 = m2a2 telesi sta togo vezani = imata enak pospešek (in hitrost, premik): a1 = a2 = a, pospešek sistema (= obeh mas skupaj) je določen z vsoto zunanjih sil na sistem: F – Ft1 – Ft2 = (m1 + m2)a Sistem togo vezanih teles a1 = a2 = a 1 Ft1 FN 1 Fg1 Fv 1 2 Fv FN 2 Ft 2 2 F F F – Ft1 – Ft2 = (m1 + m2)a • vsota vseh sil na sistem teles je enaka vsoti vseh sil na vsa telesa sistema • notranje sile nastopajo v parih, po 3. Newtonovem zakonu je njihova vsota enaka nič • torej je vsota vseh sil na sistem teles je enaka vsoti vseh zunanjih sil na sistem • če so točkasta telesa togo vezana in se gibljejo translatorno (se npr. ne vrtijo), torej če se vsako telo v istem času premakne za enako razdaljo v isto smer (= imajo vsa enak vektor pospeška), je pospešek sistema določen z vsoto zunanjih sil na sistem: Fiz mi a Sistem točkastih teles sile na j-to telo razdelimo na zunanje in notranje sile: F F m a ijz ijn j j po definiciji težišča: ri mi g i rT mi g i ai mi g i rT aT mi g i seštejemo po celotnem sistemu, notranje sile se paroma izničijo: Fij mj a j Fiz mj a j maT Gibanje težišča sistema točkastih teles je določeno z vsoto zunanjih sil na sistem. Sile pri enakomernem kroženju Fvy j Fv Fvx=Fr Fv r Fvx = Fr = mar = mv2/r Fg Fg Fr = mar = Fg = Fvy mv2/r • enakomerno kroženje je pospešeno gibanje (radialni pospešek!) = vektor hitrosti spreminja smer, to spremembo povzroča sila • na telo, ki enakomerno kroži, deluje rezultanta v smeri proti središču kroženja, imenujemo jo radialna sila (centripetalna) • velikost sile raste s hitrostjo kroženja Gravitacijska sila • deluje med telesi z maso • sila je privlačna • sila je odvisna od mase teles in razdalje med njima Gravitacijska sila med dvema točkastima telesoma z masama m1, m2 na razdalji r (ali med dvema homogenima kroglama, pri čemer je r razdalja med središčema obeh krogel): m1m2 Fg G 2 r G 6,710-11 Nm2/kg2 gravitacijska konstanta Gravitacijska sila na površini Zemlje (r = R): m1m2 m1 g 0 2 R m2 m g 0 G 2 9,8 2 R s Fg G 2 • gravitacijski pospešek (g) na površini Zemlje znaša 9,8 m/s2 • ko se dvigujemo nad površino Zemlje, g pada • (h = R, r = R + h = 2R → g = g0/4 2,5 m/s2) • na zelo velikih oddaljenostih je g zanemarljiv R r na poljubni višini: g G m2 g R 0 r2 r h m2 = 6·1024kg – masa Zemlje R = 6400 km – polmer Zemlje Kroženje satelitov • premajhna hitrost: satelit pade na Zemljo • prevelika hitrost: satelit ubeži Zemlji • pri ustrezni hitrosti (v tangentni smeri) se satelit giblje po elipsi ali krožnici kroženje: Fg = mar Zemlja – Luna perigej: 363,104 km apogej: 405,696 km ekscentričnost: 0,0554 obhodni čas: 27,3 dni Sonce - Zemlja perigej: 147,097,000 km apogej: 152,090,000 km ekscentričnost: 0,018 obhodni čas: 365,26 dni → m1 m2 v2 G 2 m1 r r v G T m2 r 2 r r 2 r v Gm 2 Kroženje satelitov m1 m2 v2 G 2 m1 r r m v G 2 r T 2 r r 2 r v Gm 2 • gravitacijska sila na krožeči satelit je pravokotna na smer hitrosti, spreminja smer hitrosti • vsaki višini nad centralnim telesom ustreza določena hitrost kroženja • hitrost kroženja ni odvisna od mase krožečega telesa (m1) • hitrost kroženja je velika, če je masa centralnega telesa (m2) velika in/ali je radij krožnice majhen (takrat je gravitacijska sila velika) • sateliti na krožnicah z velikim polmerom imajo dolg obhodni čas (velika dolžina krožnice in majhna hitrost) • obhodni čas na dani višini je krajši, če je masa centralnega telesa večja Zemljini sateliti višina [km] polmer kroženja [km] hitrost [m/s] hitrost [km/h] obhodni čas 400 6800 7700 28000 1,5 h geostacionarni sateliti 36000 42000 3100 11000 24 h Luna 380000 380000 1000 3700 27 dni Mednarodna vesoljska postaja Ogledi Mednarodna vesoljska postaja, kakor jo vidimo z Zemlje: http://www.youtube.com/watch?v=Nr9fiJzR4y8 Zemlja z Mednarodne vesoljske postaje: http://www.youtube.com/watch?v=EP6-2JM2wdQ http://www.youtube.com/watch?annotation_id=annotation_913593&featur e=iv&src_vid=BOsdBhB8Apw&v=TwgXL6_lg58 Navidezno breztežno stanje na Mednarodni vesoljski postaji: http://www.youtube.com/watch?v=OcEPNM-Ggfk Navidezno breztežno stanje v letalu v paraboličnem letu: http://www.youtube.com/watch?v=aLMg2DZwY18 Delo, energija 2. Newtonov zakon pomnožimo z vektorjem premika in integriramo: F ma / ds / sledi: 2 2 dv m v2 m v1 Fds mat ar ds m at vdt 0 m dt vdt m vdv 2 2 (premik je zmeraj v smeri tangente; tangentni pospešek meri spremembo velikosti hitrosti) Definiramo: A Fd s delo m v2 Wk 2 kinetična energija Sledi: A Wk energijski zakon Kinetična energija točkastega telesa v2 Wk m 2 • sorazmerna z maso telesa • sorazmerna s kvadratom hitrosti: - je nič, če telo miruje - dvakrat večja hitrost štirikrat večja kinetična energija • skalarna količina - ni odvisna od smeri gibanja • enote: Joule (džul) 1 J = 1 kgm2/s2 sprememba kinetične energije: > 0, pospeševanje Wk = Wk2 - Wk1 = 0, mirovanje ali enakomerno gibanje < 0, zaviranje Delo F F j s F|| posebni primer: stalna sila, stalen kot med silo in smerjo gibanja točkastega telesa: A F s F s cosj F|| s F s|| delo sile je enako produktu premika in komponente sile v smeri premika: • sila je enaka nič delo je nič • sila deluje v smeri premika (j = 0) A = Fs > 0 • sila deluje v nasprotni smeri premika (j = 180o) A = -Fs < 0 • sila je pravokotna na premik (j = 90o) A = 0 enote: 1 J = 1 kgm2/s2 Energijski zakon Energijski zakon za točkasto telo je drugačen zapis 2. Newtonovega zakona: A = Wk delo je enako spremembi kinetične energije • A > 0 Wk > 0 pospeševanje • A = 0 Wk = 0, telo miruje ali se giblje enakomerno (= s stalno hitrostjo) • A < 0 Wk < 0, zaviranje Upoštevamo delo vseh sil na telo. Zakon velja tudi za sistem točkastih teles, upoštevati moramo delo vseh sil na vsa telesa (notranjih in zunanjih). (Tudi notranje sile v sistemu lahko opravljajo delo: npr. človek na ledu vrže žogo in se odrine nazaj, kinetični energiji žoge in človeka sta rezultat dela notranjih sil.) Delo teže • delo rezultante vseh sil na točkasto telo razdelimo na vsoto del posameznih sil • posebej izračunamo delo teže: A Fi s Fi s Ai A Ag A Fg s Ag – delo teže A’ - delo vseh sil razen teže Delo teže • telo se premakne iz točke 1 v točko 2 po različnih poteh (zaradi različnih sil, ki delujejo nanj) • za vsako pot izračunamo delo teže: 2 1 s h 1 s s 1 2 Fg b) • v vseh primerih velja: 2 s ds dh 2 1 Fg a) 2 1800-j j Fg c) Fg Fg d) Ag Fg s mgh2 h1 mgh • definiramo potencialno energijo : Wp = mgh 1 e) Potencialna energija Wp = mg·(h2 – h1) = mg·h izhodišče za merjenje višine poljubno izberemo, saj nas zanimajo samo spremembe višine 2 1 s h 1 180 -j s 1 2 Fg 2 0 s Fg Wp > 0a) < 0 b) =c)0 sprememba potencialne energije je • enaka negativnemu delu teže • produkt teže telesa in spremembe višine s ds dh 2 1 Fg 2 j Fg >d)0 1 Fg e) >0 h2 > h1 Wp > 0 h2 = h1 Wp = 0 h2 < h1 Wp < 0 Kinetična potencialna energija Wk = A = A’+ Ag= A’ - Wp → A' = Wk + Wp Delo vseh sil razen teže (A’) je vsota sprememb kinetične in potencialne energije. 2 2 Wk2 = mv2 /2 = 0 Wp2 = mgh2 A' = 0 Wk1 = mv12/2 Wp1 = mgh1 = 0 1 A' = Wk2 – Wk1 + Wa)p2 – Wp1 0 = 0b) - mv12/2 + mgh2 - 0 c) h2 = v12/(2g) Kinetična potencialna energija Kamen vržemo navpično navzgor, klado potisnemo po gladkem klancu navzgor, kroglo na vrvici potisnemo v vodoravni smeri, vse z enako začetno hitrostjo, vsa telesa imajo enako maso. Do kolikšne višine se dvignejo? 2 2 Wk2 = mv2 /2 = 0 Wp2 = mgh2 A' = Wk + Wp A' = 0 Wk1 = mv12/2 Wp1 = mgh1 = 0 1 • vsa telesa imajo v spodnji točki enako kinetičnoc) energijo a) b) • startajo na isti višini, torej imajo tudi enako začetno potencialno energijo • delo opravlja samo teža (trenje, upor zraka itd. zanemarimo; sili podlage in vrvice sta pravokotni na premik in ne opravljata dela), torej je A’ = 0 • v vrhnji točki se vsa telesa ustavijo = imajo enako končno kinetično energijo • sledi: tudi končna potencialna energija je za vsa telesa enaka = telesa dosežejo enako končno višino (= telesa vso svojo kinetično energijo pretvorijo v potencialno) Hookov zakon Sila, ki je potrebna, da vzmet raztegnemo ali stisnemo, je enaka produktu koeficienta vzmeti (k) in raztezka oz. skrčka x. F = k x 200 Fv1 x2 Fv 2 F1 x2 150 Fv [N] x1 100 F2 x1 50 Fv(x) Fv1 0 0 1 Fv2 x 2 x [cm] 3 4 sila v vzmeti narašča linearno z raztezkom: dvakrat večja sila dvakrat večji raztezek trda vzmet velik koeficient vzmeti Prožnostna energija Med raztegovanjem vzmeti sila ni stalna: delo sile vzmeti je vsota (= integral) produkta trenutne sile in raztezka pri tej sili (= ploščina pod grafom Fv(x)). Predznak: Av < 0, če vzmet raztegujemo ali stiskamo (sila deluje v nasprotno smer premika); Av > 0, če se vzmet vrača proti neraztegnjeni dolžini. 200 AvB Fv dx kxdx x2 150 Fv [N] kx22 kx12 W pr Av 2 2 100 x1 50 Fv(x) Fv1 0 0 1 Fv2 x 2 x [cm] 3 4 kx2 W pr 2 Prožnostna energija je sorazmerna koeficientu vzmeti in kvadratu raztezka oz. skrčka: • dvakrat trša vzmet dvakrat večja prožnostna energija • dvakrat večji raztezek štirikrat večja prožnostna energija Mehanska energija, moč Mehanska energija je vsota kinetične, potencialne in prožnostne energije: Wmeh = Wk + Wp + Wpr Delo vseh sil razen teže in sile vzmeti (A˝) je enako spremembi mehanske energije: A'' = Wk + Wp + Wpr = Wmeh Moč pove, kolikšno je opravljeno delo v enoti časa. Enote Watt oz. vat: 1 W = 1 J/s = 1 kgm2/s3 A F s P F v F v cosj t t Sunek sile, gibalna količina 2. Newtonov zakon pomnožimo s časovnim intervalom dt in integriramo: F ma / dt / sledi: F dt m a dt md v m v m v 2 1 definiramo: G mv Fdt Ft sunek sile gibalna količina Fdt G Sunek sile je enak spremembi gibalne količine. Gibalna količina G mv • sorazmerna z maso telesa • sorazmerna s hitrostjo: - je nič, če telo miruje - dvakrat večja hitrost dvakrat večja kinetična energija • vektorska količina – kaže v smer hitrosti • gibalna količina telesa se spremeni, če se spremeni vektor hitrosti, torej če se hitrost spremeni po velikosti in/ali po smeri. • enote: 1 kgm/s = 1 Ns Sunek sile, sprememba gibalne količine stalna (oz. povprečna) sila: Sunek sile je enak produktu sile in časa trajanja sile. Ft sprememba gibalne količine je enaka sunku sile G F t F ma / t F t ma t mv • ni sile, ni spremembe gibalne količine (ne po velikosti, ne po smeri) • sila v smeri gibanja poveča gibalno količino telesa • sila v nasprotni smeri gibanja zmanjša gibalno količino • enaka sprememba gibalne količine: velika sila kratek čas ali manjša sila dlje časa • žogica se prožno odbije od stene: sprememba gibalne količine žogice je dvakrat tolikšna, kot če bi ustavila (+mv -mv: G = -2mv) Gibalna količina sistema točkastih teles G Gi mi vi mi vT Gibalna količina sistema točkastih teles je enaka vektorski vsoti gibalnih količin posameznih teles in je enaka produktu mase sistema in hitrosti težišča sistema. G Gi Fiz t i po definiciji težišča: rT r i mi g i m g v mg m g i rT vT i i i i i Sprememba gibalne količine sistema točkastih je enaka sunku zunanjih sil na sistem (vsota sunkov notranjih sil je enaka nič – 3. Newtonov zakon). Če so sunki zunanjih sil enaki nič, se skupna gibalna količina sistema ohranja, ohranja se hitrost težišča sistema. i Trk v ravnini Telo 1 se pred trkom giblje v smeri x, telo 2 pa v smeri y (leva slika). Nato trčita in se sprimeta (desna slika). Kako se gibljeta po trku? G2 z Gyz Gz G1z Gxz G yk Gk G xk Če je sunek zunanjih sil na sistem obeh teles v času trajanja trka zanemarljiv proti sunku notranjih sil, je skupna gibalna količina teles po trku je enaka kot pred trkom (enaka je vsoti gibalnih količin obeh teles pred trkom). Med trkom se ohranjata komponenti skupne gibalne količine v obeh koordinatnih smereh: m1v1x + m2v2x = m1u1x + m2u2x m1v1y + m2v2y = m1u1y + m2u2y Premi trki točkasti telesi z masama m1 in m2 se gibljeta po isti premici s hitrostma v1 in v2 in nato trčita tako, da se na koncu še zmeraj gibljeta po isti premici, njuni hitrosti tik po trku sta u1 in u2 v1 v2 u1 u2 m1 m2 m1 m2 pred trkom po trku V kratkem času trka je sunek zunanjih sil zanemarljiv: gibalna količina sistema se ohranja: m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2 V enačbi nastopata dve neznanki (obe končni hitrosti). Za njuno določitev potrebujemo še dodatne informacije. Koeficient prožnosti trka u1 u 2 e v1 v2 razmerje relativnih hitrosti po trku in pred trkom e=1 popolnoma prožni trk, ohranja se kinetična energija (npr. trk biljardnih krogel) 0 < e < 1 delno prožni trk e=0 popolnoma neprožni trk telesi se zlepita Premi trk m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2 u u e 1 2 v1 v2 v1 v2 m1 m2 m1v1 m2 v2 e m2 v1 v2 m1 m2 m v m2v2 e m1 v2 v1 u2 1 1 m1 m2 u1 u1 u2 m1 m2 m1 = 10 kg, m2 = 20 kg, v1 = 10 m/s, v2 = -15 m/s popolnoma prožni trk: delno prožni trk: popolnoma e=1 e = 0,5 neprožni trk: u1 = -23,3 m/s u1 = -15 m/s e=0 u2 = 1,7 m/s u2 = -2,5 m/s u1 = u2 = -6,7 m/s Čeprav so začetne hitrosti enake, so izidi različni (= odvisni od stopnje prožnosti trka). V vseh primerih se ohranja gibalna količina. Primer Voziček z maso m1 in hitrostjo v1 se zaleti v mirujoči voziček z maso m2 (v2 = 0), trk je premi in popolnoma prožen (e = 1), relativna hitrost vozičkov se ne spremeni (u2 - u1= v1) : 1.) m1 = m2 → u2 = v1, u1 = 0, enaki masi: prvi voziček se ustavi, drugi nadaljuje s hitrostjo prvega (npr. biljardni kroglici) 1 2 1 2 2.) m1 >> m2 → u1 ≈ v1, u2 ≈ 2v1, težki voziček se zaleti v lahkega: težki skoraj ne čuti trka, drugega „izstreli“ z dvojno hitrostjo (npr. udarec pri golfu) 2 1 1 2 3.) m1 << m2 → u1 ≈ -v1, u2 ≈ 0, lahki voziček se zaleti v težkega: lahki se odbije nazaj s skoraj začetno hitrostjo, drugi se skoraj ne premakne (npr. metanje žogice ob steno) 1 2 1 2 Primer Newtonovo nihalo: - kroglice enakih mas na enako dolgih vrvicah, trki so popolnoma prožni, - dvignemo eno kroglico za h in spustimo: potencialna energija se spremeni v kinetično, kroglica trči v mirujoč kroglico s hitrostjo v0 v vodoravni smeri, - prva kroglica se ustavi, druga nadaljuje s hitrostjo v0 in udari ob tretjo, zato se druga kroglica ustavi… itd. - zadnja odleti z v0, se dvigne za h in udari ob predzadnjo z v0… itd. - kaj se zgodi, če dvignemo dve kroglici skupaj in ju hkrati spustimo? Kroženje točkastega telesa točkasto telo kroži, 2. Newtonov zakon pomnožimo z leve z r F ma / r sledi: 2 r F mr a mr at ar mr at 0 mr definiramo: M rF J m r2 M rF sin j navor vztrajnostni moment točkastega telesa M J Navor sile (oz. rezultante sil) je pravokoten na ravnino kroženja, po velikosti je enak produktu vztrajnostnega momenta in kotnega pospeška telesa. Kroženje točkastih teles Posplošitve: • več sil - izračunamo posameznih sil navor rezultante oz. vsoto navorov M r F r Fi r Fi Mi • sistem točkastih teles, ki se vrtijo (krožijo) z istim kotnim pospeškom – seštejemo po vsem sistemu, navori notranjih sil se paroma odštejejo (3. Newtonov zakon), ostanejo samo navori zunanjih sil M i M in M zi M iz vztrajnostni moment sistema točkastih teles je enak vsoti vztrajnostnih momentov M i m r J 2 i J mi r 2 J i Vztrajnostni moment togega telesa razsežno telo razdelimo na infinitezimalno majhne dele in seštejemo (= integriramo) vztrajnostne momente, r – pravokotna razdalja dm do osi vrtenja: J J i ri 2 mi J r 2 dm r dm M J Vztrajnostni moment togega telesa r r m m • točkasto telo na razdalji r od osi: J = mr2 m • krogla, os skozi središče: J = 2mr2/5 r • obroč, os skozi središče, pravokotno na ravnino obroča: J = mr2 m l • palica, os skozi središče, pravokotno na palico: J = ml2/12 r m • valj, os sovpada z geometrijsko osjo: J = mr2/2 m l • palica, os skozi krajišče, pravokotno na palico: J = ml2/3 Steinerjev izrek poznamo vztrajnostni moment skozi težišče (J0), iščemo J okoli vzporedne osi J r 2 dm dm a 2 r02 2ar0 cos j ma 2 J 0 2a xdm ma 2 J 0 definicija težišča: T a r J J0 j r0 dm xdm 0 , J 0 r02 dm J ma2 J 0 J0 – vztrajnostni moment skozi težišče telesa J – vztrajnostni moment skozi vzporedno os a – razdalja med osema Okoli osi skozi težišče je vztrajnostni moment najmanjši, okoli vseh vzporednih osi je večji. Vrtilna količina točkasto telo kroži • 2. Newtonov zakon množimo najprej z leve z r , dobimo M J , nato množimo še z dt in integriramo po času: Mdt Jdt J 2 J1 2 1 • ali: najprej množimo z dt in integriramo po času, dobimo zakon o gibalni količini Fdt G , nato množimo z leve z r Mdt mr v2 v1 J definiramo: sunek navora: Mdt vrtilna količina: J r G M dt Sunek navora je enak spremembi vrtilne količine. Vrtilna količina J r G vrtilna količina J – vztrajnostni moment kotna hitrost r – ročica G – gibalna količina • vrtilna količina je vektor (v smeri osi vrtenja) • odvisna od vztrajnostnega momenta in kotne hitrosti • je nič, če se telo ne vrti • dvakrat večja kotna hitrost, dvakrat večja vrtilna količina • vrtilna količina se spremeni, če na telo deluje sunek navora Vrtilna količina posplošitve: • sistem točkastih teles, vrtilne količine seštejemo: i seštejemo enačbe za vsako telo, notranji navori se odštejejo, vsota zunanjih navorov določa spremembo skupne vrtilne količine sistema teles: M z dt • razsežno telo, ki se vrti: vsi deli imajo isto kotno hitrost, seštejemo vrtilne količine posameznih delov: 2 dmr J Delo, energija, moč pri vrtenju točkastega telesa točkasto telo kroži (premik v smeri tangente na krožnico): • energijski zakon izrazimo v kotnih količinah: A = Wk dA Fds Ft rdj Mdj 1 1 2 2 1 2 Wk mv mr J 2 2 2 2 • ali: 2. Newtonov zakon množimo najprej z leve z r , dobimo M J , nato skalarno množimo še z dj in integriramo po kotu ( dj in sta vzporedna): d 1 1 2 2 M d j J d j J dt J J 2 2 Wk dt 2 2 dA P M moč pri vrtenju dt Delo, energija pri vrtenju točkastega telesa A = Wk A Mdj delo pri vrtenju • skalarni produkt navora in kota zasuka • navor v smeri zasuka: A > 0 • navor v obratni smeri zasuka: A < 0 1 1 2 2 1 2 2 Wk J mr mv 2 2 2 (rotacijska) kinetična energija • je nič, če telo miruje • sorazmerna vztrajnostnemu momentu in kvadratu kotne hitrosti • skalarna količina Rotacijska kinetična energija togega telesa togo telo se vrti okoli osi O s kotno hitrostjo : • različni deli vrtečega telesa imajo različne hitrosti, vendar enako kotno hitrost: ·= v/r • kinetična energija masnega elementa dm na razdalji r od osi vrtenja je: O dm r 0 v =·r v' =·r' J Wk 2 2 dm v 2 dm r 2 2 dJ 2 dWk 2 2 2 • skupna kinetična energija je vsota prispevkov po celotnem telesu: 2 dm r 2 2 2 Wk dWk dm r 2 J 2 2 2 Torzijska vzmet za zasuk torzijske vzmeti je potreben navor: M = Dj M – navor j – kot zasuka D – torzijski koeficient vzmeti (trda vzmet ↔ velik D) Absolutna vrednost dela, ki ga pri zasuku opravimo, je enaka prožnostni energiji vzmeti: Dj 2 A Mdj Djdj W pr 2 dvakrat večji zasuk: • dvakrat večji navor • štirikrat večja prožnostna energija Dj 2 W pr 2 Simetrija enačb za vrtenje in premo gibanje s j r v r at r J m r2 M rF r G F ma M J G mv J Mt Ft G dA M dj dA F ds P M J 2 Wk 2 M = Dj Dj 2 W pr 2 P F v m v2 Wk 2 F = kx kx 2 W pr 2 Togo telo - splošno Fiz maT vsota vseh zunanjih sil določa pospešek težišča telesa M iz J vsota vseh zunanjih navorov določa vrtenje (t.j. kotni pospešek) telesa okoli izbrane osi T aT Ft Vrteče kolo postavimo na hrapavo podlago: zunanja sila (trenje s podlago) pospešuje kolo v desno in zavira vrtenje. Kotaljenje kotaljenje je kombinacija translatornega in rotacijskega gibanja: • telo se premika kot celota s hitrostjo v0 • telo se vrti okoli osi s kotno hitrostjo v0 ·r hitrost posamezne točke na telesu je vektorska vsotav0dveh komponent: • vsaka točka telesa se premikav v smeri kotaljenja s hitrostjo v0 • zaradi vrtenja okoli osi ima vsaka točka še komponento hitrosti v smeri tangente na krožnico, njena velikost je odvisna od oddaljenosti od osi (r): v = r Kotaljenje telo, ki se kotali brez spodrsavanja, naredi en obrat (kot 2) v času T: j = = T v tem času se translatorno premakne za svoj obseg: s = ·r = v0T pogoj za kotaljenje brez spodrsavanja: v0 = ·r j = = T v0 s = ·r = v0T spodrsavanje: v0 > ·r ali v0 < ·r 2v0 Kotaljenje v0 2 v0 ·r 2v0 v0 2 1,5v0 v0 v0 ·r 0,5v0 v0 2 1,5v0 kotaljenje brez spodrsavanja lahko v0 2vrtenje s kotno v0 obravnavamo tudi kot hitrostjo 0,5v0 okoli osi skozi trenutno dotikališče telesa s podlago: • hitrost posamezne točke na telesu je vektorska vsota komponent zaradi translacije in rotacije • v dotikališču s tlemi je hitrost nič • v vsaki točki je hitrost pravokotna na zveznico s trenutno osjo • velikost hitrosti je sorazmerna z oddaljenostjo od osi Kinetična energija pri kotaljenju Telo se kotali, os vrtenja gre skozi težišče. Seštejemo kinetične energije delcev z maso dm po celotnem telesu: 1 1 2 Wk dm v 2 dm v02 r 2v0r cos 90o j 2 2 1 1 m v02 2 r 2 dm 2v0 r sin j dm 2 2 1 1 m v02 J 2 2v0 ydm 2 2 1 2 1 Wk mv 0 J 2 2 2 dm v0 90º + j r j y x ·r po definiciji težišča je ta člen enak nič Kinetična energija telesa, ki se kotali, je vsota • kinetične translacijske energije (celotno telo se premika s hitrostjo v0) • in kinetične rotacijske energije (telo se vrti okoli težišča s kotno hitrostjo , J - vztrajnostni moment okoli težišča) v Kotaljenje energijski zakon os skozi težišče os skozi dotikališče s podlago r h r Fd Fd Fl m v2 J 2 m gh 2 2 Fd Fl maT Fd r J Fl r J 0 J J 0 mr2 aT r aT r Ogledi Ohranitev gibalne količine – žogice v breztežnosti: http://www.youtube.com/watch?v=4IYDb6K5UF8 Žogica za golf zadene steno – počasni posnetek: http://www.youtube.com/watch?v=aMqM13EUSKw Pirueta na ledu: http://www.youtube.com/watch?v=0oStQg4kNMA Skoki v vodo: http://www.youtube.com/watch?v=cgDwOogTPX4 Mačka se obrne tako, da pade na noge – posnetek: http://www.youtube.com/watch?v=rajyivXuihw Mačka se obrne tako, da pade na noge – simulacija: http://www.youtube.com/watch?v=yGusK69XVlk