Transcript q 1

6. STABILNOST KONSTRUKCIJA
III čas
v. prof. Dr Mira Petronijević
Prof. Stanko Brčić
3. Stabilnost konstrukcija
1
6.3 Matrica krutosti na savijanje štapa
po linearizovanoj teoriji II reda

Diferencijalna jednačina pravog štapa
konstantnog preseka, opterećenog silama
S na krajevima, po linearizovanoj teoriji II
reda je:
IV
2 II
v k v 0
gde je
k 
|S |
EI
(znak + se odnosi na pritisnut štap, a znak – na zategnut štap)
3. Stabilnost konstrukcija
2
6.3.1 Matrica krutosti pritisnutog
štapa tipa k

Rešenje diferencijalne jednačine (S<0)
v ( x )   1   2 kx   3 sin kx   4 cos kx
i su integracione konstante.
3. Stabilnost konstrukcija
3
Matrica krutosti pritisnutog
štapa tipa k

Rešenje diferencijalne jednačine može
da se prikaže u matričnom obliku kao:
v ( x )  1
kx
sin kx
 1 
 
 2 
cos kx       A    
 3 
 
 4
3. Stabilnost konstrukcija
4
Matrica krutosti pritisnutog
štapa tipa k

Integracione konstante i se mogu
odrediti iz konturnih uslova, tj. iz
generalisanih pomeranja krajeva štapa
qi , i=1,2,3,4
3. Stabilnost konstrukcija
5
Matrica krutosti pritisnutog
štapa tipa k

Generalisana pomeranja i sile na
krajevima štapa tipa k su: qi , i=1,2,3,4
y
q2 , R2
q4 , R4
q1, R1
x
q3, R3
l
3. Stabilnost konstrukcija
6
Promena koordinatnog sistema
– znak pomeranja i sila se menja,
diferencijalna jednačina štapa ostaje je ista
y
+v
x

i
i
k
vi
vi
vk
+
k
x
vk
y
Mi
Vi
Mk
Vk
Mi
Vi
Mk
Vk
Pozitivan znak pomeranja i sila posle
promene koordinatnog sistema
3. Stabilnost konstrukcija
7
Konturni (granični) uslovi po pomeranjima
y
y
i
vi
k
vk
q2
x
q1
q4
x
q3
Konturni uslovi po pomeranjima:
x=0
v(x) = q1 , (x) = q2
x=l
v(l) = q3 ,
(x) = q4
 q1   v (0 ) 
  

q

(0
)
 2 

q


    

 q3   v (l ) 
 q 4    ( l ) 
3. Stabilnost konstrukcija
8
Konturni uslovi po silama
y
y
Mi
Vi
Mk
x
R1
Vk
Konturni uslovi po silama:
x=0
V(x) = -R1 , M(x) = R2
x=l
V(l) = R3 ,
R2
M(x) = -R4
R4
x
R3
 R1    V (0 ) 
  

 R 2   M (0 ) 
 R     

R
V
(
l
)
 3 

 R 4    M ( l ) 
3. Stabilnost konstrukcija
9
v ( x )   1   2 kx   3 sin kx   4 cos kx
 ( x )  v ( x )   2  k   3  k cos kx   4  k sin kx

Koristimo granične uslove po pomeranjima:
x  0:
q1  v (0)   1   4
q 2   (0)   2 k   3 k
xl:
q 3  v ( l )   1   2    3 sin    4 cos 
q 4   ( l )   2 k   3 k cos    4 k sin 
gde je   kl
3. Stabilnost konstrukcija
10

odnosno, u matričnom obliku:
 q1   1
  
 q2  0
 
 q3  1
 q 4   0
0
0
k
k

sin 
k
k co s 
  1 
  

0
   2 
co s     3 
  
 k sin     4 
1
ili u skraćenom obliku:
 q   C    
3. Stabilnost konstrukcija
11

Rešavanjem se dobija:
   C 
1
  q
gde je C-1 inverzna matrica matrice C:
C 
1
  C ij 
( i , j  1, 2, 3, 4 )
3. Stabilnost konstrukcija
12

Matrica C-1

1  cos    sin 


sin 
1
1
C  

 sin 


1  cos 


u kojoj je

 cos   sin  
1  cos 
(sin    ) 



l
l
(1  cos  )
 sin 
(1  cos  ) 



l
l

(1  cos    sin  )
sin 
 (1  cos  )




l
l
(sin    cos  )  (1  cos  )
(  sin  ) 



l
l
  2 (1  cos  )   sin 
3. Stabilnost konstrukcija
13

Vektor pomeranja je:
v( x)   A
1
    A   C   q    N   q 
gde je N=AC-1 matrica interpolacionih funkcija

U razvijenom obliku:
v( x)   N1( x)
N 2 ( x)
N 3 ( x)
 q1 
 
 q2 
N 4 ( x)   
 q3 
 q 4 
3. Stabilnost konstrukcija
14

Ni(x) su interpolacione funkcije:
N1( x) 
1

[1  cos    sin   kx sin   sin  sin kx 
 (1  cos  ) cos kx ]
N 2 ( x) 
1
k
[  cos   sin   kx (1  cos  ) 
 (1  cos    sin  ) sin kx  (sin    cos  ) cos kx ]
N 3 (x) 
1

[1  cos   kx sin   sin  sin kx 
 (1  cos  ) cos kx ]
N 4 ( x) 
1
k
[sin     kx (1  cos  )  (1  cos  ) sin kx 
 (   sin  ) cos kx ]
3. Stabilnost konstrukcija
15

Interpolaciona funkcija Ni(x)
predstavljaju elastičnu liniju obostrano
uklještenog štapa, opterećenog
aksijalnom silom pritiska, usled
generalisanog pomeranja qi = 1, pri
čemu su sva ostala generalisana
pomeranja jednaka nuli.
3. Stabilnost konstrukcija
16
Interpolacione funkcije
3. Stabilnost konstrukcija
17
Matrica krutosti štapa tipa k

Matrica krutosti štapa po linearizovanoj teoriji
II reda K daje vezu između vektora
generalisanih sila R i vektora generalisanih
pomeranja q štapa:
R    K   q 
Matrica K je kvadratna, simetrična, 4-og
reda:
K   K ij 
K ij  K
ji
( i , j  1, 2 ,3, 4 )
3. Stabilnost konstrukcija
18


Elementi matrice krutosti se određuju
direktnim postupkom.
Element matrice krutosti Kij jednak je
generalisanoj sili Ri usled generalisanog
pomeranja qj = 1 (kada su sva ostala
generalisana pomeranja jednaka nuli)
3. Stabilnost konstrukcija
19
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti
3. Stabilnost konstrukcija
20
Veze između sila V, M i vektora R

Vektor generalisanih sila na krajevima štapa je jednak
silama dobijenim rešenjem dif. jednačine štapa sa
odgovarajućim znakom:
 R1    V i 

  
M
R
 2 
i 
R


    

 R3   V k 
 R 4    M k 


Mi
Vi
Mk
Vk
R2
R1
3. Stabilnost konstrukcija
R4
R3
21
Veze između sila i pomeranja po Teoriji
II reda (pritisak, H=-S)
M ( x )   E I  v ''( x )
V ( x) 
dM
 H    E I  v '''( x )  Sv '( x )
dx
3. Stabilnost konstrukcija
22

Određivenje elemenata ki1
Ako zadamo da je q1=1.0, qi=0 , i1,
vektor sila na krajevima je jednak
elementima ki1
 R1 
 1   k 11 
 
   
 R2 
 0   k 21 
   K ij      
 R3 
 0   k 31 
R 
 0   k 
 4
 41 
 
3. Stabilnost konstrukcija
23
Za q1= 1.0, q2 = q3 = q4 = 0 pomeranje štapa v(x) je
jednako:
v(x)   N1
v(x) 
1

N2
N3
1 
 
0
N 4      N1(x)
0
0
 
[1  cos    sin   kx sin   sin  sin kx 
 (1  cos  ) cos kx ]
3. Stabilnost konstrukcija
24

Iz dobijene vrednosti za pomeranje štapa,
odrede se izvodi pomeranja
v ( x )  N 
'
1
k
 sin   (1  cos  ) sin kx  sin  cos kx  ,

2
v  ( x )  N 1 
k
v  ( x )  N 1 
k
''
'''

3

 sin  sin kx  (1  cos  ) cos kx  ,
 sin  cos kx  (1  cos  ) sin kx 
3. Stabilnost konstrukcija
25
Sile na krajevima štapa

Momenti na krajevima štapa :
M ( x )   E I  N ''( x )
M i   E IN ''(0)  E I  [ k (1  cos  )] 
2
M k   E IN ''( l )  
EI 
l 
2
1


EI 
l 
2
2
 (1  cos  )
2
 (1  cos  )
3. Stabilnost konstrukcija
26

Vertikalne sile na krajevima štapa
V ( x )   E I  N "'( x )  S  N ( x )
Vi  
Vk  
EI 
3
sin 
l 
3
EI 
l 
3
3
sin 
3. Stabilnost konstrukcija
27

Prva kolona matrice krutosti:
EI 
K 11   V i 
K 21  M i 
3
sin 
l 
3
EI 
K 31  V k  
K 41   M k 
Mk
x
2
(1  cos  )
l 
2
EI 
Vi
Vk
y
3
l 
3
EI 
l 
2
Mi
sin 
y
R2
2
(1  cos  )
R1
R4
R3
x
Na sličan način se dobijaju i kolone 2, 3 i 4.
3. Stabilnost konstrukcija
28
Matrica krutosti na savijanje pritisnutog štapa
tipa k po linearizovanoj teoriji II reda:
  3 sin 

EI
 K   3  
l 

 sim
gde je
 l (1  cos  )
  sin 
 l (sin    cos  )
  l (1  cos  )
2
2
3
2
 sin 
3
  2 (1  cos  )   sin  ,
  kl ,


2
 l (  sin  ) 
2

  l (1  cos  )

2
 l (sin    cos  ) 
 l (1  cos  )
2
k 
|S |
EI
3. Stabilnost konstrukcija
29
6.3.2 Matrica krutosti na savijanje zategnutog
štapa tipa k po linearizovanoj teoriji II reda

Matrica krutosti zategnutog štapa se
dobija kada se u izraze za matricu
krutosti pritisnutog štapa uvede sledeća
smena:
  i ,
 i sin i   sh  ,
3. Stabilnost konstrukcija
cos i   ch 
30
Matrica krutosti na savijanje zategnutog štapa
tipa k po linearizovanoj teoriji II reda:
  3 sh 

EI
K   3  
l z 

 sim .
  l (1  ch  )
  sh 
 l ( ch   sh  )
 l (1  ch  )
2
2
  l (1  ch  )
3


2
 l (sh    ) 
2
 l (ch   1) 

2
 l ( ch   sh  ) 
2
2
  sh 
3
gde je
 z  2(1  ch  )   sh  ,
  kl ,
3. Stabilnost konstrukcija
k 
|S |
EI
31
6.3.3 Matrica krutosti na savijanje štapa
tipa k - alternativni oblik

Alternativni oblik matrice krutosti pritisnutog tj.
zategnutog štapa dat preko funkcija i, i=1-4.
12  

EI 
K   3 

l

 sim
6l  
 12  
4l  
 6l  
2
12  
3. Stabilnost konstrukcija
6l  

2
2l  

6l   

2
4l   
32

Funkcije i za pritisnut štap:
 sin 
3
1 
3 
2
2 
12  c
 (sin    cos  )
gde je :
4 c
 (1  cos  )
4 
6 c
 (  sin  )
2 c
 c  2 (1  cos  )   sin 
3. Stabilnost konstrukcija
33

Funkcije i za zategnut štap:
1 
3 
1
12  t
1
4 t
gde je :

  sh 
2 
3
  ( ch   sh  )
4 
1
6 t
1
2 t
  ( ch   1)
2
  ( sh    )
 t  2 (1  ch  )   sh 
Štap bez normalne sile: i = 1.0
(i=1,2,3,4)
3. Stabilnost konstrukcija
34
Matrica krutosti štapa tipa k
(aksijalno naprezanje i savijanje)
 Fl 2

I



EI
K  3 
l 






Fl
2
I
12  1
6l 2
 12  1
4l  3
 6l 2
2
Fl
2
I
sim .
12  1
3. Stabilnost konstrukcija



6l 2 
2
2l  4 




 6l 2 
2
4 l  3 
35
6.3.4 Matrica krutosti štapa tipa g
y
Mi ,i
Vi ,vi

x
Vg ,vg
Vektor sila i pomeranja krajeva štapa:
 Vi 


R  M i 
V 
 g 
 vi 
 
q  i 
v 
 g
3. Stabilnost konstrukcija
36
Fizičko značenje elemenata matrica
krutosti stapa tipa g
3. Stabilnost konstrukcija
37
Određivanje g

Ako se napiše relacija  R  =  K  ×  q  za štap
tipa k i postavi se uslov da je Mg = 0, dobija
se obrtanje g u funkciji ostala tri parametra
pomeranja:
 g  q4 
1
l ( sin    cos  )
 [   ( 1  cos  )  q 1 
 l (   sin  )  q 2   ( 1  cos  )  q 3 ]
3. Stabilnost konstrukcija
38

Zamenom g u izraze za sile i momente na krajevima
štapa Ri=Kijqj, dobija se:
R1 
R2 
R3 
EI
3
l c
3
*
EI
3
*
EI
*
3
 ( l  sin   q1  l  sin   q 2  l  sin   q 3 )
2
2
2
 (   cos   q1  l  sin   q 2   cos   q 3 )
3
l c
gde je :
2
2
l c
3
 (  cos   q1  l  sin   q 2   cos   q 3 )
2
3
 c  sin    cos 
*
3. Stabilnost konstrukcija
39
Matrica krutosti na savijanje pritisnutog
štapa tipa g
  3 cos 
EI 
K   3 *  
l c
 sim

gde je :
l  sin 
2
l  sin 
2
2
  cos  

2
 l  sin  
3
 cos  
3
 c  sin    cos 
*
3. Stabilnost konstrukcija
40
Matrica krutosti na savijanje štapa tipa g

alternativan oblik:
 3 5
EI 
K   3  
l
 sim

3l  6
 3 5 

 3l  6

3  5 
3l  6
2
za pritisnut štap
5 
1
3
3 c
gde je :
  cos 
*
6 
1
  sin 
2
3 c
*
 c  sin    cos 
*
3. Stabilnost konstrukcija
41
Matrica krutosti na savijanje štapa tipa g

za zategnut štap:
5  
1
3 t
gde je :

  ch 
3
*
6  
  sh    ch 
*
t
1
  sh 
2
3 t
*
l
|S |
EI
dok je za štap bez normalne sile i =
1.0 (i=5,6)
3. Stabilnost konstrukcija
42
Matrica krutosti štapa tipa g
(aksijalno naprezanje i savijanje)
 Fl 2

I


EI 
K  3
l 





Fl
2
I
3 5
3l  6
3l  6
2
sim
Fl
2
I
3. Stabilnost konstrukcija



 3 5 
 3l  6 




3  5 
43
Matrice krutosti štapova – funkcije i

Funkcije i se mogu prikazati u zavisnosti od
bezdimenzionalnog parametra *=S/PE, gde
je PE Euler-ova sila izvijanja
 
*
S
PE  4 
PE

 
*

4
2
2
EI
l
tj.
2
l
S
EI
  2 
3. Stabilnost konstrukcija
*
44
Matrice krutosti štapova – funkcije i
Štap tipa k
Štap tipa g
3. Stabilnost konstrukcija
45
6.3.5 Matrica krutosti štapa u obliku
eksponencijalnih redova


Koristili smo tri oblika matrice krutosti, u
zavisnosti da li je štap pritisnut, zategnut, ili
je S = 0.
Ako se elementi matrice krutosti prikažu u
vidu beskonačnih stepenih redova, dobija se:


isti oblik izraza bez obzira na pritisak ili zatezanje,
nema numeričke nestabilnosti za S  
3. Stabilnost konstrukcija
46

Taylorov red:

sin  
1
2 n
( )
   
sh  
n  1 ( 2 n  1)!

cos  
1
2 n

1

(


)


ch  
n  1 ( 2 n )!
znak + zatezanje, znak – pritisak
3. Stabilnost konstrukcija
47
Funkcije i prikazane u vidu beskonačnih
redova:
1 
2 
3 
4 

1
[1 
12 
1
n 1
[
1
6 2
1
[
1
4 3
1
[
1
2 6
gde je :

1


n 1



n 1
1
 

n 1
1
2 ( n  1)
( 2 n  3 )!
12
1


n 1
( ) ]
n
( ) ]
2
n
( ) ]
2
( 2 n  3 )!

n
2
( 2 n  2 )!


2
( 2 n  1)!

( ) ]
2 ( n  1)
( 2 n  4 )!
n
( )
3. Stabilnost konstrukcija
2
n
48
5 
6 
1
3 g
1
3 g

[1  
n 1

[1  
n 1
gde je :  g 
1
3
1
( ) ]
2
n
( 2 n )!
1
2
( 2 n  1)!


n 1
( ) ]
2 ( n  1)
( 2 n  1)!
3. Stabilnost konstrukcija
n
( )
2
n
49

Približne vrednosti funkcija i za
prva tri člana Taylorovog reda:
1  1
2  1
3  1
4  1
1
 
2
10
1
 
2
60
4
3
 
4
25000
 
2
30
1
 
25000
60
1
3
11
 
4
25000
 
2
13
 
4
25000
3. Stabilnost konstrukcija
50
6.4 Matrica krutosti štapa tipa “s”
S
P
P
S q
1
S
ls=l/2
q5
q1
q2
q3
ls=l/2
3. Stabilnost konstrukcija
q4
q6
q3
l
P
q2
 q4 
 
 q5  
q 
 6
  q1 


q
 2 
q 
 3
51
 Fl 2

 R1 
I

 
R

 2
 R3  E I 
  3 
l 
 R4 

 R5 

 

 R6 



Fl
2
I
12  1
6l 2
 12  1
6l 2
4l  3
 6l 2
2
Fl
2
I
12  1
sim .
 2 Fl 2

 R1 
I
  EI 
 R2   3  0
l 
R 
0
 3


0
0
0

  q 
1
 

6l 2 
q2


2


2l  4
q 
 3 
   q1 
 
q 
  2 
6l 2   q
 3
2

4l  3 

0
 q 
1
  
0
   q2 
2
2 l (2  3   4 )   q 3 


3. Stabilnost konstrukcija
52
6.4.1 Matrica krutosti pritisnutog štapa tipa “s”

Za pritisnut štap: (S<0)
3 
 (sin    cos  )
4 c
4 
 (   sin  )
2 c
 c  2(1  cos  )   sin 
s 
2 EI
l
 2 3   4 
2 E I   2 sin     1  cos    sin 
s 
l 2  2  1  cos     sin   sin 
3. Stabilnost konstrukcija
53
2
2 E I   2 sin    sin  1  cos   
s 
l
2  2  1  cos     sin   sin 
s 
 2  1  cos 2     sin  1  cos   

2 EI


l
2  2  1  cos     sin   sin 
2 E I   2  1  cos    1  cos     sin  1  cos   
s 
l
2  2  1  cos     sin   sin 
s 
s 
2 E I   1  cos    2  1  cos     sin  
l
2 sin   2  1  cos     sin  
2 E I   1  cos  
l
2 sin 
3. Stabilnost konstrukcija
54
Ako se uvede da je:
l  2 l s ,   2 s ,
1  cos    2 cos 2
dobija se
s 
tj.
 EF
 l
 s
Ks   0

 0

EI
ls
0
0
0

, sin   2 sin
2

2
cos

2
 s ctg  s

0


0


EI
 s ctg  s 
ls

3. Stabilnost konstrukcija
55
6.4.2 Matrica krutosti zategnutog štapa tipa “s”

Za zategnut štap (S>0)
K sz
 EF
 l
 s
 0

 0

0
0
0

0


0


EI

 s cth  s 
ls

3. Stabilnost konstrukcija
56
6.5 Matrica krutosti štapa tipa “f”



Štap tipa f je konzolni štap
U Teoriji I reda sile u presecima se mogu odrediti iz
uslova ravnoteže
U Teoriji II reda aksijalna sila S daje momenat
savijanja u čvoru i koji zavisi od poprečne
deformacije štapa.
q2
q1
i
q3
S
l
f
3. Stabilnost konstrukcija
57
Matrica krutosti štapa tipa f (savijanje) se dobija
redukcijom matrice krutosti štapa tipa g, iz uslova
da je R3=Tg=0.
R1,q1
R2,q2
R3,q3
g
i
 R1   3  5
  
 R 2    3l  6
0 = R 3    3  5
l
3l  6
3l  6
2
3l  6
 3  5   q1 
  
 3l  6   q 2 

3  5   q 3 
3. Stabilnost konstrukcija
 q 3  q1  l
6
5
q2
58
Veza između sila i
pomeranja štapa tipa f
(savijanje):
0
 R1  
 
 R2   0

q1
S
i
q2
l
f

  q1 

 6    
2
3l  6  1 
   q2 
 5 

0
3. Stabilnost konstrukcija
59
6.5.1 Matrica krutosti pritisnutog štapa tipa “f”
q2
q1
5 
S
i
q3
l
F
 I
 R1 
  EI 
 R2  
0
l
R 
0
 2


f
1
3
  cos 
3
*
c
6 
1
3
  sin 
2
*
c
 c  sin    cos 
*
0
0
0

  q1 
  
0    q2 
  tg    q 2 


0
3. Stabilnost konstrukcija
60
6.5.2 Matrica krutosti zategnutog štapa tipa “f”
q2
q1
i
q3
S
l
f
F
 I
 R1 
  EI 
 R2  
0
l
R 
0
 2


5 
1
3
  c h
3
*
t
6  
1
3
  s h
2
*
t
 t  sin    cos 
*
0
0
0

  q1 
  
0    q2 
 th    q 2 


0
3. Stabilnost konstrukcija
61