Transcript q 1
6. STABILNOST KONSTRUKCIJA
III čas
v. prof. Dr Mira Petronijević
Prof. Stanko Brčić
3. Stabilnost konstrukcija
1
6.3 Matrica krutosti na savijanje štapa
po linearizovanoj teoriji II reda
Diferencijalna jednačina pravog štapa
konstantnog preseka, opterećenog silama
S na krajevima, po linearizovanoj teoriji II
reda je:
IV
2 II
v k v 0
gde je
k
|S |
EI
(znak + se odnosi na pritisnut štap, a znak – na zategnut štap)
3. Stabilnost konstrukcija
2
6.3.1 Matrica krutosti pritisnutog
štapa tipa k
Rešenje diferencijalne jednačine (S<0)
v ( x ) 1 2 kx 3 sin kx 4 cos kx
i su integracione konstante.
3. Stabilnost konstrukcija
3
Matrica krutosti pritisnutog
štapa tipa k
Rešenje diferencijalne jednačine može
da se prikaže u matričnom obliku kao:
v ( x ) 1
kx
sin kx
1
2
cos kx A
3
4
3. Stabilnost konstrukcija
4
Matrica krutosti pritisnutog
štapa tipa k
Integracione konstante i se mogu
odrediti iz konturnih uslova, tj. iz
generalisanih pomeranja krajeva štapa
qi , i=1,2,3,4
3. Stabilnost konstrukcija
5
Matrica krutosti pritisnutog
štapa tipa k
Generalisana pomeranja i sile na
krajevima štapa tipa k su: qi , i=1,2,3,4
y
q2 , R2
q4 , R4
q1, R1
x
q3, R3
l
3. Stabilnost konstrukcija
6
Promena koordinatnog sistema
– znak pomeranja i sila se menja,
diferencijalna jednačina štapa ostaje je ista
y
+v
x
i
i
k
vi
vi
vk
+
k
x
vk
y
Mi
Vi
Mk
Vk
Mi
Vi
Mk
Vk
Pozitivan znak pomeranja i sila posle
promene koordinatnog sistema
3. Stabilnost konstrukcija
7
Konturni (granični) uslovi po pomeranjima
y
y
i
vi
k
vk
q2
x
q1
q4
x
q3
Konturni uslovi po pomeranjima:
x=0
v(x) = q1 , (x) = q2
x=l
v(l) = q3 ,
(x) = q4
q1 v (0 )
q
(0
)
2
q
q3 v (l )
q 4 ( l )
3. Stabilnost konstrukcija
8
Konturni uslovi po silama
y
y
Mi
Vi
Mk
x
R1
Vk
Konturni uslovi po silama:
x=0
V(x) = -R1 , M(x) = R2
x=l
V(l) = R3 ,
R2
M(x) = -R4
R4
x
R3
R1 V (0 )
R 2 M (0 )
R
R
V
(
l
)
3
R 4 M ( l )
3. Stabilnost konstrukcija
9
v ( x ) 1 2 kx 3 sin kx 4 cos kx
( x ) v ( x ) 2 k 3 k cos kx 4 k sin kx
Koristimo granične uslove po pomeranjima:
x 0:
q1 v (0) 1 4
q 2 (0) 2 k 3 k
xl:
q 3 v ( l ) 1 2 3 sin 4 cos
q 4 ( l ) 2 k 3 k cos 4 k sin
gde je kl
3. Stabilnost konstrukcija
10
odnosno, u matričnom obliku:
q1 1
q2 0
q3 1
q 4 0
0
0
k
k
sin
k
k co s
1
0
2
co s 3
k sin 4
1
ili u skraćenom obliku:
q C
3. Stabilnost konstrukcija
11
Rešavanjem se dobija:
C
1
q
gde je C-1 inverzna matrica matrice C:
C
1
C ij
( i , j 1, 2, 3, 4 )
3. Stabilnost konstrukcija
12
Matrica C-1
1 cos sin
sin
1
1
C
sin
1 cos
u kojoj je
cos sin
1 cos
(sin )
l
l
(1 cos )
sin
(1 cos )
l
l
(1 cos sin )
sin
(1 cos )
l
l
(sin cos ) (1 cos )
( sin )
l
l
2 (1 cos ) sin
3. Stabilnost konstrukcija
13
Vektor pomeranja je:
v( x) A
1
A C q N q
gde je N=AC-1 matrica interpolacionih funkcija
U razvijenom obliku:
v( x) N1( x)
N 2 ( x)
N 3 ( x)
q1
q2
N 4 ( x)
q3
q 4
3. Stabilnost konstrukcija
14
Ni(x) su interpolacione funkcije:
N1( x)
1
[1 cos sin kx sin sin sin kx
(1 cos ) cos kx ]
N 2 ( x)
1
k
[ cos sin kx (1 cos )
(1 cos sin ) sin kx (sin cos ) cos kx ]
N 3 (x)
1
[1 cos kx sin sin sin kx
(1 cos ) cos kx ]
N 4 ( x)
1
k
[sin kx (1 cos ) (1 cos ) sin kx
( sin ) cos kx ]
3. Stabilnost konstrukcija
15
Interpolaciona funkcija Ni(x)
predstavljaju elastičnu liniju obostrano
uklještenog štapa, opterećenog
aksijalnom silom pritiska, usled
generalisanog pomeranja qi = 1, pri
čemu su sva ostala generalisana
pomeranja jednaka nuli.
3. Stabilnost konstrukcija
16
Interpolacione funkcije
3. Stabilnost konstrukcija
17
Matrica krutosti štapa tipa k
Matrica krutosti štapa po linearizovanoj teoriji
II reda K daje vezu između vektora
generalisanih sila R i vektora generalisanih
pomeranja q štapa:
R K q
Matrica K je kvadratna, simetrična, 4-og
reda:
K K ij
K ij K
ji
( i , j 1, 2 ,3, 4 )
3. Stabilnost konstrukcija
18
Elementi matrice krutosti se određuju
direktnim postupkom.
Element matrice krutosti Kij jednak je
generalisanoj sili Ri usled generalisanog
pomeranja qj = 1 (kada su sva ostala
generalisana pomeranja jednaka nuli)
3. Stabilnost konstrukcija
19
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti
3. Stabilnost konstrukcija
20
Veze između sila V, M i vektora R
Vektor generalisanih sila na krajevima štapa je jednak
silama dobijenim rešenjem dif. jednačine štapa sa
odgovarajućim znakom:
R1 V i
M
R
2
i
R
R3 V k
R 4 M k
Mi
Vi
Mk
Vk
R2
R1
3. Stabilnost konstrukcija
R4
R3
21
Veze između sila i pomeranja po Teoriji
II reda (pritisak, H=-S)
M ( x ) E I v ''( x )
V ( x)
dM
H E I v '''( x ) Sv '( x )
dx
3. Stabilnost konstrukcija
22
Određivenje elemenata ki1
Ako zadamo da je q1=1.0, qi=0 , i1,
vektor sila na krajevima je jednak
elementima ki1
R1
1 k 11
R2
0 k 21
K ij
R3
0 k 31
R
0 k
4
41
3. Stabilnost konstrukcija
23
Za q1= 1.0, q2 = q3 = q4 = 0 pomeranje štapa v(x) je
jednako:
v(x) N1
v(x)
1
N2
N3
1
0
N 4 N1(x)
0
0
[1 cos sin kx sin sin sin kx
(1 cos ) cos kx ]
3. Stabilnost konstrukcija
24
Iz dobijene vrednosti za pomeranje štapa,
odrede se izvodi pomeranja
v ( x ) N
'
1
k
sin (1 cos ) sin kx sin cos kx ,
2
v ( x ) N 1
k
v ( x ) N 1
k
''
'''
3
sin sin kx (1 cos ) cos kx ,
sin cos kx (1 cos ) sin kx
3. Stabilnost konstrukcija
25
Sile na krajevima štapa
Momenti na krajevima štapa :
M ( x ) E I N ''( x )
M i E IN ''(0) E I [ k (1 cos )]
2
M k E IN ''( l )
EI
l
2
1
EI
l
2
2
(1 cos )
2
(1 cos )
3. Stabilnost konstrukcija
26
Vertikalne sile na krajevima štapa
V ( x ) E I N "'( x ) S N ( x )
Vi
Vk
EI
3
sin
l
3
EI
l
3
3
sin
3. Stabilnost konstrukcija
27
Prva kolona matrice krutosti:
EI
K 11 V i
K 21 M i
3
sin
l
3
EI
K 31 V k
K 41 M k
Mk
x
2
(1 cos )
l
2
EI
Vi
Vk
y
3
l
3
EI
l
2
Mi
sin
y
R2
2
(1 cos )
R1
R4
R3
x
Na sličan način se dobijaju i kolone 2, 3 i 4.
3. Stabilnost konstrukcija
28
Matrica krutosti na savijanje pritisnutog štapa
tipa k po linearizovanoj teoriji II reda:
3 sin
EI
K 3
l
sim
gde je
l (1 cos )
sin
l (sin cos )
l (1 cos )
2
2
3
2
sin
3
2 (1 cos ) sin ,
kl ,
2
l ( sin )
2
l (1 cos )
2
l (sin cos )
l (1 cos )
2
k
|S |
EI
3. Stabilnost konstrukcija
29
6.3.2 Matrica krutosti na savijanje zategnutog
štapa tipa k po linearizovanoj teoriji II reda
Matrica krutosti zategnutog štapa se
dobija kada se u izraze za matricu
krutosti pritisnutog štapa uvede sledeća
smena:
i ,
i sin i sh ,
3. Stabilnost konstrukcija
cos i ch
30
Matrica krutosti na savijanje zategnutog štapa
tipa k po linearizovanoj teoriji II reda:
3 sh
EI
K 3
l z
sim .
l (1 ch )
sh
l ( ch sh )
l (1 ch )
2
2
l (1 ch )
3
2
l (sh )
2
l (ch 1)
2
l ( ch sh )
2
2
sh
3
gde je
z 2(1 ch ) sh ,
kl ,
3. Stabilnost konstrukcija
k
|S |
EI
31
6.3.3 Matrica krutosti na savijanje štapa
tipa k - alternativni oblik
Alternativni oblik matrice krutosti pritisnutog tj.
zategnutog štapa dat preko funkcija i, i=1-4.
12
EI
K 3
l
sim
6l
12
4l
6l
2
12
3. Stabilnost konstrukcija
6l
2
2l
6l
2
4l
32
Funkcije i za pritisnut štap:
sin
3
1
3
2
2
12 c
(sin cos )
gde je :
4 c
(1 cos )
4
6 c
( sin )
2 c
c 2 (1 cos ) sin
3. Stabilnost konstrukcija
33
Funkcije i za zategnut štap:
1
3
1
12 t
1
4 t
gde je :
sh
2
3
( ch sh )
4
1
6 t
1
2 t
( ch 1)
2
( sh )
t 2 (1 ch ) sh
Štap bez normalne sile: i = 1.0
(i=1,2,3,4)
3. Stabilnost konstrukcija
34
Matrica krutosti štapa tipa k
(aksijalno naprezanje i savijanje)
Fl 2
I
EI
K 3
l
Fl
2
I
12 1
6l 2
12 1
4l 3
6l 2
2
Fl
2
I
sim .
12 1
3. Stabilnost konstrukcija
6l 2
2
2l 4
6l 2
2
4 l 3
35
6.3.4 Matrica krutosti štapa tipa g
y
Mi ,i
Vi ,vi
x
Vg ,vg
Vektor sila i pomeranja krajeva štapa:
Vi
R M i
V
g
vi
q i
v
g
3. Stabilnost konstrukcija
36
Fizičko značenje elemenata matrica
krutosti stapa tipa g
3. Stabilnost konstrukcija
37
Određivanje g
Ako se napiše relacija R = K × q za štap
tipa k i postavi se uslov da je Mg = 0, dobija
se obrtanje g u funkciji ostala tri parametra
pomeranja:
g q4
1
l ( sin cos )
[ ( 1 cos ) q 1
l ( sin ) q 2 ( 1 cos ) q 3 ]
3. Stabilnost konstrukcija
38
Zamenom g u izraze za sile i momente na krajevima
štapa Ri=Kijqj, dobija se:
R1
R2
R3
EI
3
l c
3
*
EI
3
*
EI
*
3
( l sin q1 l sin q 2 l sin q 3 )
2
2
2
( cos q1 l sin q 2 cos q 3 )
3
l c
gde je :
2
2
l c
3
( cos q1 l sin q 2 cos q 3 )
2
3
c sin cos
*
3. Stabilnost konstrukcija
39
Matrica krutosti na savijanje pritisnutog
štapa tipa g
3 cos
EI
K 3 *
l c
sim
gde je :
l sin
2
l sin
2
2
cos
2
l sin
3
cos
3
c sin cos
*
3. Stabilnost konstrukcija
40
Matrica krutosti na savijanje štapa tipa g
alternativan oblik:
3 5
EI
K 3
l
sim
3l 6
3 5
3l 6
3 5
3l 6
2
za pritisnut štap
5
1
3
3 c
gde je :
cos
*
6
1
sin
2
3 c
*
c sin cos
*
3. Stabilnost konstrukcija
41
Matrica krutosti na savijanje štapa tipa g
za zategnut štap:
5
1
3 t
gde je :
ch
3
*
6
sh ch
*
t
1
sh
2
3 t
*
l
|S |
EI
dok je za štap bez normalne sile i =
1.0 (i=5,6)
3. Stabilnost konstrukcija
42
Matrica krutosti štapa tipa g
(aksijalno naprezanje i savijanje)
Fl 2
I
EI
K 3
l
Fl
2
I
3 5
3l 6
3l 6
2
sim
Fl
2
I
3. Stabilnost konstrukcija
3 5
3l 6
3 5
43
Matrice krutosti štapova – funkcije i
Funkcije i se mogu prikazati u zavisnosti od
bezdimenzionalnog parametra *=S/PE, gde
je PE Euler-ova sila izvijanja
*
S
PE 4
PE
*
4
2
2
EI
l
tj.
2
l
S
EI
2
3. Stabilnost konstrukcija
*
44
Matrice krutosti štapova – funkcije i
Štap tipa k
Štap tipa g
3. Stabilnost konstrukcija
45
6.3.5 Matrica krutosti štapa u obliku
eksponencijalnih redova
Koristili smo tri oblika matrice krutosti, u
zavisnosti da li je štap pritisnut, zategnut, ili
je S = 0.
Ako se elementi matrice krutosti prikažu u
vidu beskonačnih stepenih redova, dobija se:
isti oblik izraza bez obzira na pritisak ili zatezanje,
nema numeričke nestabilnosti za S
3. Stabilnost konstrukcija
46
Taylorov red:
sin
1
2 n
( )
sh
n 1 ( 2 n 1)!
cos
1
2 n
1
(
)
ch
n 1 ( 2 n )!
znak + zatezanje, znak – pritisak
3. Stabilnost konstrukcija
47
Funkcije i prikazane u vidu beskonačnih
redova:
1
2
3
4
1
[1
12
1
n 1
[
1
6 2
1
[
1
4 3
1
[
1
2 6
gde je :
1
n 1
n 1
1
n 1
1
2 ( n 1)
( 2 n 3 )!
12
1
n 1
( ) ]
n
( ) ]
2
n
( ) ]
2
( 2 n 3 )!
n
2
( 2 n 2 )!
2
( 2 n 1)!
( ) ]
2 ( n 1)
( 2 n 4 )!
n
( )
3. Stabilnost konstrukcija
2
n
48
5
6
1
3 g
1
3 g
[1
n 1
[1
n 1
gde je : g
1
3
1
( ) ]
2
n
( 2 n )!
1
2
( 2 n 1)!
n 1
( ) ]
2 ( n 1)
( 2 n 1)!
3. Stabilnost konstrukcija
n
( )
2
n
49
Približne vrednosti funkcija i za
prva tri člana Taylorovog reda:
1 1
2 1
3 1
4 1
1
2
10
1
2
60
4
3
4
25000
2
30
1
25000
60
1
3
11
4
25000
2
13
4
25000
3. Stabilnost konstrukcija
50
6.4 Matrica krutosti štapa tipa “s”
S
P
P
S q
1
S
ls=l/2
q5
q1
q2
q3
ls=l/2
3. Stabilnost konstrukcija
q4
q6
q3
l
P
q2
q4
q5
q
6
q1
q
2
q
3
51
Fl 2
R1
I
R
2
R3 E I
3
l
R4
R5
R6
Fl
2
I
12 1
6l 2
12 1
6l 2
4l 3
6l 2
2
Fl
2
I
12 1
sim .
2 Fl 2
R1
I
EI
R2 3 0
l
R
0
3
0
0
0
q
1
6l 2
q2
2
2l 4
q
3
q1
q
2
6l 2 q
3
2
4l 3
0
q
1
0
q2
2
2 l (2 3 4 ) q 3
3. Stabilnost konstrukcija
52
6.4.1 Matrica krutosti pritisnutog štapa tipa “s”
Za pritisnut štap: (S<0)
3
(sin cos )
4 c
4
( sin )
2 c
c 2(1 cos ) sin
s
2 EI
l
2 3 4
2 E I 2 sin 1 cos sin
s
l 2 2 1 cos sin sin
3. Stabilnost konstrukcija
53
2
2 E I 2 sin sin 1 cos
s
l
2 2 1 cos sin sin
s
2 1 cos 2 sin 1 cos
2 EI
l
2 2 1 cos sin sin
2 E I 2 1 cos 1 cos sin 1 cos
s
l
2 2 1 cos sin sin
s
s
2 E I 1 cos 2 1 cos sin
l
2 sin 2 1 cos sin
2 E I 1 cos
l
2 sin
3. Stabilnost konstrukcija
54
Ako se uvede da je:
l 2 l s , 2 s ,
1 cos 2 cos 2
dobija se
s
tj.
EF
l
s
Ks 0
0
EI
ls
0
0
0
, sin 2 sin
2
2
cos
2
s ctg s
0
0
EI
s ctg s
ls
3. Stabilnost konstrukcija
55
6.4.2 Matrica krutosti zategnutog štapa tipa “s”
Za zategnut štap (S>0)
K sz
EF
l
s
0
0
0
0
0
0
0
EI
s cth s
ls
3. Stabilnost konstrukcija
56
6.5 Matrica krutosti štapa tipa “f”
Štap tipa f je konzolni štap
U Teoriji I reda sile u presecima se mogu odrediti iz
uslova ravnoteže
U Teoriji II reda aksijalna sila S daje momenat
savijanja u čvoru i koji zavisi od poprečne
deformacije štapa.
q2
q1
i
q3
S
l
f
3. Stabilnost konstrukcija
57
Matrica krutosti štapa tipa f (savijanje) se dobija
redukcijom matrice krutosti štapa tipa g, iz uslova
da je R3=Tg=0.
R1,q1
R2,q2
R3,q3
g
i
R1 3 5
R 2 3l 6
0 = R 3 3 5
l
3l 6
3l 6
2
3l 6
3 5 q1
3l 6 q 2
3 5 q 3
3. Stabilnost konstrukcija
q 3 q1 l
6
5
q2
58
Veza između sila i
pomeranja štapa tipa f
(savijanje):
0
R1
R2 0
q1
S
i
q2
l
f
q1
6
2
3l 6 1
q2
5
0
3. Stabilnost konstrukcija
59
6.5.1 Matrica krutosti pritisnutog štapa tipa “f”
q2
q1
5
S
i
q3
l
F
I
R1
EI
R2
0
l
R
0
2
f
1
3
cos
3
*
c
6
1
3
sin
2
*
c
c sin cos
*
0
0
0
q1
0 q2
tg q 2
0
3. Stabilnost konstrukcija
60
6.5.2 Matrica krutosti zategnutog štapa tipa “f”
q2
q1
i
q3
S
l
f
F
I
R1
EI
R2
0
l
R
0
2
5
1
3
c h
3
*
t
6
1
3
s h
2
*
t
t sin cos
*
0
0
0
q1
0 q2
th q 2
0
3. Stabilnost konstrukcija
61