Predavanje 1_SK1 - GRAĐEVINSKI FAKULTET
Download
Report
Transcript Predavanje 1_SK1 - GRAĐEVINSKI FAKULTET
UNIVERZITET CRNE GORE
GRAĐEVINSKI FAKULTET
STATIKA KONSTRUKCIJA 1
šk.god. 2011/2012
STATIKA KONSTRIKCIJA 1
-TEORIJA KONSTRUKCIJA
- stručno-naučna disciplina koja se bavi proračunom napona, deformacija I pomjeranja u inžinjerskim
konstrukcijama u skladu sa zakonima mehanike deformabilnog tijela.
U zavisnosti od vrste opterećenja na koje računamo uticaje (napone, deformacije i pomjeranja) razlikujemo
sljedeće oblasti teorije konstrukcija:
1. STATIKA
2. DINAMIKA
3. STABILNOST
Statičkim metodama se računaju uticaji usljed dejstva opterećenja koje se ne mijenja u toku vremena.
Dinamičko opterećenje se mijenja u toku vremena.
STATIKA
DINAMIKA
STABILNOST
Pri statičkom opterećenju
LINIJSKI NOSAČI
Elastičan materijal Plastičan materijal
Pri dinamičkom opterećenju
POVRŠINSKI NOSAČI
Viskozan materijal
P
P0
P(t)
t
s
P(t)
t
e
t
plastična zona
Nosači koji mogu da se prikažu kao linije (prave, izlomljene i krive) nazivaju se linijski nosači:
Prosta greda
Među tim metodama, prvo su se formulisale danas dobro poznate metode Statike linijskih
nosača.
-J.C. Maxwell (1831.-1879.), izlaže postupak za proračun statički neodređenih linijskih nosača
- O. Mohr (1835.-1918.) izlaže sličan postupak
- Muller- Breslau, 1886., izlaže novi postupak proračuna statički neodređenih linijskih nosača
usvajajući reakcije oslonaca i presječne sile za nepoznate veličine(metoda sila).
- H. Manderla, 1880., daje ideju o korišćenju pomjeranja i obrtanja čvorova kao osnovnih
neodređenih veličina(tačna metoda deformacija). Imajući u vidu veliki broj jednačina koji se
pojavljuje u ovoj metodi, kao i raspoloživa proračunska sredstva, ova metoda nije imala široku
primjenu.
- O. Mohr je predložio upročćeni postupak koji je predložio Manderla, određujući pomjeranja
čvorova datog nosača kao pomjeranja čvorova nosača sa zglavkastim vezama. Na taj način broj
jednačina se znatno smanjio (približna metoda deformacije).
- A. Bedihen i G.A. Maney prethodnu metodu uopštavaju i primjenjuju za okvirne konstrukcije.
-Nakon toga 1920. godine razvijeno je nekoliko iterativnih metoda za proračun linijskih nosača.
- H. Cross, 1930., predlaže Krosovu metodu
-Nakon 30-te godine predloženo je niz približnih metoda.
- poslednjih 40- tak godina, za razliku od dosadašnjih klasičnih metoda, razvijaju se savremene ili
moderne metode proračuna. Ove metode koriste matrični aparat i nazivaju se matrične metode, a
sam način analize konstrukcija primjenom ovih metoda naziva se matrična analiza konstrukcija.
Razvoj ovih metoda išao je uporedo sa razvojem računara.
* Levy- daje osnovne jednačine metode sila u matričnom obliku sredinom 20 vijeka,
* Lang, Bisplinghof, Langefors, Wehlw, lansing i drugi razrađuju koncept matrične
formulacije metode sila uz primjenu računara.
* Lavy a kasnije i Argyris sa saradnicima izlažu opštu matričnu formulaciju na bazi
osnovnih energetskih principa. Njihovi radovi predstavljaju osnovu za dalji razvoj metoda
matrične analize konstrukcija.
TEORIJA ŠTAPA
OSNOVNE JEDNAČINE TEHNIČKE TEORIJE ŠTAPOVA U RAVNI
g
1
Γ
2
F
i
k
Slika 1
-
krivi štap
pravi štap
Liniju ik nazivamo osa štapa, dok su površi F poprečni presjeci štapa.
-štap konstantnog poprečnog presjeka
- štap promjenljivog poprečnog presjeka.
Štap čija osa sa jednom od glavnih centralnih osa inercija poprečnih presjeka leži u jednoj ravni
nazivamo ravan štap, a odgovarajuću ravan nazivamo ravan štapa.
- prostorni štapovi
Deformacija ose štapa
Ravna deformacija
Slika 2
Slika 2a
c
d d u , v
x
c1
i
k
ds
v
y
i'
dc
c'
u
c1'
(1+e)ds
k'
Slika 3
- deformacijske veličine ose štapa
e - specifična promjena dužine, odnosno, dilatacija elementa ose štapa. Ovo je čista deformacijska veličina jer
postoji samo na onim mjestima na kojima se osa deformiše.
j- je ugao za koji se obrne element ose štapa. Ovo nije čista deformacijska veličina jer može postojati i bez
deformacije elementa.
dj - je promjena ugla između tangenti u beskonačno bliskim tačkama ose. Ovo je čista deformacijska veličina i
ako se element ne deformiše jednaka je nuli.
c
dx
v
u
ds
x
dy
y
a
a+j
c1
u+du
c'
r
v+dv
(1+e)ds
c1'
dj
dx=ds cosa
dy=ds sina
Slika 4
---------------dx+u+du=u+(1+e)ds cos(a+j
dy+v+dv=v+(1+e)ds sin(a+j nelinearni sistem jednačina
--------------------------du= (1+e)ds cos(a+j-dx
(1)
dv= (1+e)ds sin(a+j -dy nelinearni sistem jednačina , teorija konačnih-velikih
deformacija
teorija konačnih ili teorija velikih deformacija.
Pretpostavka o malim deformacijama:
j«1 e«1 i je≈0 tada su
cosj1-j2/2+j4/4...1
sinjj-j3/3+j5/5...j
cosj1-j2/2+...1
cos(a+j)cosa-jsina
sin(a+j)sina+jcosa
du= (1+e)ds (cosa-jsina-dx
dv= (1+e)ds (sina+jcosa -dy
---------------------du= e dx-j dy
(2)
dv= e dy+j dx
---------------------
iz relacije cos a cos j-sina sinj
iz relacije sin a cos j+sinj cosa
dx=ds cosa
dy=ds sina
Deformacija štapa
-Bernolli-jeva pretpostavka
- tačna za prave prizmatične štapove napregnute na čisto savijanje
u
u
c
c1
z
c
z
u(z)
cz
c'
v(z)
ds'
c'
cz
c 1'
z
c1z
cz'
dsz'
ds
c1z'
czי
jt
j-jt
r'
j
jt
dj
djt+jt
r1'
d( j-jt)
j-jt
Slika 5
O'
O1'
Slika 6
jt – klizanje poprečnog presjeka, čisto deformacijska veličina
Klizanje je promjena ugla između dva pravca pri deformaciji.
u z u - z sin j - j t ,
g/2
g/2
z + v z v + z cos j - j t ,
sin j - j t j - j t
cos j - j t 1
Iz 1 se dobija:
(1+e)ds=r1' sin(d(j-jt))
(j-jt)«1, cos(j-jt)≈1, sin (j-jt) ≈(j-jt)
-----------------------------
u z u - z j - j t
Iz 2 se dobija:
(1+ez)ds=(r1'-z) sin(d(j-jt))
vz v
---------------------------d(j-jt)«1
sin(d(j-jt))≈ d(j-jt)
ds'=(1+e)ds
(1+e)ds=r1' d(j-jt)
dsz'=(1+ez)ds
c'c1'O1'
cz'cz1'O1'
na slici 6
(1+ez)ds=(r1'-z) d(j-jt)
------------------------------------(1+ez)ds=(1+e)ds-z d(j-jt)
/:ds
Primjenom sinusne teoreme:
1 + e ds
sin d j - j t
1 + e z ds
sin d j - j t
r 1
p
sin - j t
2
r 1 - z
p
sin - j t
2
r1' - poluprečnik krivine
sin(p/2- jt) =cos jt
jt«1
cosjt≈1
(1)
1+ez =(1+e) -z d(j-jt)/ds
-----------------------
promjena krivine štapa
(2)
-
d j - j t
ds
e z e + z
Promjena krivine je čista deformacijska veličina
dilatacija poprečnog presjeka po veličini z je
linearna
e
ez= e z
Spoljašnje i unutrašnje sile
-
zapreminske i
površinske sile
-
aktivne sile
reaktivne sile
Statički ekvivalentne sile i momenti
p
p
m
Rik
Mik
p
m
i
Mki
k
Slika 7
Rki
R
i
M
s
lim
s 0
k
R
s
dR
P
M
s
dM
m
ds
raspodijeljeni momenti
m
k
Py
Px a
ds
lim
s 0
raspodijeljena sila
p
i
p
i
k
Py= P sin a
Px= P cos a
N
s dF
F
T
dF
F
M
s zdF
F- površina poprešnog presjeka
N- normalna sila , sila u pravcu ose štapa
T – transverzalna sila, u ravni presjeka a
upravna na osu štapa
M- moment savijanja
F
Sile N, T i M nazivamo zajedničkim imenom sile
u presjeku ili presječne sile
M
T
N
T
M
N
N
M
Konvencija o pozitivnom smjeru:
- normalna sila je pozitivna kada isteže štap
- transverzalna sila je pozitivna kada suprotan kraj
štapa obrće u smjeru skazaljke časovnika
- moment savijanja je pozitivan kada zateže donju
stranu štapa.
T
c
V
M
i
k
c
H
i
c
M
c
T
N
H= N cos a - T sin a
V= N sin a + T cos a
M
H
V
k
N= H cos a + V sin a
T=- H sin a +V cos a
Uslovi ravnoteže elementa štapa
SPOLJAŠNJE SILE STOJE U RAVNOTEŽI SA UNUTRAŠNJIM SILAMA NA NEDEFORMISANOM ŠTAPU.
Uslove ravnoteže elementa štapa
N
T
M
V
pnds
ptds
M
pydx
M+dM
H
ds
M+dM
pxdx
H+dH
dx
N+dN
V+dV
T+dT
dN+ptds=0
dT+pnds=0
dM -T ds=0
dH+pxdx=0
dV+pydx=0
dM -T dx=0
uslovi ravnoteže- veze spoljašnjih sila i sila u presjecima
Veze između deformacijskih veličina elementa ose štapa, sila u presjecima i
temperaturnih promjena
Važi Hukov zakon - materijal idealno elastičan- linearna veza napona i deformacija.
ez
sz
+ a t t z
ez - dilatacija
E
sz - normalni napon
t(z) - temperaturna promjena
at - koeficijent linearne temperaturne dilatacije materijala.
(3)
to t
z
t= tu- to
t- temperaturna razlika
t=( tu+to)/2 temperaturna razlika
t
tz
h
tu
s z Ee z - a t t + z
t
h
t
s z E e - a t t + Ez - a t
h
t
E
h
s z E e + z - a t E t + z
e z e + z
t
t
N s z dF E e - a t t dF + E - a t
zdF E e - a t t dF + E - a t
zdF EF e - a t t
h
h
F
F
F
F
F
M
z s z dF E e
F
dF
F
- a t t zdF +
F
F
E
-at
F
zdF
F
N EF e - a t t
t
M EI - a t
h
0
z
2
t 2
t 2
t
z dF E e - a t t zdF + E - a t
z dF EI - a t
h
h
h
F
F
dF I
F
veze sila u presjecima i deformacijske veličina
N
e
EF
M
EI
+ a tt
+at
veze deformacijske veličina i sila u presjecima
t
h
eds
N
N
M
ds
- g(z) ugao klizanja
- (z) smičući napon
- G moduo klizanja
Hipoteza Žuravskog:
g z
g z
M
z
G
TS
bIG
S -statički moment dijela površine iznad i ispod prave linije z=cons
b- širina poprečnog presjeka na mjestu z
I – moment inercije presjeka
g- promjena ugla između dva prvobitno upravna pravca.
z
TS
bI
h
z
g
(y)
jt
p/2-gmax
ds
jtds
ds
Rad napona smicanja na posmatranom elementu štapa pri stvarnoj raspodjeli ugla
klizanja jednak radu tih napona pri pretpostavljenoj raspodjeli klizanja:
dA g dsdF ds
F
F
2
dF ds
G
T
2
F
GF I
2
s
b
F
d A j t dsdF j t ds dF j t dsT
F
kds
2
GF
j t dsT
jt
2
dF kds
T
2
GF
d A dA
F
T
2
kT
GF
Pregled jednačina i graničnih uslova teorije savijanja štapa u ravni
du= e dx-j dy
dv= e dy+j dx
d(j-jt)= - ds
(A)
dN+ptds=0
dT+pnds=0
dM -T ds=0
e
N
EF
M
EI
jt
(B)
+ a tt
+at
kT
t
h
(C)
GF
Na raspolaganju nam stoji devet jednačina sa 9 nepoznatih :
dva pomjeranja u, v i ugao obrtanja elementa štapa j
tri statičke veličine N,T,M sile i momenti
tri deformacijske veličine e, ,jt
dilatacija, promjena krivine i klizanje
-Kada su tri granična uslova po silama i tri granična
uslova po pomjeranjima tada kažemo da zadatak
statički
-Kada jedan, dva ili tri granična uslova po silama
zamijenimo graničnim uslovima po pomjeranjima
tada sile u presjecima ne mogu da se odrede iz
uslova ravnoteže nezavisno od pomjeranja tačaka i
obrtanja presjeka. Tada je zadatak proračuna sila u
presjecima statički neodređen.
M=0
M=0, N=0
u=0,v=0,j=0
u=0,v=0,j=0
M=0,N=0, v=0
u=0,v=0,j=0
po silama 3 uslova –statički određen
po silama 2<3, po pomjeranjima 4statički neodređen
po silama 0<3, po pomjeranjima 6>3
statički neodređen
U linearnoj teoriji konstrukcija važi princip superpozicije uticaja.