Transcript Teorija konačnih deformacija

6. STABILNOST KONSTRUKCIJA
II čas
dr Mira Petronijević, v. prof.
Prof. dr Stanko Brčić
3. Stabilnost konstrukcija
1
6.2 Osnovne jednačine štapa
6.2.1 Linearna teorija štapa
Važe pretpostavke o geometrijskoj (1), statičkoj
(2) i fizičkoj (3) linearnosti:
1) Deformacije su male (     )
2) Pomeranja napadnih tačaka spoljašnjih sila
su mala u odnosu na dimenzije štapa (uslovi
ravnoteže na nedeformisanom štapu)
3) Linearna veza  (Hukov zakon)
 Linearne jednačine, jednoznačna rešenja,
važi superpozicija uticaja
3. Stabilnost konstrukcija
2
Osnovne jednačine linearne
teorije štapa za t=0
du    dx    dy
.... (1)
dv    dy    dx
.... (2)
dN  p x dx  0
....
(3)
dT  p y dx  0
....
(4)
dM  T dx  0
....
(5)
t  0
.....
(6)
....
(7 )
....
(8)
d

dx

M
EI
N
EF
 t
  tt
t
(AI)
h
3. Stabilnost konstrukcija
3
6.2.2 Teorija konačnih deformacija

Teorija konačnih deformacija
pretpostavlja da važi Hookov zakon (pr.
o fizičkoj linearnosti), a da ne važe
pretpostavke o malim deformacijama,
(pr. o geometrijskoj linearnosti) i malim
pomeranjima (pr. o statičkoj
linearnosti). Reč je o GEOMETRIJSKOJ
NELINEARNOSTI.
3. Stabilnost konstrukcija
4
Teorija konačnih deformacija

Veze deformacija i pomeranja:
3. Stabilnost konstrukcija
5
Teorija konačnih deformacija

Uslovi ravnoteže elementa štapa
3. Stabilnost konstrukcija
6
Teorija konačnih deformacija

Hukov zakon. Veze između deformacija i
presečnih sila, temperature:
d

dx
 
M
EI
N
EF
t
  tt 
t
h
1
EF
( H  cos   V  sin  )   t t
T  0
*uticaj T-sila na deformaciju se zanemaruje
3. Stabilnost konstrukcija
7
Teorija konačnih deformacija.
Osnovne jednačine:


Veze deformacija-pomeranja:
dx  du  (1   )  dx  cos 

(1)
dv  (1   )  dx  sin 

(2)
Uslovi ravnoteže:
dH  p x dx  0

(3)
dV  p y dx  0

(4)
dM  V ( dx  du )  Hdv  0

(A)

(5 )
Hukov zakon
d

dx

M
EI
N
EF
 t
  tt 
t
(6)
h
1
EF
( H  cos   V  sin  )   t t
3. Stabilnost konstrukcija
(7 )
8
Teorija konačnih deformacija

Jednačine štapa (A) po teoriji konačnih
deformacija predstavljaju sistem od 7
jednačina sa 7 nepoznatih:
u , v, ,  , M , N ,T


Jednačine su nelinearne. U njima se javljaju
proizvodi nepoznatih veličina.
Složene su za rešavanje.
3. Stabilnost konstrukcija
9
6.2.3 Teorija drugog reda

Ako uvedemo pretpostavku o malim
deformacijama:
  0

sin    ,
  1

   0
cos   1
a zadržimo i dalje pretpostavku da su
pomeranja velika i da se uslovi ravnoteže
posmatraju na deformisanom štapu, onda se
jednačine uprošćavaju, a teorija u kojoj važe
dodatne pretpostavke se naziva Teorija
drugog reda.
3. Stabilnost konstrukcija
10
Teorija drugog reda
Iz jednačina (A)
se dobija sistem
od 7 jednačina
štapa po Teoriji
II reda (AII) sa 7
nepoznatih
 
(1)
dx
 
dv
(2)
dx
dH
dx
dV
 , ,
dx
M , H ,V ,
dM
u, v
du
  px
(3)
  py
(4)
 V (1   )  H   0
(5 )
(AII)
dx
 
1
EF
(H  V )   t t
o
d
t 
M
 
t

dx
EI
h


3. Stabilnost konstrukcija
(6 )
(7 )
11
Teorija drugog reda


Jednačine predstavljaju sistem od 7
jednačina sa sedam nepoznatih.
Sistem je nelinearan, jer se u uslovu
ravnoteže (5) javlja proizvod statičkih i
deformacijskih veličina.
3. Stabilnost konstrukcija
12
Teorija drugog reda

Sistem se dalje može uprostiti ako


uvedemo pretpostavku da se uticaj normalnih
sila na deformaciju može zanemariti,
zanemarimo dilataciju u trećem uslovu
ravnoteže, tj.   0
Sistem se raspada na dva nezavisna sistema
jednačina. Prvi sistem čine 2 jednačine za
aksijalno naprezanje, a drugi 5 jednačina
savijanja štapa:
3. Stabilnost konstrukcija
13
Teorija drugog reda.
Osnovne jednačine

Aksijalno naprezanje:
du
0

(1)

(2)
dx
N
EF
  tt  0
o
3. Stabilnost konstrukcija
14
Teorija drugog reda.
Osnovne jednačine

Savijanje silama:
Za štap sa zadatim
graničnim uslovima, iz
jednačine (B2) može
da se direktno odredi
H, tako da se sistem
svodi na 4 jednačine
savijanja po Teoriji II
reda.
U opštem sličaju sila
H zavisi od ostalih
sila, tj. pomeranja i
obrtanja.
dv

(1)
dx
dH
  px
(2)
  py
(3)
V  H  0
(4)
t 
M
 
 t

dx
E
I
h


(5)
dx
dV
dx
dM
(B)
dx
d
3. Stabilnost konstrukcija
15
6.2.4 Linearizovana teorija II reda


Jednačine (B) su i dalje nelinearne.
U praksi je dovoljno tačno ako se usvoji
da je H=S, gde je S vrednost sile H
određena po teoriji I reda. Na taj način
sistem jednačina (B) postaje linearan, a
teorija u kojoj važe načinjene
pretpostavke naziva se Linearizovana
teorija II reda.
3. Stabilnost konstrukcija
16
Diferencijalna jednačina štapa po
linearizovanoj teoriji II reda

Diferenciranjem jednačine (B4)
dM
dv
V H
dx
dx
/
2
d

dx
d M
dx
2

dV
dx
d

dx
(H
dv
)
dx
uz korišćenje jednačina (B3) i (B5) dobija se:
d
dx
2
2
2
(  EI
d v
dx
2
 EI  t
t
h
)   py 
d
dx
3. Stabilnost konstrukcija
(H
dv
)
/  (  1)
dx
17
Diferencijalna jednačina štapa po
linearizovanoj teoriji II reda
diferencijalna jednačina štapa po
Linearizovanoj teoriji II reda:
d
2
dx
2
2
(EI
d v
dx
2
)
d
dx
(H
dv
dx
)  py 
d
2
dx
2
(EI  t
3. Stabilnost konstrukcija
t
)
(C )
h
18
Prav prizmatičan štap

Za prizmatičan štap EI=const, py=p(x) i za
t=0 , jednačina (C) postaje:
4
d v
dx
4
gde je: k 
2
k
2
d v
dx
S
2

p( x)
EI
(C’)
, S=H
EI
•
•
gornji znak se odnosi na pritisak (-S),
donji znak se odnosi na zatezanje (S)
3. Stabilnost konstrukcija
19
Rešenje diferencijalne jednačine

Rešenje dif. jednačine (C’) je oblika:
v( x)  vh ( x)  v p ( x)
gde je:
vh(x) - rešenje homogenog dela d.j. a
vp(x) - partikularni integral
3. Stabilnost konstrukcija
20
Rešenje diferencijalne jednačine
1) Homogeno rešenje za pritisnut štap, S<0
vh ( x )  e
px
 v h ( x )  pe , v h ( x )  p e ,
px
I
2
II
px
vh ( x)  p e , vh ( x)  p e
III
3
px
IV
4
px
Karakteristična jednačina i rešenje:

p  ( p  k )  0  p1,2  0, p 3,4   ik
2
2
2
3. Stabilnost konstrukcija
21
Rešenje diferencijalne jednačine
v h ( x )   1  e   2  kx  e   3  e
0

e

0
ikx
 4 e
 ikx
Euler-ove formule:
ikx
 cos kx  i sin kx
e
 ikx
 cos kx  i sin kx
Homogeno rešenje za pritisnut štap
v h ( x )   1   2 kx   3 sin kx   4 cos kx
3. Stabilnost konstrukcija
22
Rešenje diferencijalne jednačine
2) Homogeno rešenje za zategnut štap, S>0
 Karakteristična jednačina i rešenje:
p  ( p  k )  0  p1,2  0, p 3,4   k
2
2
2
v h ( x )   1  e   2  kx  e   3  e
0
shkx 
e
kx
0
e
2
 kx
,
chkx 
e
kx
e
kx
 4 e
 kx
 kx
2
3. Stabilnost konstrukcija
23
Rešenje diferencijalne jednačine

Homogeno rešenje - zatezanje
v h ( x )   1   2 kx   3 sh kx   4 ch kx

 i ,  i – integracione konstante , koje
se određuju iz graničnih uslova štapa
3. Stabilnost konstrukcija
24