Transcript Matematičko klatno

Matematičko klatno
MATURSKI RAD
NIKOLA FILPOVIĆ
Uvod
OSCILATORNO KRETANJE
MATEMATIČKO KLATNO – OSNOVNI POJMOVI
Oscilatorno kretanje
 Jedno od fundamentalnih vrsta kretanja u fizici
 Sila koja deluje na telo proporcionalna je otklonu od
ravnotežnog položaja (restituciona sila)
 Karakteristična funkcija položaja tela od vremena je
sinusna funkcija
 U realnosti, uvek postoji gubitak energije koji se
manifestuje kao prigušenje oscilatornog kretanja
Matematičko klatno – osnovni pojmovi
 Sistem sačinjen od tanke neistegljive niti
zanemarljive mase, okačene o oslonac, i tela
zanemarljivih dimenzija okačenog o tu nit
 Oscilovanje pod dejstvom tangencijalne komponente
težine tela
Prosto harmonijsko kretanje
ANALITIČKO REŠENJE
NUMERIČKO REŠENJE (OJLEROV I OJLER –
KROMEROV METOD)
LINEARNO I NELINEARNO REŠENJE
Analitičko rešenje jednačine kretanja
 Na osnovu II Njutnovog
zakona dinamike rotacije
 Aproksimativna jednačina je
linearna i važi za male uglove
Analitičko rešenje jednačine kretanja
 Rešenje diferencijalne jednačine kretanja ima oblik
 Početni ugao otklona i početna faza oscilovanja
zavise od početnih uslova
 Kretanje ne zavisi od mase kuglice, i periodično će se
ponavljati zauvek, jer nema trenja u posmatranom
modelu
Numeričko rešenje jednačine kretanja
 Za numeričko rešavanje diferencijalnih jednačina
obično se koristi Ojler – Kromerov metod
 Zavisnost ugla otklona od vremena se lako može
isprogramirati, pri čemu se dobija određeni grafik
Ovakvo rešenje dobilo bi
se i analitičkim
rešavanjem jednačine
kretanja
t=0.04s
l=1m
0.8
0.6
0.4
ugao  [rad]
Međutim, osnovni cilj
uvođenja numeričkog
metoda za rešavanje
diferencijalnih jednačina
je rešavanje nelinearnih
jednačina
1.0
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
0
5
10
vreme t [s]
15
20
Funkcija ugla otklona od vremena
za linearno matematičko klatno –
Ojler – Kromerov metod
Numeričko rešenje jednačine kretanja
 Ponovo Ojler – Kromerov metod, ovoga puta za
nelinearno klatno
 Nema aproksimacije za male uglove
Rešenje nelinearne
jednačine kretanja
(isprekidana linija) ne
poklapa se sa linearnim
l=1m
t=0.04s
0.8
0.6
0.4
ugao  [rad]
Rezultat ovog
odudaranja je povećanje
perioda oscilovanja sa
povećanjem ugla otklona
od ravnotežnog položaja
1.0
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
0
2
4
6
vreme t [s]
8
10
Razlika između rezultata dobijenih
za linearno i nelinearno klatno
Upoređivanje rešenja
Nelinearno
Linearno
3
3
t=0.04s
l=1m
t=0.04s
l=1m
0=/2
0=3/4
1
0
0=/2
1
0
-1
-1
-2
-2
-3
0=/4
0=3/4
2
ugao  [rad]
2
ugao  [rad]
0=/4
-3
0
2
4vreme t [s]6
8
10
0
2
4vreme t [s]6
8
10
Utvrđeno je da se period
oscilovanja klatna može
zapisati u obliku
beskonačnog reda
2.40
U slučajevima kada su
uglovi manji od 10˚,
izraz za period se svodi
na
2.25
l=1m
t=0.04s
2.35
period T[s]
2.30
T0=2s
2.20
2.15
2.10
2.05
2.00
1.95
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ugao 0[rad]
Grafik zavisnosti perioda
oscilovanja klatna od početnog ugla
otklona
Prigušeno oscilovanje
ANALITIČKO REŠENJE
NUMERIČKO REŠENJE (OJLER – KROMEROV METOD)
LINEARNO I NELINEARNO REŠENJE
Analitičko rešenje jednačine kretanja
 Pojava sile trenja, koju klatno savladava, i na taj
način gubi deo svoje energije (prigušenje)
 Jednačina kretanja je
 Aproksimativna jednačina je
Analitičko rešenje jednačine kretanja
 Više različitih slučajeva (rešenja), u zavisnosti od
karakteristika prigušenja
 Karakteristična jednačina

Natkritično rešenje (aperiodično) – sopstvene učestanosti
realne i različite
Analitičko rešenje jednačine kretanja

Kritično rešenje (aperiodično) – sopstvene učestanosti realne i
jednake

Podkritično rešenje (kvaziperiodično) – sopstvene učestanosti
su konjugovano-kompleksne

Periodično rešenje – sopstvene učestanosti imaginarne (prosto
harmonijsko oscilovanje)
Numeričko rešenje (Ojler – Kromerov metod)
Nelinearan sistem
Linearan sistem
Za q=10, sistem je
natkritično prigušen
Za q=1, sistem se kreće
kvaziperiodično i reč je o
podkritičnom rešenju
diferencijalne jednačine
t=0.04s
l=1m
q=1
q=3
q=5
q=10
0.6
ugao rad]
Za q=5, sistem je blizu
kritičnog prigušenja
0.8
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
0
2
4
6
8
10
vreme t[s]
Funkcija ugla otklona od vremena za
nelinearno matematičko klatno koje
se kreće u sredini sa prigušenjem
Razlog je isti, promena
perioda oscilovanja sa
promenom ugla otklona
l=1m
1.5
ugao rad]
Kao i u sredini bez
prigušenja, rešenje
nelinearne jednačine
kretanja (isprekidana
linija) ne poklapa se sa
linearnim
2.0
t=0.04s
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
2
4
6
8
10
vreme t[s]
Razlika između rezultata dobijenih
za linearno i nelinearno klatno u
sredini sa prigušenjem
2.024
Suštinski, period se
menja na isti način kao i
u slučaju kad nema
prigušenja
l=1m
t=0.04s
2.020
period T[s]
T0=2.004s
2.016
2.012
2.008
2.004
0.1
0.2
0.3
ugao 0[rad]
0.4
0.5
Grafik zavisnosti perioda
oscilovanja klatna od početnog ugla
otklona
Upoređivanje rešenja
 Činjenica da period klatna nije konstantan u
zavisnosti od amplitudnog ugla dokazuje
nepouzdanost aproksimativnog rešenja
 Mogućnosti približnog rešenja jednačine kretanja
klatna su na neki način ograničene
 Matematičko klatno je u realnosti nelinearan sistem,
i upravo je ta činjenica presudna u određivanju
njegovog ponašanja
Prinudno oscilovanje
PRINUDNO OSCILOVANJE KOD LINEARNOG KLATNA
PRINUDNO OSCILOVANJE KOD NELINEARNOG KLATNA
Analitičko rešenje jednačine kretanja
 Gubitak energije oscilatora, izazvan oscilovanjem u
sredini koja prigušuje kretanje, se može nadoknaditi
primenom spoljašnje sile koja bi vršila pozitivan rad
na sistemu (prinudna sila)
 Prinudna sila može biti različite prirode (mehanička,
električna, magnetna)
 Jednačina kretanja za linearno klatno
Analitičko rešenje jednačine kretanja
 Nakon dovoljno dugo vremena, energija, koju
prilikom jedne pune oscilacije u sistem ubaci
prinudna sila, postane jednaka energiji koja se izgubi
usled prigušenja, te je rešenje jednačine kretanja
 Amplituda oscilovanja je data izrazom
Ovakav vid kretanja je
karakterističan za
linearno klatno, bez
obzira na to kakva je
amplituda ili frekvencija
prinudne sile
0.8
t=0.04s
l=1m
0.6
q=1
D=2
f=0.2
0.4
ugao rad]
Prigušeno kretanje se
posle određenog
vremena „stabilizuje“
prinudnom silom, i
kretanje se odvija po
funkciji koja je
analitičko rešenje
jednačine kretanja
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
0
5
10
15
20
vreme t[s]
Funkcija ugla otklona od vremena
za linearno klatno koje se kreće u
sredini sa prigušenjem i pod
dejstvom prinudne sile
Numeričko rešenje jednačine kretanja
 Kretanje nelinearnog klatna je i dalje periodično, ali
se ne može opisati sinusnom ili kosinusnom
funkcijom
 Najsloženiji oblik diferencijalne jednačine koji
opisuje kretanje klatna dat je kao
 Ojler – Kromerov metod
Numeričko rešenje jednačine kretanja
4
1.0
q=1
D=2
l=1m
3
q=1
f=7.5
f=10
t=0.04s
D=2
2
0.4
ugao rad]
ugao rad]
0.6
f=0
f=1
f=7.5
t=0.04s
l=1m
0.8
0.2
0.0
-0.2
1
0
-1
-0.4
-2
-0.6
-0.8
-3
-1.0
0
10
20
30
vreme
t[s] 40
50
60
-4
0
10
20
30
vreme t[s]
40
50
60
Pri jačoj prinudnoj sili,
kretanje postaje
haotično, i predstavljeno
je veoma
komplikovanom
funkcijom vremena
Pri takvim uslovima,
jedno ponašanje sistema
se nikad ne ponavlja, tj.
klatno gubi
karakteristiku da se
kreće isključivo
periodično
5
l=9.81m
q=0.5
4
t=0.04s
f=0
f=0.5
f=1.2
D=2/3
3
ugao rad]
Za slabe prinudne sile,
periodično kretanje
klatna će se zauvek
ponavljati
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
10
20
30 t[s] 40
vreme
50
60
Funkcija ugla otklona od vremena
za nelinearno matematičko klatno
koje prinudno osciluje
6
t=0.04s
l=9.81m
4
2
0
ugao rad]
Na grafiku je prikazano
jedno isto kretanje, pri
čijem je modelovanju
korišćeno “resetovanje”
ugla (puna linija), i ono
gde to nije slučaj
(isprekidana linija)
-2
-4
-6
-8
-10
-12
q=0.5
D=2/3
f=1.2
-14
0
10
20
30
40
50
60
vreme t[s]
Funkcija ugla otklona nelinearnog
matematičkog klatna od vremena
Zaključak
RAZLIKE IZMEĐU LINEARNIH I
NELINEARNIH SISTEMA
OSNOVNI POJMOVI U TEORIJI HAOSA
Linearni i nelinearni sistemi
 Modelovanje kretanja klatna bilo bi prilično
neinteresantno kada bi se posmatralo u svom
najjednostavnijem obliku
 Podela na linearne i nelinearne sisteme
 Razlike


Period oscilovanja
Haotično kretanje pod dejstvom prinudne sile
Osnovni pojmovi teorije haosa
 U matematici, teorija haosa opisuje ponašanje
određenih dinamičkih sistema, tj. onih čije stanje
sistema evoluira u toku vremena
 Ponašanje haotičnih sistema izgleda slučajno, čak i
ako su sistemi deterministički, što znači da im je
dinamika potpuno određena početnim uslovima, bez
slučajnih faktora (deterministički haos, haos)
 Posledica nelinearnosti sistema
 Ponašanje vremena i klime, rast populacije u
ekologiji, mehanički i magnetno-mehanički procesi
itd.
HVALA NA PAŽNJI!!!