M atematičko modeliranje kvadratnom funkcijom

dr Duška Pešić Gimnazija “J.J.Zmaj” [email protected]

Proces matematičkog modeliranja Formulacija Problem iz svakodnevnog života Matematički model Interpretacija

Koji broj nedostaje?

1 1 2 4 5 ?

6 3 6 Odabrati rešenje: 1 5 2 1 2 5 Ta čno!

7 4 9 9 8 1 1 6

y



x

2

Koji broj nedostaje?

1 3 5 7 8 9 0 8 ?

4 8 6 3 Odabrati rešenje: 1 3 2 4 Ta čno!

3

y

2 

x

2 1  5 1 8 0

Koji broj nedostaje?

1 2 5 6 7 9 2 Odabrati rešenje: 1 1 5 ?

3 3 4 6 7 8 9 2 2 Ta čno!

y

4 

x

2  3

Koji broj nedostaje?

1 2 4 6 7 4 9 ?

4 9 Odabrati rešenje: 2 5 Ta čno!

y

2 1  4 

x

 1 6  2 6 4 3 2 8 1 8

Koji broj nedostaje?

1 2 3 4 5 6 2 8 ?

3 2 Odabrati rešenje: 1 8 Ta čno!

2

y

4  1 2

x

2 6 5 0 2 5 7 2

Koji broj nedostaje?

1 3 2 4 5 ?

6 2 8 Odabrati rešenje: 1 5 2 1 1 9 Ta čno!

7 3 9 9 6 7

y

 1 ( 0

x

 1) 2  3

Koji broj nedostaje?

1 2 4 5 6 7 3 Odabrati rešenje: 1 2 2 ?

2 9 4 7 6 9 9 1 5 Ta čno!

y

 4 2 

x

 1  2  3

Kvadratni obrazac

Razmotriti sledeću šemu kockica sa slike:

1 red 2 reda 3 reda 4 reda  Naći vezu između broja kockica K i broja redova R.

Kvadratni obrazac 4 reda

K



R

2

K R

2 4 reda 4 reda  2

R

 2

R

 1   1 

Veza između poluprečnika kruga

r i

površine kruga

P

 Jednačina:

P

 

r

2 r

Veza između vremena u sekundama kada pada neki objekat

t

i rastojanja u metrima koje je taj objekat prešao

d

 Jednačina:

d

 4.9

t

2

Još jedan primer kvadratne veze veličina  Izračunati zapreminu kutije visine 9cm, i dužine dva puta veće nego širine.

9 y x

x

 2

y V

 9

xy V

 18

y

2

V

 4.5

x

2

Koordinatna šetnja

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Grafik kvadratne funkcije

y



x

2

y

 3

x

2

y

 1 2

x

2

PARABOLA

Grafik kvadratne funkcije

Koordinate temena se ne menjaju

y



ax

2 T(0,0)

Kvadratni obrazac

Razmotri sledeću šemu kvadratića sa slike:

Faza 1 Faza 2 Faza 3 Faza 4  Naći vezu između broja kvadratića K i faze F.

Kvadratni obrazac

Prvi način:

F-1 F+1

K

 (

F

 1)(

F F

2

F

2  1

Kvadratni obrazac

Drugi način:

F F K F F F

2  1

Grafik ove kvadratne veze

y



x

2

y



x

2  1

Koordinate temena se menjaju

2

y



x



n

T(0,n)

n

 0 T

n

 0

Kvadratni obrazac

Razmotri sledeću šemu kvadratića sa slike:

Faza 5 Faza 2 Faza 3 Faza 4  Naći vezu između broja kvadratića K i faze F.

Kvadratni obrazac Faza 5

F-1 F-1 K

 

F

 

F

 

F

 1  2

Grafik ove kvadratne veze

Koordinate temena se menjaju

y

 (  ) 2 T(m,0)

m

 0

m

 0 T

a)

Spojiti svaki grafik sa odgovarajućim funkcijama

b) c)

y



x

2

y

 

x

2

y



x

2  1

y

 

x

 1  2

y



x

2

y



x

2  1

y

 

x

 1  2 d) e) f)

Koliko dijagonala ima konveksan

n

-tougao n=3

d

 n=4 n=5 ....

2  3) 

n

2 2  3

n

2  1 2

n

 3 2 2  9 8 n=8 ...

Koordinate temena se menjaju

2

y

 ) 

n n

 0

m

 0

n

 0

m

 0

n

 0

m

 0 T(m,n)

n

 0

m

 0

Kvadratna funkcija

y



ax

2 

y

 

b

2

a

2 

b

2  4

ac

4

a x

1,2 

b

2  4

ac T

  

b

2

a

, 

b

2 2

a

 4

ac

4

a

 

Poveži funkcije sa njihovim grafikom

y



x

2

y

 

x

2

y



x

2  4

x

 4

y



x

2  4

Koje još veličine imaju kvadratnu vezu?

Vreme i visina tela ba č enog u vis

Broj godina voza č a i broj automobilskih udesa

Cena i ukupni prihod

Strela

Vatromet

Telo ba č eno sa krivog Tornja u Pizi

Telo bačeno u vis Telo bačeno vertikalno uvis ima visinu gde je

g

 9 .

8

m

početna visina.

/

s

2

v

(

t

0 )  

g

2

t

2 

v

0

t



s

0 ubrzanje zemljine teže, početna brzina i ,

s

0 Lopta je bačena u vis sa vrha tornja u Pizi, visine 58

m

sa prosečnom brzinom 30

m/s

. Odrediti posle koliko vremena će lopta dodirnuti zemlju. Rešenje 4.9

t

2  30

t

 58 0   4.9

t

2  30

t

 58

s

y 100

t

1   1.54

  2 7.67

80 60 40 20 0 0 1 2 3 4 5 6 7 x 8

t

Putanja tela bačenog u vis 1. Odrediti maksimalnu visinu lopte. Nakon koliko vremena je lopta dostigla maksimalnu visinu?

Rešenje Maksimum date funkci je može se odrediti kao teme parabole:

t

  30  9 .

8  3 .

061 2 ,

s

 3 .

061 2   103 .

92 , y

s

100 80 60 40 20 0 0 1 2 3 4 5 6 7 x 8

t

Putanja tela bačenog u vis 1. Kada je lopta bila na visini od 20

m

i u kom vremenu je lopta iznad te visine?

Rešenje Vrednost funkcije s=20 se uvrsti u jednačinu i dobija se:

t t

1   1.0772

 7.1996

2

s

y 100 80 60 40 20 0 0 1 2 3 4 5 6 7 x 8

t

Putanja tela bačenog u vis Ako se telo baci u vis istom brzinom ali sa zemlje, koliko i kada će ono biti najviše udaljeno od zemlje i kada će ono udariti zemlju? Rešenje

s

Matematički model ove pojave je

s

1 (

t

)   4 .

9

t

2  30

t 1

-1 y 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6

t

x 7 ( 3 .

nule su

t

=0 i

t

=6.1224 2 , 918 ), *Ako se telo baci sa zemlje pod navedenim uslovima tada će dostići najveću visinu 45.918

m

za 3.0612

s

(isto vreme kao i kod Pize), a pogodiće zemlju posle 6,1224 s.

Broj automobilskih udesa u zavisnosti od godina vozača

Broj udesa

 Funkcija  0.001

x

2  0.09

x

 2.5

je matematički model broja saobraćajnih udesa na pređenih 200 hiljada kilometara u zavisnosti od godina vozača.

y

1 .

4 1 .

2 1 .

0 0 .

8 0 .

6 0 .

4 0 .

2 0 .

0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0

x

8 0

Broj udesa

y

1 .

4 1 .

2 1 .

0 0 .

8 0 .

6 0 .

4 0 .

2 0 .

0 2 0  U kojim godinama čovek ima najmanje udesa.

Rešenje 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0  0.001

x

2  0.09

x

 2.5

•Parabola ima minimum za    0.09

0.002

 45.0, što znači da ljudi sa 45 godina imaju najmanje saobraćajnih udesa.

x

8 0  Ispitati monotonost funkcije

f

i na osnovu toga dati odgovarajuće tumačenje. Rešenje •Data kvadratna funkcija opada kada    a raste kada je

x

>45. Na osnovu toga može se reći da se broj udesa smanjuje sa povećanjem godina života od 18 do 45, a raste posle 45 godina.

VATROMET

Raketa je ispaljena sa zemlje.

• • Visina rakete zavisi od početne brzine i vremena.

Ako je početna brzina 40 visina rakete:

h

 40

t



m/s , tada je

4.9

t

2 100 80 60 40 20 0 2 4 t 6 8 10

Mali biznis

Maksimalna dobit

Maksimalna dobit

Ako funkcija opisuje neku ekonomsku pojavu, ispitu jući njene osobine i skicirajući grafik mogu se rešiti mnogi zadaci optimizacije poslovanja.

Primer: 

Neka je data funkcija tražnje

x

 400 

p

i funkcija prosečnih troškova Odrediti:

   3

x

 1900

x

.

А) Optimalni obim prodaje za maksimalnu dobit; B) Maksimalan ukupni prihod; C) Interval rentabiliteta; D) Grafike funkcija ukupnih prihoda, ukupnih troškova i dobiti.

Rešenje:

* Funkcija ukupnih prihoda P(x) se dobija množenjem cene p i tražnje x.

 400  400

x



x

2

Grafik funkcije ukupnog prihoda:

y

P

(

x

) 0 100 200 300 400



Funkcija ukupnih troškova se dobija množenjem funkcije prosečnih troškova i tražnje:

3

x

 1900

x



Odatle je funkcija dobiti:

 3

x

2  1900     4

x

2  400

x

 1900

* Na osnovu dobijenih grafika mogu se rešiti svi postavljeni problemi.

y P

(

x

) 0

C

(

x

)

D

(

x

) 100 200 300

x

400

*Maksimalna dobit je maksimum funkcije dobiti

x

=50 i iznosi 9500 novčanih jedinica.

y P

(

x

) Maksimalna dobit 0

C

(

x

)

D

(

x

) 100 200 300

x

400

*Maksimalan ukupni prihod je maksimum funkcije ukupnog prihoda: dostiže se za novčanih jedinica.

x

=200 i iznosi 40000

y P

(

x

) Maksimalan ukupni prihod

C

(

x

)

D

(

x

) 100 0 200 300

x

400

*Interval rentabilnosti je interval u kome je funkcija dobiti pozitivna: dostiže se između

x

=5 i

x

=95.

y P

(

x

) Interval rentabilnosti 0

C

(

x

)

D

(

x

) 100 200 300

x

400

Mali biznis

Prodavnica sendviča

• Nedeljni profit ove prodavnice je u funkciji od cene njihovih sendviča. Veza između profita 10000dinara) i cene jednačinom: c (u 100 dinara) je data P

P

 

c c

 7)

c P (u 0 1 2 3 4 5 6 7 0

Problem:  Fotograf je namestio kameru da snima strelu koja je izbačena u vazduh na svakih pola sekunde.  Tačke na grafiku prikazuju visinu strele u metrima na svakih pola sekunde pošto je kamera počela da snima.

 Tačke su spojene parabolom.