Transcript α - Ekonometrija

Metodi sa potpunom informacijom
Izbor metoda ocenjivanja
Ekonometrija, IV godina
Predavač: Aleksandra Nojković
Beograd, školska 2012/13
Metod trostepenih najmanjih kvadrata
(3SNK)




Metod sa potpunom informaciom iz grupe metoda
najmanjih kvadrata.
Primenjuje se na sve jednačine sistema i daje
ocene svih parametara sistema simultano.
Uzima u obzir celu strukturu modela (sa svim
ograničenjima na parametre), te je efikasniji od
metoda kojim se ocenjuju pojedinačne jednačine.
Koristi potpune informacije o strukturi modela,
uključujući i međusobne zavisnosti grešaka
pojedninih jednačina.
Metod 3SNK (nastavak)



1)
2)
3)
4)
Primena metoda NK u tri sukcesivna stepena.
Komplikovanije računanje i zahteva veći broj
opservacija nego metodi ocenjivanja pojedinačnih
jednačina.
Pretpostavke za primenu ovog metoda:
Poznata je kompletna specifikacija celog sistema
jednačina.
Greške jednačina su neautokorelisane, ali su tekuće
vrednosti grešaka međusobno zavisne.
Sistem je identifikovan.
Pre ocenjivanja se eliminišu identiteti i definicione
jednačine, tako što zamenjuju odnosne varijable u
sistemu.
Postupak primene 3SNK

Ako je sistem normalizovan, i-ta jednačina sistema je:
yi=Yiβi+Xiαi+ui,
gde je:
yi-vektor kolona on n-opservacija zavisne prom. i-te jednačine
Yi-matrica (nxl) opservacija tekućih vrednosti drugih endogenih
prom. koje se javljaju u jednačini.
Xi-matrica (nxk) opservacija predeterminisanih prom. Prisutnih
u i-toj jednačini.
α1 i β1 su vektori parametara.
ui-vektor od n grešaka.
Postupak primene 3SNK (nastavak)

Posmatrana i-ta jednačina sistema se može zapisati kao:
yi=Wiδi+ui,
 i 


gde je: Wi=(Yi Xi); i  .
 i 

Ako jednačinu pomnožimo sa leve strane sa X’, pri čemu je X
matrica (nxk) svih predeterminisanih promenljivih, dobija se:
X’yi=X’Wiδi+X’ui.

Tada je kovarijantna matrica reziduala:
E(X’ui ui’X)=σi2(X’X).
Postupak primene 3SNK (nastavak)

Vektor σi se ocenjuje metodom uopštenih najmanjih kvadrata
prema formuli:


ˆ i  Wi' X X ' X

1
'

1
X Wi
Wi' XX' X  X ' y í ,
1
što je u stvari ocena i-te jednačine po metodu 2SNK (zapravo je
u pitanju metod UNK primenjen na svaku jednačinu sistema
posebno).
 Ceo sistem jednačina se može zapisati kao:
 X ' y1  X ' W1
 '  
X y 2    0
    
 '  
X y L   0
0
X ' W2

0
0 


0 
 

'
 X WL 

 1   X ' u 1 
   ' 
 2   X u 2 
   
   ' 
 L  X u L 
Postupak izračunavanja kovarijantne matrice
grešaka sistema

Matrica varijansi i kovarijansi grešaka ovog sistema je:
 11 X ' X 12 X ' X  1L X ' X 

'
'
' 

X
X

X
X


X
X
22
2L
V   21
 

 

'
'
' 
 L1 X X  L 2 X X   LL X X 

Ako se elementi matrice σij izraze matricom Σ=[σij], greške
sistema imaju kovarijantnu matricu jednaku Kroneckerovom
proizvodu matrica Σ i X’X, odnosno:




1
V    X ' X ; V 1   1  X ' X .

Primena metoda UNK na sistem zahteva poznavanje matrice
V, odnosno Σ.
Postupak izračunavanja kovarijantne matrice
grešaka sistema (nastavak)


Matrica matrice V, odnosno Σ se izračunava iz vektora
reziduala dobijenih ocenjivanjem svake jednačine sistema
metodom 2 SNK kao: sij  1 n  uˆ i' uˆ j .
Tada su ocene parametara po metodu 3 SNK:
 ˆ 1   s11 W1' MW1
 ˆ   21 '
  2    s W2 MW1
 

   L1 '
ˆ L  s WL MW1
s12 W1' MW2
s 22 W2' MW2

s L 2 WL' MW2
 s1L W1' MWL 

 s 2 L W2' MWL 



LL
'
 s WL MWL 
1
 L s1 j W1' My j 
 Lj1

2j
'
 s W2 My j 
 j1
,



L
 s Lj WL' My j 
 j1

gde je sij element inverzne matrice [sij]-1 i M=X(X’X)-1 X’.
Ocenjivanje u tri stepena



U prvom stepenu ocenjivanja dobijaju se ocene endogenih
promenljivih iz redukovane forme i zamenjuju na desnu stranu
strukturnih jednačina.
U drugom stepenu vrši se ocenjivanje tako transformisanih
strukturnih jednačina (metod 2SNK), da bi se dobile ocene
grešaka raznih jednačina, iz kojih se ocenjuju njihove
varijanse i kovarijanse.
U trećem stepenu se te ocene varijanski i kovarijansi koriste
za transformaciju originalnih promenljivih, odnosno primenu
metoda UNK.
Osobine ocena 3SNK




Ocene 3SNK su pristrasne, ali konzistentne.
Ocene 3SNK biće identične ocenama 2SNK ako su
greške jednačina međusobno nezavisne.
Slično, ako su sve jednačine tačno identifikovane
prema uslovu reda, ocene 2SNK i 3SNK su identične
(moguće je primeniti ga sao na grupu/podskup L2
prekomerno identifikovanih).
Metod 3SNK je efikasniji samo kad
međuzavisnosti grešaka različitih jednačina.
postoje
Nedostaci metoda 3SNK



Komplikovanije računanje,
jednostaniji metod od MVPI.
ali
je
i
dalje
Kako zahteva potpuno poznavanje specifikacije
svih jednačina sistema i veliki broj opservacija,
njegova primena se ne preporučuje kada je od
interesa ocenjivanje samo jedne relacije u celom
modelu.
Vrlo je osetljiv na greške specifikacije (svaka od
ovih grešaka se prenosi i u ostale relacije
modela).
Metod maksimalne verodostojnosti sa
potpunom informacijom (MVPI)




Zasniva se na pretpostavci o normalnoj distribuciji
stohastičkih grešaka, a daje ocene sa asimptotski
poželjim osobinama.
Primenjuje se na sve jednačine modela i daje istovremeno
ocene svih strukturnih parametara.
Pretpostavlja se poznavanje potpune specifikacije svih
jednačina i normalna raspodela grešaka, sa očekivanim
vrednostima jednakim nuli.
Greške različitih jednačina mogu biti i međusobno zavisne
(otežano izvođenje uslova maksimalne verodostojnosti).
Metod MVPI (nastavak)






Kako je reč o proširenom metodu sa ograničenom
informacijom, ocene su konzistentne ali pristrasne u malim
uzorcima.
U maksimiziranje logarima f-je verodostojnosti potrebno je
uključiti sva ograničenja koja su postavljena strukturnim
jednačinama.
Takođe spada u grupu metoda instrumentalnih promenljivih.
Ocene dobije metodom 3SNK i MVPI imaju istu asimptotsku
distribuciju (ako je distribucija grešaka normalna), pa se
koristi jednostavniji metod 3SNK.
Osetljiviji je na greške specifikacije od drugih metoda.
Potreban je veliki skup podataka, pri čemu je i rešavanje
nelinearnih jednačina po parametrima vrlo komplikovano,
ovaj metod se ne koristi često.
Izbor metoda ocenjivanja

-
Interes istraživača može biti:
ocena ispravnosti nekih teorijskih koncepata
(ocena parametara strukturne forme)
-
ocene numeričkih parametara radi donošenja
odluka (koeficijenti redukovane forme)
-
uslovno predviđanje vrednosti endogenih
promenljivih uz date pretpostavke o egzogenim
(preko finalne forme modela).
Izbor metoda ocenjivanja (nastavak)



Parametri strukturne forme se mogu konzistentno
oceniti raznim ekonometrijskim tehnikama, kao i da se
iz podataka uzorka za te ocene mogu izračunati ocene
asim. varijanse.
Koeficijenti redukovane forme se mogu oceniti
metodom ONK, koja daje nepristrasne i konzistentne
ocene.
Kod predviđanja vrednosti endogenih promeljivih
(jedinstvene predviđene vrednosti) dobijaju se
jednostavnom zamenom datih vrednosti predeterm.
promenljivih u jednačinu finalne forme.
Izbor metoda ocenjivanja (nastavak)



U slučaju upotrebe modela kod kojih se javlja
nelinearnost promenljivih preporučuje se ocenjivanje
metodom sa ograničenom informacijom (2SNK).
Prognoziranje i računanje multiplikatora u nelinearnim
modelima je otežano.
Sa dovoljnim brojem opservacija i ako su sve jednačine
sistema identifikovane, svi parametri se mogu
jedinstveno oceniti bilo kojim od razmatranih metoda.
Metod 2SNK je najčešće u upotrebi, osim u slučaju
kada su jednačine međusobno zavisne, kada je
potrebno koristiti metode sa potpunom informacijom.
Poređenje ocena dobijenih različitim metodama
ocenjivanja – rezultati Monte Carlo simulacija




Najveću pristrasnost pokazuju ocene ONK, a ovaj metod i
prenaglašava pouzdanost parametara. Međutim, u
slučajevima visoke multikolinearnosti i grešaka merenja,
inferiornost metoda ONK se ublažava.
U klasi konzistentnih ocena, ocene 2SNK superiorne, posebno
sa stanovišta jednostavnosti. Pri tome, metod 2SNK vrlo
visoko rangiran u slučajevima pogrešne specifikacije.
U dobijanju koeficijenata redukovane forme koristi se metod
NK (bez ograničenja ili izvođenjem iz ocena strukturnih
param., odnosno sa ograničenjem) .
Važno: Mnogo su veće varijacije ocena usled greški merenja,
nego primenom različitih metoda – primarna je tačna
specifikacija modela i poboljšanje kvaliteta podataka!