Transcript Prezentacija 4

Metodologija- Ekonometrija 1D
Doktorske studije
Predavač: Aleksandra Nojković
Beograd, školska 2014/15
Struktura predavanja

Veštačke promenljive u KLRM

Sistemi simultanih jednačina
Veštačke promenljive


Koriste se da opišu uticaj kvantitativno
nemerljivih faktora na kretanje izabrane
zavisne promenljive
 U podacima preseka: potrošnja može
zavisiti od starosnih, polnih, regionalnih,
verskih i drugih razlika.
 U podacima vremenskih serija: efekti
intervencija i strukturnog loma.
Definišu se tako da uzimaju vrednost 1 za
jedan modalitet i 0 za drugi modalitet.
Veštačke promenljive (primeri primene)


Najčešće obuhvataju uticaje neekonomske
prirode: kvalitataivne faktore (pol, bračno stanje,
zanimanje, pripadnost određenoj rasi, religijske i
kulturne razlike) ili privremene efekte (promene u
institucionalnom i političkom okruženju, ratni i
mirnodopski periodi, sezonski efekti, asimetrični
efekti).
Međutim, mogu obuhvatati i šire grupe kvantitativnih
efekata (dohodak ili godine starosti, kada je dovoljno
odabrati nekoliko karakterističnih, širih grupa: npr.
potrošači do i preko 35 godina ili oni sa dohotkom do
20000 din, između 20000-40000 din. i preko 40000
din.).
Promena nivoa osnovne inflacije u
Srbiji nakon uvođenja PDV
16
osnovna inflacija
14
12
10
8
6
4
0
1
2
3
4
5
6
stopa rasta nepljoprivrednog BDP
7
8
Načini uvođenje u model
Ispitujemo zavisnost potrošnje datog
proizvoda (Y) od dohotka (X1) prema
uzorku koji se sastoji od gradskih i
seoskih domaćinstava):

Yi = β0 + β1X1i + εi, i =1, 2, ..., n
Razlika se može ispoljiti u promeni:
1.
2.
3.
vrednosti odsečka – slobodnog člana (β0)
vrednost nagiba – marginalne sklonosti ka potrošnji
(β1) i
vrednost odsečka i nagiba (β0 i β1).
Promena vrednosti odsečka (β0)

Model koji obuhvata regionalne razlike u nivou
potrošnje uključuje veštačku promenljivu V,
definisanu kao:
0 ,
V  
1 ,

za seoska dom .
za gradska
dom .
Polazni model postaje:
Yi = β0 + β1X1i + β2V + εi , i =1, 2, ..., n
Odnosno model postaje:
- za V = 0 (seoska dom.): Yi=β0+β1X1i+ εi.
- za V = 1 (gradska dom.): Yi = (β0 +β2)+ β1X1i+εi .

Grafički prikaz promene vrednosti
odsečka (β0)
Promena vrednosti nagiba (β1)

Ako pretpostavimo da postoji značajna razlika u
marginalnoj slonosti ka potrošnji gradskih i seoskih
domaćinstava, veštačka promenljiva se uvodi kao:
Yi = β0 + β1X1i + β3VX1i + εi,, i =1, 2, ..., n

Ovom relacijom obuhvaćena su dva modela:
- za V = 0 (seoska dom.):
Yi=β0+β1X1i+ εi.
- za V = 1 (gradska dom.):
Yi=β0+(β1+β3)X1i+εi.
Grafički prikaz promene vrednosti
nagiba (β1)
Promena vrednosti odsečka i nagiba
(β0 i β1)

Polaznu funkciju proširujemo sa dve
promenljive V i VXi i model postaje:
Yi = β0 + β1X1i+ β2V + β3VX1i + εi .

Jednačinu je moguće raščlaniti na dve funkcije:
Yi = β0 + β1X1i + εi , za seoska domać.
Yi = (β0+β2) + (β1+β3)X1i+ εi , za gradska domać.
Grafički prikaz promene vrednosti
odsečka (β0) i nagiba (β1)
Interakcija različitih faktora


Za istarživanje interakcije različitih faktora formiraju se
nove veštačke promenljive kao proizvodi već definisanih
veštačkih promenljivih.
Ako pretpostavimo da se ocenjuje uticaj pola i dve
kategorije domaćinstava (gradska i seoska) na potrošnju
nekog proizvoda, onda model postaje:
Yi = β0 + β1X1i + β2V1 + β3V2 + β4V3 + εi ,
gde su veštačke promenljive definisane kao:
0 ,
V1  
1 ,
za seoska dom .
za gradska
dom .
i
dok je interakcija V3=V1V2=
0 ,
V2  
1 ,
1 ,

0 ,
za muškarce
za žene
za žene u gradskim
dom .
za ostale kategorije
s tan .
Pravila ocenjivanja modela sa
veštačkim promenljivima



Dodeljivanje vrednosti 0 i 1 za pojedine
modalitete potpuno je proizvoljno i ne
menja konačne zaključke.
Broj veštačkih promenljivih uvedenih u
model uvek je za jedan MANJI od broja
modeliteta (izbegavamo “ zamku veštačke
promenljive “).
Identični rezultati dobijaju se ocenjivanjem
dve odvojene regresije, kada raspolažemo
dovoljnim brojem podataka.
Testiranje sezonskih efekata


Izražena sezonska priroda pojedinih ekonomskih
promenljivih modelira se uvođenjem sezonskih
veštačkih promenljivih.
Na primer, potrošnja sladoleda pre capita (Y) zavisi od
realnog dohotka (X1), relativne cene (X2) i godišnjeg
doba, što predstavljamo modelom:
Yi = β0 + β1X1 + β2X2 + β3S1 + β4S2 + β5S3 + εi ,
gde smo sa S1, S2 i S3 označili sezonske veštačke
promenljive definisane kao:
 1 , za opservacij e i  tog k var tala i  1, 2 ili 3 
Si  
u osta lim k var ta lim a
0 ,

Dovoljne su TRI veštačke promenljive za obuhvatanje
ČETIRI modaliteta !
Sezonski karakter vremenskih
serija srpske privrede
Mesečni podaci
Kvartalni podaci
Indeks industrijske proizvodnje
BDP privrede Srbije u milionima dinara (stalne cene iz 2005)
5.0
520,000
4.8
480,000
4.6
440,000
4.4
400,000
4.2
360,000
320,000
4.0
280,000
3.8
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Sta kada je zavisna
promenljiva veštačka?
Mikroekonometrijski modeli
kvalitativene (diskretne) zavisne
promenljive: LMV, probit i logit (deo
šire klase modela u kojima je zavisna
promenljiva specifična).
Modeli diskretnog izbora



Modeli diskretnog izbora su modeli u kojima zavisna
promenljiva uzima dva ili više modlaiteta, a još ih nazivamo
i modelima kvalitativnog odgovora/ishoda.
Modeli ove grupe mogu biti modeli binarnog i modeli
višestrukog izbora (engl. binominal and multinomial
models), u zavisnosti da li izbor vrši između dve ili više
mogućih alternativa.
Modeli višestrukog izbora se dalje dele na modele
nepoređanog i modele poređanog izbora, kao i modele
prebrojivih podataka/događaja (zavisna promenljiva uzima
cele, nenegativne vrednosti).
Literatura

Preporučena udžbenička literatura iz ove
oblasti: Maddala (1986), Amemiya
(1985), Wooldridge (2010) and Greene
(2011)
Osnovni modeli binarnog izbora

LMV: Pr ( Y=1| X1, X2, …, Xk) = β0 + β1X1 + β2X2 +…+ βkXk.

Probit Model: Pr ( Y=1| X) = Φ(β0 + β1X1 + β2X2 +…+ βkXk).

Logit Model: Pr ( Y=1| X) = Λ(β0 + β1X1 + β2X2 +…+ βkXk) =

1
1 e
 (  0   1 x1  ...   k x k )
.
Novi pristup modeliranju binarnog izbora
(probit i logit modeli)

Potrebno je obezbediti da se ocenjena verovatnoća nađe unutar
intervala 0-1 (prikazano isprekidanom linijom).
Nelinearni modeli binarnog izbora


Odgovarajuće funkcije raspodele koje se najčešće
koriste su: normalna funkcija raspodele (engl.
cumulative normal function) i logistička
funkcija raspodele (engl. logistic function).
Pored toga što ovi modeli obezbeđuju da se
predviđene verovatnoće nađu u intervalu 0-1,
uticaj jedinične promene objašnjavajuće
promenljive na verovatnoću pozitivnog ishoda
nije linearan, već zavisi od stepena strmosti
funkcije raspodele za date vrednosti x
(verovatnoća se približava nuli, kao i jedinici po
sve sporijoj stopi).
Ocenjivanje i zaključivanje u modelima
binarnog izbora





Sa izuzetkom LMV, modeli binarnog izbora se ocenjuju
metodom maksimalne verodostojnosti (MV).
Ocene MV su konzistentne i poseduju asimptotski
normalnu raspodelu.
Za testiranje ograničenja na pojedinačne parametre modela
koriste se kritične vrednosti standardizovane normalne
raspodele (z).
Ocenjeni parametri nelinearnih modela ne predstavljaju
marginalne efekte, dok znak koeficijenta zaista odgovara
smeru promene verovatnoće.
Specifični pokazatelji kvaliteta ovih modela.
SSJ: Struktura predavanja

Uvod: osnovne definicije SSJ

Posledice ignorisanja simultanosti

Problem identifikacije

Ocenjivanje sisitema simultanih
jednačina
Sistemi simultanih jednačina (SSJ)



Do sada analizirani ekonometrijski modeli
razmatrali su problem jedne zavisne promenljive
(Y) za date vrednosti objašnjavajućih promenljivih
(X1, X2...), definisan u okviru jedne jednačine.
Međutim, ekonomske promenljive su veoma često
međuzavisne. Usled uzajamnog dejstva nije
moguće fiksirati jednu promenljivu i posmatrati
njen efekat na drugu (npr. cene utiču na tražnju,
ali tražnja zajedno sa ponudom utiče na
formiranje cena).
Kako bi smo razmatrali ovakve slučajeve,
neophodno je posmatrati više jednačina u isto
vreme.
Primer: Model ponude i tražnje za određenim
proizvodom

Sistem:
Q t   0   1 Pt   t
P
 ponuda
Q t   0   1 Pt   2 Y t   t
T
'
Qt  Qt
P
T
 tražnja
 uslov ravnoteže
gde je Qt količina koja se nudi, odnosno traži, Pt je cena datog
proizvoda, a Yt raspoloživi dohodak.


Ove tri jednačine, za dati dohodak, određuju ponuđenu i traženu
količinu i cenu proizvoda, kad je tržište u ravnoteži. Ove
promenljive određene unutar sistema nazivamo endogenim
promenljivima.
Promenljiva dohodak je određena van posmatranog sistema i naziva
se egzogena promeljiva.
Strukturna forma sistema




Razmatrani model ponude i tražnje sastoji se od jednačina
koje imaju jasnu ekonomsku interpretaciju.
Ove jednačine se nazivaju strukturne jednačine (jednačine
strukturne forme).
Strukurnim jednačinama se endogene promenljive
izražavaju kao funkcija drugih endogenih promenljivih,
predeterminisanih promenljivih (egzogene i endogene
promenljive s docnjom) i grešaka.
Strukturni parametri u svakoj jednačini mere direktne
efekte objašnjavajućih promenljivih na zavisnu.
Posledice ignorisanja simultatnosti



U strukturnoj formi narušena je pretpostavka
KLRM da objašnjavajuće promenljive uzimaju
fiksirane vrednosti (pokazati da postoji zavisnost
greške jednačine i eksplanatorne promenljive).
Primenom metoda ONK dobijaju se pristrasne
ocene parametara strukturne forma.
Pristrasnost neće nestati povećavanjem obima
uzorka – ocene ONK su nekonzistentne.
Redukovana forma sistema


Kada je broj jednačina jednak broju endogenih promenljivih
(kompletan sistem), moguće ga je rešiti po egzogenim
(predeterminisanim) promenljivima.
Redukovana forma:
Pt  
Qt 
0  0
 1  1

2
 1  1
'
 1  1
 1 0   0  1

t  t
Yt 
 1 2
 1  1
 1  1
 1 t   1 t
'
Yt 
 1  1
,
gde je Qt ujedno tražena i ponuđena količina.

Koeficijenti redukovane forme mere ukupne efekte
(direktne i indirektne) promena predeterminisanih prom. na
endogene promenljive.
Ocenjivanje jednačina redukovane
forme



Pri uobičajenim pretpostavkama, koeficijenti
redukovane forme se mogu konzistentno
oceniti metodom ONK.
Konzistentni metodi ocenjivanja strukturnih
jednačina razvijeni su upravo na relaciji koja
postoji između redukovane i strukturne forme
modela (ocene se dobijanu indirektno).
Na ovaj način nekada dobijamo jednoznačne, a
nekad višeznačne ocene parametara u zavisnosti
od identifikovanosti ocenjivanih jednačina.
Uslovi identifikovanosti


1)
2)
3)


Uslov reda (potreban uslov): Broj apriornih
ograničenja (R) ne sme biti manji od broj endogenih
promenljivih u sistemu (broj jednačina) umanjenih
za jedan (L-1)
Razlikujemo tri situacije:
R < L-1 – jednčina je nedovoljno identifikovana
R=L-1 - jednačina je tačno identifikovana.
R > L-1 – jednčina je prekomerno identifikovana.
Alternativno, potreban uslov (uslov reda)
identifikovanosti jeste da broj egzogenih
(predeterminisanih) promenljivih u sistemu ne bude
manji od broja parametara u jednačini.
Uslov ranga: potreban i dovoljan uslov
identifikovanosti.
Metod indirektnih najmanjih kvadrata
(INK)




Jednoznačne ocene parametara strukturne forme
mogu se dobiti iz ocenjenih koeficijenata
redukovane forme ako je jednačina tačno
identifikovana.
Dodatno, mora biti ispunjen i uslov ranga, kao i
pretposlavke o stohastičnosti KLRM u redukovanoj
formi modela.
Metod se još naziva i metod redukovane forme.
Ocene su pristrasne, ali konzistentne
(pristrasnost iščezava sa rastom uzorka).
Metod INK (nastavak)

Metod INK je prevaziđen u praktičnim
istraživanjima iz dva razloga:
1) Većina simultanih jednačina je prekomerno
identifikovana.
2) Za sisteme sa većim brojem jednačina ponekad
je vrlo zahtevno rešiti i oceniti jednačine
redukovane forme.

Alternativu predstavlja metod dvostepenih
najmanjih kvadrata; 2SNK (za tačno
identifikovane jednačine ocene INK i 2SNK su
jednake).
Metod dvostepenih najmanjih kvadrata
(2SNK)




Najvažnji metod ocenjivanja u grupi metoda
ocenjivanja pojedinačnih jednalina.
Primenjuje se i na tačno i na prekomerno
identifikovane jednačine.
Metod 2SNK daje pristrasne, ali konzistentne
ocene.
Endogene promenljive koje su regresori u
strukturnim jednačinama, zamenjuju se
linearnim funkcijama svih predeterminisanih
promenljivih.
Ocenjivanje u dva stepena


U prvom stepenu ocenjivanja primenjuje se metod
ONK na redukovanu formu, da se dobije ocenjena
vrednost
za endogenu objašnjavajuću promenljivu Pt

( P t ).
U drugom stepenu ocenjivanja, po drugi put se
primenjuje
metod
ONK
u
regresiji
zavisne
promenljive Qt na predeterminisane i ocenjene
endogene
promenljive (ocenjenu vrednost Pt iz
redukovane forme):

Q
P
t
Q
T
t
  0  1 P t  t
 ponuda

  0  1 P t   2 Yt   t
'
 tražnja
Metod 2SNK (nastavak)



Endogene promenljive, korelisane sa greškama
jednačine, zamenjuju se svojim ocenama iz
redukovane forme (predeterminisane prom. u limesu
verovatnoće nisu korelisane sa greškama jednačine).
Reč je metodu instrumentalnih promeljivih, u
kome se kao instrumenti za endogene prome. koriste
njihove ocene iz redukovane forme.
Ocene iz redukovane forme su najbolji instrumenti
(u slučaju ispravne specifikacije modela): visoko
korelisani sa orig. vednostima endogenih promenljivih i
nekorelisae sa greškom jednačine).
Metod instrumentalnih promenljivih


Metod 2SNK se može predstaviti kao primena metoda
instrumentalnih promenljivih na strukturne jednačine.
Matrica instrumenata sadrži ocenjene vrednosti endogenih
promenljivih iz prvog stepena ocenjivanja, a predeterminisane
promenljive koje se javljaju u jednačini su sopstveni
instrumenti:


Z  Pt



Yt .


Jednostavno se pokazuje jednakost ocena ONK u drugom
stepenu ocenjivanja i ocena dobijenih metodom inst.

promenljivih:
1
'
'

 IV  Z X

Z y,
gde je X –vektor originalnih objašnjavajućih promenljivih iz
strukturne forme (npr. u jednačini tražnje X = (Pt Yt), dok je y –
zavisna promenljiva (Qt).
Metod IP (nastavak)


U klasi instrumentalnih promenljivih koje su
linearne funkcije predeterminisanih varijabli,
varijable Z su najbolji instrumenti, odnosno imaju
najmanje varijanse.
Preko konzistentnosti ocena dobijenih metodom
2SNK, dokazuje se da i metod instrumentalnih
promenljivih daje konzistentene ocene.