Transcript Simultane jednacine

EKONOMETRIJA
Oblasti:
Modeli panela
Modeli simultanih jednačina
Predavač: Radmila Dragutinović Mitrović
Modeli simultanih jednačina
• Pojam simultanosti
• Pristrasnost ONK metoda u prisustvu simultanih
uticaja
• Strukturne jednačine, redukovana forma
• Problem identifikacije
• Metodi ocenjivanja
Literatura
• Greene, W.H. (2007), Econometric Analysis (6th
International Edition), Prentice Hall
• Gujarati, D. (2009), Basic Econometrics (5th edition),
McGraw Hill Higher Education
• Jovičić, M. (2002), Ekonometrijski metodi, Ekonomski
fakultet, Beograd.
• Mladenović, Z. i P. Petrović (2007), Uvod u ekonometriju,
Ekonomski fakultet, Beograd.
Narušenost pretpostavki linearnog regresionog modela
• Heteroskedastičnost i autokorelacija
– Ocene regresionih parametara po ONK metodu i dalje nepristrasne,
ali ne i efikasne.
• Korelisanost regresora sa slučajnom greškom (endogenost
regresora)
– Ocene regresionih parametara po ONK metodu pristrasne.
• Uzroci endogenosti:
– Greške u merenju regresora
– Izostavljeni relevantni regresori
– Prisustvo zavisne promenljive sa docnjom u prisustvu
autokorelacije
– Simultanost
• Model simultanih jednačina (MSJ)
– Skup ekonomskih relacija u kojima između pojedinih
promenljivih postoji simultana veza.
• Zaključivanje o simultanosti na osnovu :
– ekonomske intuicije i teorijskih modela
– statističkih kriterijuma.
• Koraci u analizi MSJ:
1) Specifikacija; 2) identifikacija; 3) ocenjivanje
regresionih parametara; 4) vrednovanje ocena
parametara; 5) simuliranje efekata ekonomske politike
1) Specifikacija MSJ
- Definisanje funkcionalne forme
- Izbor skupa promenljivih modela:
podela promenljivih na egzogene i endogene
- Strukturna jednačina (strukturna forma) - polazna
specifikacija: zavisna (endogena) promenljiva funkcija
egzogenih i drugih endogenih promenljivih.
- Predeterminisane promenljive- egzogene i endogene sa
docnjom.
- Strukturni parametri mere direktne efekte regresora na zavisnu
promenljivu
Simultanost
•
•
•
•
Veliki broj ekonomskih modela karakterišu simultane
međuzavisnosti - obostrani uticaj
Primer- strukturna forma (kejnzijanski model):
P = 0 + 1 D + 
D=P+I
1 – marginalna sklonost potrošnji
P, D - endogene, I - egzogena

P
D
I
Redukovana forma
• Rešavanje MSJ po endogenim promenljivim – uslov: broj
jednačina jednak broju endogenih promenljivih (kompletan sistem)
• Sistem strukturnih jednačina svodi se na redukovanu formu
• Redukovana forma- svaka jednačina ima samo jednu endogenu
promenljivu, kao funkciju predeterminisanih i egzogenih
promenljivih
– Parametri redukovane forme mere ukupne efekte predeterminisanih na
endogenu promenljivu
– Ukupni efekti = direktni (izraženi strukturnim parametrima) + indirektni
efekti (uzimaju u obzir sve simultane međuzavisnosti u sistemu)
– Značaj parametara redukovane forme: analiza mera ekonomske politike
P  0  1D  
Strukturna forma
D  PI
P  0  1 ( P  I )  
(1  1 ) P  0  1I  
P
0
1
1

I

(1  1 ) (1  1 )
(1  1 )
P  11  12 I  v
Redukovana forma
• Slično, redukovana forma na osnovu strukturne jednačine dohotka glasi:
D
0
1
1

I
   21   22 I  v
(1  1 ) (1  1 )
(1  1 )
Problem ocenjivanja MSJ metodom ONK
• ONK ocene strukturne forme pristrasne i nekonzistentne –
regresor D je endogen (korelisan sa slučajnom greškom e)
1. Svaka promena slučajne greške vodi promeni P u jednačini
potrošnje
2. Promena u potrošnji izaziva promenu u dohotku D (preko
identiteta)
3. Promena u dohotku povratno utiče na potrošnju
1.
P  0  1D  
3.
D  PI
2.
• Svaki put kada dodje do promene u e , dolazi do
simultanih promena u D
↓
• Ocenjeni efekti D na P uključuju i efekte e na P
↓
• ONK metod precenjuje marginalnu sklonost
potrošnji
Pristrasnost usled simultanosti
• Dohodak (D) - slučajna promenljiva jer zavisi od slučajne
greške (), tj. kovarijansa između D i  različita od nule:
E[  E ( )][D  E ( D)] 


0
0
1
1
1
 E  [(

I
)(

I )]
(1  1 )
(1  1 ) (1  1 ) 
 (1  1 ) (1  1 )
2
2
 E[
]
0
(1  1 ) (1  1 )
• Iz prethodnog sledi da su ocene po metodu ONK pristrasne:
E (ˆ1O NK )  1
ˆ
( D  D )(P  P )  p d



 (D  D )
d
ˆ
(


1 ONK
1 ONK
2
0
 1 D   )d
d
2
d
)
1OLS )  1  E ( 
2
d
E ( ˆ
2
 1
d


d
2
Identifikacija
• Problem izolovanog ocenjivanja efekata D na P
• Identifikacija – jednačina ima jedinstvenu statističku formu
(ne može se dobiti transformacijom ili kombinacijom ostalih
jednačina)
• Jedinstvene ocene: broj egzogenih promenljivih = broju
parametara.
• Analiza ograničenja na parametre strukturne forme
• Od stepena identifikovanosti zavisi izbor metoda
ocenjivanja - prethodi fazi ocenjivanja
• Ako je jednačina neidentifikovana, ne mogu se dobiti
konzistentne ocene strukturnih parametara
Identifikacija
• Dva koraka identifikacije:
–
Da li su jednačine MSJ identifikovane?
–
Ako jesu, da li su tačno ili prekomerno identifikovane?
•Sa aspekta dobijanja strukturnih parametara na osnovu redukovane
forme, razlikujemo:
1. Neidentifikovanu jednačinu – parametri se ne mogu oceniti
2. Identifikovanu jednačinu:
2.1 tačno identifikovanu jednačinu – jedinstvena rešenja
2.2 prekomerno identifikovanu jednačinu – više rešenja (za
dobijanje strukturnog parametra na osnovu redukovane forme
možemo koristitidva ili više izraza, koji ne moraju dati isti
rezultat.
Formalni uslovi za identifikaciju jednačine
•
Potreban uslov: Broj egzogenih promenljivih u MSJ ne sme
biti manji od broja regresionih parametara.
•
Potreban uslov ekvivalentan uslovu reda: broj apriornih
ograničenja (predeterminisanih promenljivih isključenih iz
jedne jednačine) ne sme biti manji od broja endogenih
promenljivih MSJ (R ≥ L-1)
•
•
R > L-1 prekomerna identifikovanost
•
R = L-1 tačna identifikovanost
Dovoljan uslov (uslov ranga): svaka jednačina MSJ mora da
sadrži jedinstvenu statističku formu (ne može se dobiti
transformacijom bilo koje druge jednačine):
- od koeficijenata varijabli isključenih iz jednačine može se
formirati matrica reda L-1
Metodi ocenjivanja pojedinačnih jednačina MSJ
1. Metod indirektnih najmanjih kvadrata (INK)
• INK= primena ONK na redukovanu formu
P  11  12 I  v
D   21   22 I  v
• Na desnoj strani jednakosti nema endogenih regresora- ocene
redukovane forme nepristrasne, efikasne, konzistentne.
• Uslovi za primenu metoda INK:
– tačna identifikovanost MSJ
– ispunjene klasične pretpostavke za primenu ONK na redukovanu
formu.
• Na osnovu dobijenih ocena redukovane forme mogu se izvesti ocene
strukturne forme
 11 
 22
1
(1   2 )
1
 (1   21 ) 
(1   2 )
ˆ
1, INK
ˆ11

ˆ 22
•Indirektno dobijene ocene parametara strukturne forme (na osnovu
redukovane forme) su pristrasne, ali konzistentne.
• Metod INK može dati jednu, više ili ni jednu ocenu strukturnog
parametra u zavisnosti od stepena identifikovanosti MSJ.
• U praksi, metod INK se ređe koristi jer je relacija između redukovane i
strukturne forme najčešće veoma komplikovana (nekoliko različitih
strukturnih formi mogu imati istu redukovanu formu).
2. Metod dvostepenih najmanjih kvadrata (2SNK)
• Najčešće korišćen metod ocenjivanja pojedinačnih jednačina
sistema
• Dve etape (stepena) ocenjivanja:
1. Ocenjuje se redukovana forma primenom ONK metoda.
2. Ocenjuje se strukturna forma u kojoj su stvarne vrednosti
endogenog regresora zamenjene ocenjenim vrednostima
dobijenim iz 1. etape
• Asimtotski normalna raspodela ocena
• Metod poznat i pod nazivom metod instrumentalnih varijabli (IV)
• Koje promenljive su validni instrumenti?
– Problem izbora ekonomskih IV
– Ocene po metodu 2SNK pristrasne, ali konzistentne.
Metodi ocenjivanja celog sistema simultanih
jednačina
• 3SNK – primenjuje se na svih L jednačina
sistema istovremeno
• Koristi više informacija od 2SNK, efikasniji
• Restriktivne pretpostavke:
– Poznavanje kompletne specifikacije MSJ
– Greške jednačina neautokorelisane, tekuće greške
različitih jednačina zavisne
– Sistem identifikovan.
Metodi ocenjivanja celog sistema simultanih
jednačina
• 3SNK – primenjuje se na svih L jednačina sistema istovremeno
• Restriktivne pretpostavke:
– Poznavanje kompletne specifikacije MSJ
– Greške jednačina neautokorelisane, tekuće greške različitih
jednačina zavisne
– Sistem identifikovan.
•
•
•
•
Tri etape u primeni metoda 3SNK:
1. Ocenjivanje redukovane forme
2. Ocenjivanje strukturne forme zamenom stvarnih vrednosti
ednogenih regresora ocenjenim iz redukovane forme
(2SNK)
3. Ocene varijansi i kovarijansi iz koraka 2. koriste se za
transformaciju originalnih promenljivih (primena metoda
UNK na ceo sistem).
Ocene 3SNK i 2SNK identične ako su sve jednačine tačno
identifikovane.
Koristi više informacija od 2SNK (efikasniji)
U praksi, 2SNK zbog jednostavnosti i ne tako rigoroznih
pretrpostavki