Transcript Prezentacija - Ekonometrija

Ekonometrija 1D
Ekonometrija, Doktorske studije
Predavač: Aleksandra Nojković
Beograd, školska 2014/15
Napomena: U izradi prezentacija korišćena je literatura predviđena
IP predmeta i materijali prof. Zorice Mladenović.
Struktura predavanja
• Klasični višestruki linearni regresioni model
- metod ONK
- matrična notacija
- pretpostavke višestrukog KLRM
• Pokazatelji kvaliteta ocenjenog modela. Korelacija u
višestrukom KLRM. Običan i korigovani R2
• Testovi linearnih ograničenja na parametre
• Testiranje stabilnosti parametara
Dvostruki linearni regresioni model





Ako pretpostavimo model sa dve objašnjavajuće
promenljive: Y=β0+β1X1+β2X2+ε
Populaciona regresiona jednačina (za E(ε)=0) je:
E(Y)=β0+β1X1+β2X2
Parametri β0, β1 i β2 su populacioni parametri ili
regresioni koeficijenti.
Populaciona reg. jednačina ne opisuje pravu, nego
ravan.
Parametar β0 je odsečak (presek ravni sa y-osom), a
parametri β1 i β2 su parcijalni koeficijenti nagiba.
Dvostruki linearni regresioni model
(nastavak)

Uključivanjem konkretnih podataka model postaje:
Yi  0  1X1i  2X2i  i ,

za i  1,2,...,n.
Uzoračka regresiona funkcija je:

Yi  b0  b1X1i  b 2 X 2i ,
gde su b0, b1 i b2 ocene parametara.

Ocene nepoznatih parametara primenom metoda
ONK, koji se sastoji u minimiziranju sume kvadrata
reziduala.
Dvostruki linearni regresioni model
(nastavak)

Uključivanjem konkretnih podataka model postaje:
Yi  0  1X1i  2X2i  i ,

za i  1,2,...,n.
Uzoračka regresiona funkcija je:

Yi  b0  b1X1i  b 2 X 2i ,
gde su b0, b1 i b2 ocene parametara.

Ocene nepoznatih parametara primenom metoda
ONK, koji se sastoji u minimiziranju sume kvadrata
reziduala.
Ocene metodom ONK

Eksplicitni izrazi_ za ocene
metodom ONK:
_
_
b0  Y b1 X1  b 2 X 2 ,


x1i yi i 1 x  i 1 x1i x 2i i 1 x 2i yi
n
b1
n
i 1
2
2
x
x
11 1i 11 2i 
n


n
b2


2
2i
n
n

n
i 1

2
x1i x 2i
x 2i yi i 1 x  i 1 x1i x 2i i 1 x1i yi
n
i 1
n
2
1i
2
2
x
x
11 1i 11 2i 
n
n
n
,
n

n
i 1

2
x1i x 2i
.
Pokazati...
Važe relacije:
n
n
n
i1 ei  0; n i1 X1iei  0; i1 X 2iei  0.
Pretpostavke KLRM (višestrukog)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
E(εi)=0, za svako i.
Var (εi)=E(εi2)=σ2, za svako i.
Cov(εi,εj)=E(εiεj)=0, za svako i,j, tako da i≠j.
E(εiXi)=0, za svako i.
εi ~ N(0, σ2).
Ne postoji tačna linearna zavisnost izmedu
objašnjavajućih promenljivih ( rxy≠1, tj. jedna
objašnjavajuća promenljiva nije linearna
funkcija druge).
Klasicni višestruki linearni
regresioni model

Analiticki oblik višestrukog linearnog regresionog
modela:
Yi  0  1X1i  2X2i  ... k 1Xk 1i  i ,

za i  1,2,...,n.
Parametri β1, β2,..., βk-1 su parcijalni koeficijenti
nagiba.
Npr: ako se X1i poveća za jednu jedinicu, očekivana
promena Yi je β1 jedinica, pod pretpostavkom da se ne
menja uticaj ostalih objašnjavajućih promenljivih X2,X3,...,Xk-1.
Višestruki linearni regresioni model
(matrična notacija)

U matričnoj notaciji (k=3):
y=XB + e,
gde je: y (nx1) vektor kolona; X (nxk) matrica; B
(kx1) vektor kolona; e (nx1) vektor kolona.

Matrica X: svaki red predstavlja vrednost svih
eksplanatornih prom. koje odgovaraju jednoj
opservaciji, a svaka kolona predstavlja sve
vrednosti jedne eksplanatorne prom. u uzorku.
Pretpostavke višestrukog KLRM
1)
E(e)=0, podrazumeva da je očekivana vrednost svake
od komponenti slučajne greške jednaka nuli, tj.
E(εi)=0, za i=1,2,..., n.
2)
E(ee’)=σ2In, gde je In jedinična matrica dimenzija
(nxn). U pitanju je simetrična kovarijaciona matrica:
 
 E 12
E1 2   E1 n   2

 
2
E   E  2
 E 2  n   0
Eee'   1 2

 

  


2 
E1 n  E 2  n   E  n   0
 
 
0
2

0
0

 0
 2In .

2
  

Pretpostavke višestrukog KLRM
(nastavak)
Prema pretpostavci 2) sve komponente slučajne greške
modela poseduju istu varijansu (σ2), dok je kovarijansa
Između svake dve slučajne komponente jednaka nuli,
E(εiεj)=0, za i≠j.
- Ovim su definisane homoskedastične i
neautokorelisane greške (sferične greške).
3) e: N(0, σ2In), vektor slučajnih greški poseduje
višedimenzionu normalnu raspodelu sa vektorom srednje
vrednosti nula (prva pretpostavka) i kovarijacionom
matricom σ2In (druga pretpostavka).
- Kako su komponente u slučajnom vektoru nekorelisane i
svaka od njih normalno raspodeljena, sledi da je i Y slučajna
prom. sa višedimenzionom N raspodelom (veza Y i e je linearna).
Pretpostavke višestrukog KLRM
(nastavak)
4) Elementi matrice X su nestohastički sa fiksim
vrednostima u ponovljenim uzorcima.
- Objašnjavajuće promenljive sadžane u matrici X nisu
slučajne promenljive.
5) Matrica X, dimenzija (n x k), k<n, je ranga k.
- Isključuje se mogućnost da postoji tačna linearna
kombinacija između objašnjavajućih promenljivih.
- U tom slučaju bi se proizvoljna od k kolona mogla
izraziti kao tačna linearna kombinacija preostalih kolona,
odnosno rang matrice X bi bio manji od k.
- Tada matrica (X’X) postaje singularna, tako da nije
moguće odrediti njenu inverznu matricu, a time ni
vektor ocena B.
Primena metoda ONK


Primenom metoda ONK dobijaju se najbolje linearne
nepristrasne ocene.
Vektor originalnih vrednosti y se može zapisati kao zbir
objašnjenih i neobjašnjenih vrednosti modelom:
y  Xˆ  e ,

Da bismo dobili ocene parametara β1, β2,..., βk potrebno je
da odredimo minimum rezidualne sume kvadrata:



'
ˆ
ˆ  yý  2 ˆ ' X ' y  ˆ ' X' Xˆ ,
e

e
'
e

y

X

y

X

i1
n
2
i
u odnosu na ocene parametara β1, β2,..., βk.
Primena metoda ONK (nastavak)

Izvođenje ocena....

Vektor ocena je:
 b1 
b 
b   2   ( x' x) 1 ( x' y ).

 
bk 
Određivanje standardnih grešaka
ocena u višestrukom modelu

U višestrukom modelu ocene varijanse σ2 je:
ˆ 2  s 2 

e' e
nk
U višestrukom modelu ocene varijansi
vektora ocena je:

var(b)  sb2  s 2 x' x 
1
Specifičan tip t-testa: t-odnos

Kao i u slucaju jednostavnog modela, i u višestrukoj
regresiji se koristi test-statistika oblika:
test  statistika 


bi  i *
: t (n  k ).
sbi
Pretpostavimo da je hipoteza od interesa:
H0: βi = 0, H1:βi ≠ 0 i=1,2,...,k.
U uslovima validnosti nulte hipoteze test-statistika je:
test  statistika 

bi
: t (n  k ).
sbi
Buduci da je u pitanju kolicnik ocene i odgovarajuce
standardne greške te ocene, ova statistika se naziva todnos. Na ovaj način se proverava značajnost pojedinačnog
uticaja svake od objašnjavajucih promenljivih na zavisnu
promenljivu.
Korelacija u jednostavnom i višestrukom
(dvostrukom) modelu

Za jednostavni model važi:
sx
sx
ˆ
rxy    b .
sy
sy

U višestrukom modelu sa npr. dve objašnjavajuće
promeljive X1 i X2, važi da koeficijent parcijalne
korelacije između Y i X1 (koeficijent prvog reda ili
koef. korelacija po odbitku uticaja X2) odgovara
znaku ocenjenog regresionog koeficijenta b1:
r

Objasniti...
YX 1 X 2

r
YX 1
 r YX
1  r YX
2
2
r
X1X 2
1  rX X
.
2
2
1
2
Koeficijent determinacije dvostrukom
modelu

Ukupne varijacije se i u dvostrukom modelu mogu
zapisati kao:
2
2
n
_


 _
 Yi  Y     Y Y  

i 1 
i 1 




n
ukupne var ijacije

e
2
i
i 1


neobjaš. var ijacije
Koeficijent determinacije R2 deo ukupnih varijacija
zavisne promenljive objašnjen kretanjem svih
nezavisnih promenljivih, odnosno za dve
objapnjavajuće promenljive definiše se kao:
R2 
2
i1 y i
n

n
i 1

objaš. var ijacije
n
Pokazati...
2
i
y
b1 i 1 x1 iy i  b2 i 1 x2 iy i
n

n

n
i 1
2
i
y
.
Korelacija u jednostavnom i višestrukom
(dvostrukom) modelu

Za jednostavni model važi:
sx
sx
ˆ
rxy    b .
sy
sy

U višestrukom modelu sa npr. dve objašnjavajuće
promeljive X1 i X2, važi da koeficijent parcijalne
korelacije između Y i X1 (koeficijent prvog reda ili
koef. korelacija po odbitku uticaja X2) odgovara
znaku ocenjenog regresionog koeficijenta b1:
r

Objasniti...
YX 1 X 2

r
YX 1
 r YX
1  r YX
2
2
r
X1X 2
1  rX X
.
2
2
1
2
Koeficijent determinacije dvostrukom
modelu

Ukupne varijacije se i u dvostrukom modelu mogu
zapisati kao:
2
2
n
_


 _
 Yi  Y     Y Y  

i 1 
i 1 




n
ukupne var ijacije

e
2
i
i 1


neobjaš. var ijacije
Koeficijent determinacije R2 deo ukupnih varijacija
zavisne promenljive objašnjen kretanjem svih
nezavisnih promenljivih, odnosno za dve
objapnjavajuće promenljive definiše se kao:
R2 
2
i1 y i
n

n
i 1

objaš. var ijacije
n
Pokazati...
2
i
y
b1 i 1 x1 iy i  b2 i 1 x2 iy i
n

n

n
i 1
2
i
y
.
Ograničenja u primeni R2 kao pokazatelja
kvaliteta regresije
1.
R2
se uvek povećava sa dodavanjem
objašnjavajućih promenljivih:
Regresija 1: yi = β0 + β1x1i + β2x2i + εi
Regresija 2: yi = b0 + β1x1i + β2x2i + β3x3i + εi
novih
R2 će uvek biti veći u regresiji 2, bez obzira na to kakva je
eksplanatorna snaga nove objašnjavajuće promenljive.
To je sasvim jasno iz sledećeg izraza za R2 preko tri
jednostavna koeficijenta korleacije:
R2 
r
2
YX 1
 rYX  2 rYX
2
2
1 rX X
1
2
1
2
r r
YX 2
X1 X 2
 ry2x1 .
Ograničenja u primeni R2 kao pokazatelja
kvaliteta regresije (nastavak)
-
Odnosno, izraženo preko parcijalnih koeficijenata
korelacije:

R 2  r YX  1  r YX
2
1
2
1
r
2
YX 2 X1
,
2. R2 je krajnje nepouzdan pokazatelj u regresionoj
analizi vremenskih serija kada vrednost, na
primer 0.999, ne mora nužno pokazivati ništa.
Ograničenja u primeni R2 kao pokazatelja
kvaliteta regresije (nastavak)
-
Odnosno, izraženo preko parcijalnih koeficijenata
korelacije:

R 2  r YX  1  r YX
2
1
2
1
r
2
YX 2 X1
,
2. R2 je krajnje nepouzdan pokazatelj u regresionoj
analizi vremenskih serija kada vrednost, na
primer 0.999, ne mora nužno pokazivati ništa.
Korelacija u višestukom KLRM
Uopštenjem za polazni model sa ukupno k parametara
(k-1 parametrom parcijalnih nagiba i sl. članom),
koeficijent determinacije R2 se izračunava kao:




n
R
2
i 1
n
i 1
2
yi
y
2
i
b1 i 1 x1i yi  b 2 i 1 x 2i yi  ...  b k 1 i 1 x k 1i yi
n

n
n

n
i 1
y
2
i
.
Korigovani koeficijent determinacije R2


Koriguje se koeficijent determinacije sa ciljem dobijanja
pokazatelja koji se neće neopravdano povećavati sa
rastom broja objašnjavajućih promenljivih.
Novi pokazatelj: korigovani koeficijent determinacije R 2
R2  1
R 2  1

e
2
i
i
2


Y

Y
i  i 
 ei2 /(n  k )
i
2
_


i  Yi  Y  /(n  1)
 1
n 1
1 R2
nk


Korigovani koeficijent determinacije je uvek manji od
običnog koeficijenta determinacije. Koeficijenti su
jednaki samo za jednostavni model bez slobodnog
člana.
Korigovani koeficijent determinacije R2


Koriguje se koeficijent determinacije sa ciljem dobijanja
pokazatelja koji se neće neopravdano povećavati sa
rastom broja objašnjavajućih promenljivih.
Novi pokazatelj: korigovani koeficijent determinacije R 2
R2  1
R 2  1

e
2
i
i
2


Y

Y
i  i 
 ei2 /(n  k )
i
2
_


i  Yi  Y  /(n  1)
 1
n 1
1 R2
nk


Korigovani koeficijent determinacije je uvek manji od
običnog koeficijenta determinacije. Koeficijenti su
jednaki samo za jednostavni model bez slobodnog
člana.
Kriterijumi za izbor optimalnog skupa
objašnjavajućih promenljivih


Skup promenljivih koji maksimizira vrednost
korigovanog koef. determinacije, u isto vreme
minimizira s2.
Navedeno je posledica relacije:
2
_ 2
y


i
2


s  1  R 
.

 n 1
Kriterijumi za izbor optimalnog skupa
objašnjavajućih promenljivih (nastavak)

Informacioni kriterijum je zbir dve komponente koje
različito reaguju na promenu broja parametara modela (K):
IC(K) = ln(s2) + g(K/n).




Model sa najmanjom vrednošću IC je optimalan uz
uslov da su valjane sve pretpostavke KLRM
AIC – Akaikeov informacioni kriterijum (g=2)
SC – Švarcov informacioni kriterijum (g=ln(n))
HQC – Hana-Kvinov kriterijum (g=2lnln(n)).
Testiranje opštih linearnih
ograničenja na parametre


1)
2)
Ekonomski kriterijumi često zahtevaju da koeficijenti u
ocenjenom modelu zadovoljavaju izvesna ograničenja (npr.
konstantni prinosi u Cobb-Douglasovoj funkciji; odsustvo
iluzije novca (zbir elastičnosti tražnje s obzirom na nominalni
dohodak i cene je jednak nuli i sl.)).
Dva alternativna postupka:
Oceniti f-ju ne vodeći računa o ograničenjima, a
zatim testirati da li ocenjeni koeficijenti zadovoljavaju
zahtevane restrikcije.
Oceniti model sa inkorporiranim ograničenjima, a
zatim testirati značajnost razlike između ocena takvog
modela (pod ograničenjem) i modelom bez
ograničanje.
Testovi linearnih ograničenja na parametre


Pri testiranju jednog ograničenja
(jednostavna nulta hipoteza) koristi
se t-test.
U slučaju testa više ograničenja
(kad je nulta hipoteza složena) Fstatistika.
Prvi postupak testiranja: jedno
ograničenje
Jedno postavljeno ograničenje:
H0: RB=q ; H1: RB≠q,
gde je R’ vektor konstanti specifikovanih da
odgovaraju ograničenju, a q poznata konstanta.


Npr. Hipoteza o konstantnim prinosima
(β1+β2=1) u Cobb-Douglasovoj f-ji Q=β0Kβ1Lβ2
se definiše:
R=[1 1], B’=[β1 β2], q =1.
Prvi postupak testiranja: t-test
Testiranje jednog linearnog ograničenja


Ukoliko je potrebno testirati samo jedno
ograničenje na parametre modela (g=1), kao
alternativa t-testu, može se koristiti F1n-k raspodela.
Posmatramo nultu hipotezu kojom se tvrdi da je
istinito linearno ograničenje oblika:
H0 : r0 0  r11    rk 1k 1  RB  q.

Alternativna hipoteza je:
H1 : r0 0  r11    rk 1k 1  RB  q,
pri čemu su parametri r0, r1, ..., rk-1 poznati.
 Primenom metoda ONK dobijajnu se ocene b0,
b1,..., bk-1 i obrazuje se ocena linearne kombinacije

prema nultoj hipotezi:
r0b0  r1b1    rk 1bk 1  q .
Testiranje jednog linearnog ograničenja
(nastavak)

Standardna greška linearne kombinacije dobija se
kao:



 
s  q   R' s 2 X ' X
 
2


1
R.
Skalarni oblik ove ocene varijanse je:



2 2
2 2
2
2
s  q   r0 sb0  r1 sb1    rk 1sk 1  2r0 r1 covbo , b1     2rk  2 rk 1 covbk  2 , bk 1 .
 
2

Nulta hipoteza se testira na osnovu tn-k raspodele:

tn  k 
q q
.

 
s q 
 
Testiranje g ograničenja

F test statistika za proveru tačnosti H0: RB=q
(test Wald-ovog tipa):

RB  q  RX

'
g
nk
F

'

1
X R
e'e / g
'

1
RB  q) / g .
Nije uvek jednostavno da se izračuna, te se u
praksi koristi (tj. drugi postupak testiranja):
g
nk
F

ee




 e' e / g n  k  R 2  Ro2

.
2
e e / n  k 
g
1 R
'
o o
'
Drugi postupak testiranja: složenija
ograničenja
Za višestruki linearni model: Y=XB+e, može se govoriti
o opštim lineranim ograničenjima.
 Nulta i alternativna hipoteza se definišu na sledeći
način:
H0: RB=q ; H1: RB≠q,
gde je R poznata matrica tipa (g x k) i ranga g (g je
broj ograničenja), a q je vektor poznatih vrednosti
dimenzije g x 1.

Npr. ukoliko u je modelu sa tri objašnjavajuće promenljive
g=2, odnosno testiramo dva ograničenja(β1=β2 i β3=0), tada
su u nultoj hipotezi:
1  1 0
R
;

0 0 1 
B  1
'
2
3  ;
0 
q   .
0 
Drugi postupak testiranja: F-test

Distinkcija između nulte i alternativne hipoteze:
H0: RB=q ; H1: RB≠q,
vrši se pomoću sledeće F statistike:
g
n k
F

ee




 e' e / g n  k  R 2  R o2

,
2
e e / n  k 
g
1 R
'
o o
'
gde se oznaka (O) odnosi na model sa ograničenjem, dok
se za model bez ograničenja ponekad koristi oznaka (B),
g je broj ograničenja.
 Na ovaj način se testira važenje većeg broj ograničenja
(značajnost podskupa parametara modela predstavlja
specijalan slučaj ovog testa).
Ocene dobijene metodom ONK
modela pod ograničenjem




Metod ONK pod ograničenjem dobijaju se
NLNO (bez dokaza)!
E(b*)=β, odnosno ocena je nepristrasna
ukoliko važi nulta hipoteza.
Pri tome:
varb *  varb 
Ocene dobijene metodom ONK modela pod
ograničenjem daje manje varijanse
ocenjenih parametara nego ocena bez
ograničenja.
Primer

Ako je Cobb-Douglasova proizvodna funkcija oblika
Y=β0Kβ1Lβ2 eu, gde je Y proizvodnja, K kapital i L rad,
ocenjena na bazi podataka za SAD za period 1Q19601Q1991 (primer: Asteriou and Hall, 2011):
log Yˆ  4.514  0.383 log K  0.624 log L
(0.008)

T=125
(0.088)
R 2  0.968;
e  e
2
2
B
 0.3315.
Primer (nastavak)
a)
b)
c)
d)
e)
Testirati statističku značajnost pojedinačnog uticaja
rada i kapitala na proizvodnju, na nivou značajnosti
α = 0,05.
Testirati statističku značajnost istovremenog uticaja
objašnjavajućih promenljivih na zavisnu, na nivou
značajnosti α = 0,05.
Testirati hipotezu da rad i kapital ostvaruju jednak
efekat na kretanje proizvodnje.
Testirati hipotezu da rad ostvaruje dvostruko manji
efekat na kretanje proizvodnje u odnosu na kapital.
Testirati hipotezu da su u datoj grani industrije
prinosi konstantni (β1+β2=1). Predložiti
pojednostavljenje funkcije ako se ocenjuje pod datim
ograničenjem.
Primer: CD funkcija (nastavak)

Model bez ograničenja:
logYˆ  4.514  0.383log K  0.624log L
(0.008)

(0.088)
R 2  0.968;
2
2
e

e
  B  0.3315.
Model ocenjen pod ograničenjem (pod e)H0: β1+β2=1):
(log Yˆ  log L)  4.533  0.3834(log K  log L)
R 2  0.9593;  e02  0.331516.
(0.007116)

Rezultat Wald-ovog testa:
t-statistic
F-statistic

0.082798
122
0.006855 (1, 122)
0.9341
0.9341
Testiranje stabilnosti ocena



Implicitna pretpostavka regresione analize
odnosi se na stabilnost parametara
(nepromenjivost za sve opservacije u uzorku).
Analiza stabilnosti parametara potrebna je kao
provera pouzdanosti modela u predviđanju.
Za ispitivanje stabilnosti ocena koristi se Fstatistika testa (složena hipoteza) - dve verzije
Chow testa.
Chow test (prva verzija)


Testira se prisustvo strukturnog loma (preloma) u tački
X*, koja deli uzorak veličine n na dva poduzorka, veličine
n1 i n2 (engl. Chow Breakpoint Test).
Porede se sume kvadrata reziduala dobijene ocenjivanjem
dve odvojene regresije na bazi skupa opservacija n1 i n2,
sa onom dobijenom iz polazne regresije na osnovu svih n
opservacija:

e' e  (e1 ' e1  e2 ' e2 ) / g
F
~ F  g , n2  n1  2 g ,
(e1 ' e1  e2 ' e2 ) / n1  n2  2 g 
pri čemu količnik meri prirast do kojeg dolazi usled
odvojenog ocenjivanja (ako je ovaj prirast značajan, zbir dve
odvojene sume reziduala je manji od ukupne).
 Zaključak: opravdano je oceniti dve odvojene regresije, tj.
parametri su nestabilni.
Chow test (druga verzija)

Pretpostavimo da je prvobitni uzorak n1, a za period
predviđanja imamo još dodanih n2 opservacija (ukupno
n=n1+n2), engl. Chow Forecast Test.
Nulta hipoteza da su reg. parametri ostali nepromenjeni i u
proširenom modelu:
H0: B1=B,
testira se ispitujući značajnost rezidualne sume kvadrata iz
proširenog (e’e) i prvobitnog uzorka (e1’e1).

F
e' e  e1 ' e1  / n2
e1 ' e1 / n1  k 
~ F n2 , n1  k .
Rekurzivna regresija

Postupak se sastoji iz sledećih koraka:
-
Regresiona jednačina sa k parametara za ocenjivanje se
ocenjuje počevši od prvih k opservacija.
-
Svaki put se dodaje po još jedna opservacija i postupak
ponavlja dok nisu iskorišćene sve opservacije (n-k koraka).
-
U svakom koraku se ocenjuje sledeća očekivana vrednost
zavisne promenljive i računa rekurzivni rezidual (razlika
stvarne i ocenjene vrednosti zavisne promenljive).
Rekurzivna regresija

1)
2)
3)
Analiza stabilnosti koja se zasniva na primeni NK:
Rekurzivni reziduali – ucrtavaju se oko nulte linije za
svaku iteraciju , plus i minus dve st. greške. Reziduali izvan
ovih granica sugerišu nestabilnost modela.
CUSUM test (obe verzije) – zasniva se na kumulativnoj
sumi svih prethodnih rekurzivnih reziduala, deljenih
njihovom dotadašnjom standardnom greškom. Ako vektor
parametara ne ostaje konstantan u celom uzorku (istupa
izvan granica), parametri su nestabilni.
Rekurzivni koeficijenti -polazi se od regresije sa min.
brojem k-opservacija, pa se sve više opservacija uključuje u
uzorak. Pojedinačni koeficijenti su dati uz pojas od plus i
minus dve st. greške. Značajne varijacije ocenjenih
koeficijenata pri dodavanju novih varijacija ukazuju na
nestabilnost.