Transcript Kretanje tela promenljive mase

učenik: Andrijana Cerović
mentor: Prof. Dr. Ljubiša Nešić

1)
2)
Tela mogu menjati masu u dva slučaja:
usled promene brzine, što se dešava kada se
telo kreće velikom brzinom,
usled toga što se menja količina supstancije
koja čini telo.
- Primeri: cisterna, kišna kap, avion, raketa...



Govori o tome šta se dešava sa telom ukoliko
na njega deluje nenulta rezultujuća sila
Ako materijalna tačka nije izolovana, usled
interakcije sa drugim telima, njen impuls se
menja; ono što izaziva tu promenu može da se
opiše nekom funkcijom koordinata i brzine
(1.1)
Ova jednačina predstavlja II Njutnov zakon


Ukoliko u nju zamenimo izraz za impuls p=mv
i izvršimo diferenciranje, dobija se
(1.2)
II Njutnov zakon se često zapisuje u
redukovanom obliku
odnosno
(1.3)
Međutim, u skladu sa jednačinom (1.2), ovaj
zapis važi samo za tela kod kojih se masa
menja sa vremenom


Meščerski: rođen u siromašnoj porodici,
studirao je matematiku i mehaniku, 58 godina
predavao u Sankt Peterburgu, krater na
Mesecu je dobio ime po njemu
Ciolkovski: “otac teorijske astronautike”, bio je
samouk (zbog oštećenja sluha, nisu ga primili u
školu), predavao je matematiku u srednjoj školi

Na telo u kretanju čija se masa u toku vremena
menja m = m(t) (mehaničkim odbacivanjem ili
pripajanjem) dejstvuje u smislu zakona akcije i
reakcije tzv. reaktivna sila, koju opisuje jednačina
Meščerskog.


Kao akciju F uzećemo silu kojom se masa dm
izbacuje brzinom za elementarno vreme dt, tj.
(2.1)
a za reakciju R – silu koja masi saopštava
ubrzanje , tj.
(2.2)
Iz zakona akcije i reakcije proističe
(2.3)

pri čemu je
i
Dakle reaktivna sila glasi
(2.4)


Gornja jednačina se može napisati u sledećem
obliku
odakle se onda integracijom od nekog trenutka
do trenutka t dobija
(2.5)

gde je brzina tela u trenutku , a njegova brzina
u trenutku t, dok je masa tela za , a m masa kao
funkcija vremena u određenom kasnijem
trenutku t.
Ako je onda se predhodni obrazac može
napisati u sledećem obliku
(2.6)
i to je obrazac Ciolkovskog za određivanje
brzine tela kada je brzina otpadanja mase
(isticanja gasova) jednaka .


Jednačina Meščerskog se može izvesti i na
osnovu II Njutnovog zakona
Neka su m(t) i m(v) masa i brzina rakete u
proizvoljnom momentu vremena t. Impuls
rakete će u tom trenutku vremena biti p(t)=mv.
Za interval vremena dt masa rakete i njena
brzina će imati priraštaje dm i dv jer je za
navedeno vreme raketa potrošila dm goriva i
izbacila ga kao gas

Dakle
odnosno
(2.7)

Pozabavimo se kretanjem rakete u odsustvu
neke spoljašnje sile. Kao što je pokazano, za
nerelativističke brzine važi jednačina kretanja
(3.1)
uz uvođenje brzine relativnog kretanja gasa u
odnosu na raketu vrel=u-v i integracije u
granicama m0 do m i 0 do v daje
(3.2)

Odavde se dalje dobija (nerelativistička)
jednačina Ciolkovskog
(3.3)

Ukoliko su brzine kretanja rakete međutim
uporedive sa brzinom svetlosti, susrećemo se
sa dva problema. Prvi je što u izrazu (3.1)
moramo da zamenimo masu sa relativističkim
izrazom za masu, a drugi što moramo da
vodimo računa o relativističkom slaganju
brzina


Prva izmena dovodi do sledeće modifikacije
posmatrane jednačine
(3.4)
Druga se odnosi na činjenicu da je brzina
gasova rakete, posmatrano iz sistema reference
Zemlje data izrazom
gde je

Gledano iz ovog sistema reference dakle važi
pa će tražena razlika biti
(3.5)

Takođe je potrebno izračunati sledeći
diferencijal


Zamena poslednja dva izraza u jednačinu (3.4)
nakon sređivanja daje traženu diferencijalnu
jednačinu
(3.6)
Nakon integracije u istim granicama kao i u
nerelativističkom slučaju, dobija se jednačina
Ciolkovskog za relativističku raketu

U radu je razmatrano opisivanje kretanja tela
čija se masa menja sa vremenom usled
pripajanja/odvajanja delića mase
posmatranom telu. Pokazano je da je ovaj slučaj
kretanja praktično obuhvaćen II Njutnovim
zakonom zapisanim u obliku . Dobijena je
jednačina Meščerskog koja zapravo predstavlja
praktičnu formu II Njutnovog zakona za ovaj
slučaj. Prikazano je takođe kako izgledaju
rešenja ove jednačine kako za slučaj malih, tako
i za slučaj velikih brzina. Istaknut je značaj
problema za razvoj raketne tehnike.
HVALA NA
PAŽNJI!