Transcript V. Sajfert Tehnička fizika predavanje 02

2. Mehanika materijalne tačke
Kretanje je opšta karakteristika materije. Kretanje može
biti vrlo složeno i javlja se u više oblika (mehaničko,
toplotno, elektromagnetno itd.). Najprostiji oblik
kretanja, koji se sastoji u pomeranju tela ili njegovih
delova, jedno u odnosu na drugo, proučava mehanika.
Mehanika se deli, u zavisnosti od dimenzija tela i brzine
kretanja na klasičnu, relativističku i kvantnu mehaniku.

Klasična ili Galilej (Galilei Galileo, italijanski fizičar
i astronom) - Njutnova mehanika se bavi
proučavanjem najjednostavnijih oblika kretanja
makrotela (telo sastavljeno iz ogromnog broja delićačestica), čije su brzine znatno manje od brzine
svetlosti v  c ( v - brzina tela, c - brzina
svetlosti, koja u vakuumu iznosi približno c  3 108 m/s ).
Makrotelo se posmatra kao celina, pa se zato za
opisivanje njegovog kretanja uzima minimalni broj
parametara. Istorijski, ovaj deo mehanike se najranije
razvio i to najvećim delom na zahtev građevinske i
vojne tehnike.
Zakoni klasične mehanike postaju suviše aproksimativni,
i praktično se ne mogu koristiti za proučavanje kretanja
mikrotela čije su brzine uporedive sa brzinom svetlosti
( v  c ). Za proučavanje ovakvih kretanja važe zakoni
Ajnštajnove (Einstein Albert, 1879, Ulm – 1955,
Princeton, američki fizičar nemačkog porekla)
relativističke mehanike.
2.1 Relativnost kretanja. Referentno telo i referentni
sistem. Položaj tela. Materijalna tačka


Kretanje je promena položaja jednog tela tokom
vremena u odnosu na neko drugo, referentno telo.
Izjava: “Ja mirujem.” nije dovoljna, jer ako smo u
sobi, možemo mirovati u odnosu na sobu, ili u
odnosu na Zemljinu kuglu, ali u odnosu na Sunce se
krećemo, te takva izjava u tom smislu nije precizna.
Ako na peronu stoje dva voza, putnik iz jednog voza
pouzdano zna da njegov voz stoji ili se kreće samo
ako putnik posmatra kretanje u odnosu na železničku
stanicu ili u odnosu na banderu. Ako posmatra drugi
voz, neće moći sa sigurnošću da tvrdi koji se od ova
dva voza kreće.
u odnosu na njega posmatramo kretanje drugih tela.
Referentnom telu se pridružuje koordinatni sistem sa
centrom u njemu, da bismo mogli da opišemo požaj tela
(materijalne tačke). Referentno telo kome je pridružen
koordinatni sistem se naziva referentni sistem.
Ubuduće, kad budemo analizirali položaj i kretanje tela,
uvek ćemo imati u vidu nekakav referentrni sistem, koji
relativno miruje, i u odnosu na koga posmatramo
kretanje tela. Najčešće se koristi Dekartov (Descartes
René¸ 1596, La Haye en Touraine, Kingdom of France 1650 Stockholm, Swedish Empire, francuski filozof¸
matematičar i fizičar) desni koordinatni sistem (vidi sliku
2.1.1).
z
y
x

Slika 2.1.1
Prostor u klasičnoj mehanici je trodimenzioni
euklidski ( grčki matematičar starog veka, oko 330.
do 275. god. pne.). Položaj svake tačke tela u
prostoru je određen uređenom trojkom koordinata (x,
y, z) (slika 2.1.2).
z
r
M(x,y,z)
y
x
Slika 2.1.2
z
  

r  xi  yj  zk
M(x,y,z)
rz=z
r




r  rx i  ry j  rz k
ry=y
rx=x
r 2  x2  y2  z 2
x
y
U početku se analizira idealna situacija, npr. u mehanici
se najpre uvodi pojam materijalne tačke. Pod
materijalnom tačkom u mehanici se podrazumeva telo
čiji se oblik i dimenzije mogu zanemariti u datom
problemu. Na primer, kada analiziramo kretanje
veštačkog Zemljinog satelita, njegov oblik i dimenzije
možemo zanemariti u odnosu na putanju. Ako
analiziramo rotaciju Zemlje oko svoje ose, Zemlju ne
možemo tretirati kao materijalnu tačku, ali ako
analiziramo kretanje Zemlje oko Sunca, tada Zemlju
možemo smatrati materijalnom tačkom.
2.2 Kretanje tela. Putanja, put i pomeraj. Vrste
kretanja

Ako se telo kreće, ono u stvari menja položaj u
odnosu na referentni sistem. Promena položaja tela u
odnosu na referentni sistem se može opisati ili
pomoću radijus vektora koji se menja tokom
vremena:
 
r  r (t )

Smatra se da je kretanje opisano ako su u svakom
trenutku poznate sledeće fizičke veličine: putanja,
put, pomeraj, brzina i ubrzanje. U ovom poglavlju
ćemo dafinisati putanju put i pomeraj, a u sledećim
poglavljima ćemo se pozabaviti brzinom i ubrzanjem.
Putanja ili trajektorija je linija koju opisuje
materijalna tačka pri svom kretanju (vidi sliku 2.2.1). Na
slici su prikazani
radijus vektori u dva različita trenutka

 i
( r
rN ).
M
z


rM
rN
y
x

Slika 2.2.1
Matematički možemo putanju definisati kao geometrijsko
mesto vrhova radijus vektora u toku vremena.
Podela kretanja se može izvršiti i prema obliku putanje. Kada
je putanja kriva linija, kretanje je krivolinijsko, ako je putanja
kružnica, kružno kretanje (aproksimativno kretanje elektrona
oko jezgra, planeta oko Sunca, vozila u krivini itd.), odnosno
ako je putanja prava linija radi se o pravolinijskom kretanju
(slobodno padanje, kretanje svetlosti u vakuumu itd.).
Put je fizička veličina koja predstavlja ograničeni deo
putanje, recimo od tačke M do N, koji materijalna tačka (telo)
pređe u toku nekog vremenskog intervala – t
dužina MN krive na slici 2.2.1. Put je skalarna veličina,
okarakterisana je samo brojnom vrednošću i jedinicom mere.
Obeležava se najčešće sa s, s , ali takođe i sa l.
Jedinica za put je jedna od osnovnih jedinica SI
sistema:

[s]  1m
Dimenzija za pređeni put je:
dim s  L

Da bismo opisali kretanje možemo koristiti
povezanost pređenog puta od vremena. Ako telo u
jednakim vremenskim intervalima prelazi jednake
puteve tada kažemo da je kretanje ravnomerno, a
ako u jednakim vremenskim intervalima prelazi
različite puteve, smatramo da je kretanje
neravnomerno (ubrzano ili usporeno).
Pomeraj je vektorska veličina kojom se
karakteriše kretanje materijalne tačke u vremenskom
intervalu . Pomeraj ćemo definisati kao razliku radijus
vektora u krajnjem i početnom trenutku
posmatranja(slika 2.2.2):
 

r  r2  r1
z

r

r1
r2
x

 
r1  r  r2
y
2.3 Srednja i trenutna brzina

Brzina je osnovna karakterisitika kretanja. Ona
pokazuje koliki put neko telo pređe za određeni
interval vremena. Prema tome, brzinu možemo
definisati kao fizičku veličinu koja se meri odnosom
pređenog puta i vremena. Brzina je vektorska fizička
veličina, pa je zato pored intenziteta brzine potrebno
znati i pravac i smer kretanja tela.
Posmatraćemo kretanje tela po krivoj - putanji
tela (vidi sliku 2.3.1). Položaj tela u trenutku
 t1  t
(tačka M) određen je vektorom položaja r1 , a u

trenutku t 2  t  t (tačka N), radijus vektorom r2
z
v
M
r1
s
r
N
vsr
r2
O
x
y


r
v sr 
t
.
Ako sada uzmemo da vremenski interval teži nuli, tj. ako
t  dt
tada će , odnosno tada će biti r  s .
Znači, sada se poklapaju pomeraj i pređeni put, pravac
vektora će biti duž tangente, a srednja brzina prelazi u
trenutnu brzinu. Matematički se to izražava preko
granične vrednosti (limesa):



 r dr
v  lim

t  0 t
dt

trenutna brzina
v
Primer U prvoj polovini vremena automobil se kretao
brzinom od 80 km/h a preostalo vreme brzinom od 60
km/h (vidi sliku 2.3.3). Kolika je srednja brzina na celom
putu?
s1
v1
s2
s
v2
t
t
v1  v2
s1  s2
v1  v2
km
2
2
v


 70
t
t
2
h
Primer Kola se kreću polovinu puta brzinom 80 km/h a
drugu polovinu puta brzinom 60 km/h. Kolika je srednja
brzina kola na celom putu? (vidi sliku 2.3.4)
s/2
v1
s/2
v2
s
s
s1 2
s
/  t1
v1   
t1 t1 2t1
v1t1 
t1 
s
2
/ : v1
s
2v1
s
s
s
v2  2  2 
t 2 t 2 2t 2
v2t 2 
s
2
/  t2
/ : v2
s
t2 
2v 2

Srednju brzinu ćemo naći po definiciji:
s1  s 2
2v1v2
s s1  s 2
s
2
v sr  




s
s
v

v
t t1  t 2
v1  v2
s 1 1 
1
2

  
2v1 2v2
v1v2
2  v1 v2 
v sr  68,6
km
h
2.4 Srednje i trenutno ubrzanje

Ubrzanje je fizička veličina koja pokazuje kojom
se brzinom menja brzina nekog tela pri kretanju u
toku vremena. Neka se materijalna tačka kreće tako
da je njena trajektorija kriva linija
i neka u položaju M

(vidi sliku
 2.4.1) ima brzinu v1 , a u položaju M´ ima
brzinu v2 . Brzine u opštem slučaju imaju i različite
intenzitete i različite pravce.

Ako vektor v2 dovedemo u tačku M, onda će priraštaj
brzine biti:
z
v2
M'
v
v
v1
v2
M
vn
asr
y
O
x
 
v  v2 – v1

 
v1  v  v2
Količnik priraštaja brzine i odgovarajućeg vremena
predstavlja srednje ubrzanje:


v
a sr 
t



v  v  vn



v
vn 


v
a  lim
 lim
 lim
 a  an
t 0 t
t 0 t
t 0 t

dv 
a  
dt

v2 
an 
n
R
a  a2  a n2
a
a
an
v dv d  ds  d 2 s
a  lim

    2  s
t 0 t
dt dt  dt  dt

Jedinica za ubrzanje je
a  m2
s

a dimenzija:
dimv LT 1
dim a 

 LT 2
dimt
T
2.5 Ravnomerno ( uniformno , jednoliko )
pravolinijsko kretanje
z
r
r1
O
x
N
M
r2
y
v  const
a0
s  s0
v
t  t0
s  s0
v
t
s  s0  v  t
a
t
v
t
s
s=s0+vt
s=vt
s0
t