Transcript Power Point prezentacija

Izračunaj položaj centra mase, homogenog diska
mase M i radijusa R?
Pravokutni sustav
x  r cos 
y  r sin 
y
dr
d

Polarni sustav
x
r x y
y
  arctg
x
2
2
2
r



dr  dxi  dyj

dr  drrˆ  rdˆ

dyj
rdˆ

dxi
Definicija centra mase

rcm 

 r (m)dm
 dm
 

r  xi  yj

  x(m)dm   y (m)dm 
xcm i  ycm j 
i
j
dm
dm


Kako definirati dm ?
y (x)
x
dx
dm  da
da  y  dx  r  x dx
2
2
r
1
2
2
xcm 

x
r

x
dx

M r
M
M

 2
A r
L/2
m 2
1 2
I 
x dx 
Lm
L
12
 L/2
Drugi Newtonow zakon za rotaciju krutog
tijela:


M  I
  
M  F r


M  ( L / 2  d ) Fk
Steinterov teorem
I  I cm  md
2
( L / 2  d)F
1000


1 2
13
2
( L  d )m
12
b)
  t  1000
c)
2.5
F 
F
35
.
Tanki homogneni štap mase M i duljine L
poduprt je sa dva nosača na svojim krajevima.
U jednom trenutku jedan od nosača se izmakne,
Nađite silu F kojom štap pritišće na preostali
nosač u trenutku nakon izmicanja drugog
nosača
F
L/2
Mg
Akceleracija težišta štapa nakon izmicanja
Ma  Mg  F
Nakon izmicanja jednog nosača štap rotira oko
drugog:
M  I
L
Mg  I
2
1
2
2
I   l dm  L M
3
Veza između linearne akceleracije i kutne
akceleracije:
L
a 
2
1
F  Mg
4
Koliku će visinu tijelo mase m2 u sistemu
prikazanom na slici proći između treće i sedme
sekunde padanja?
Zadano je m1=20 kg, m2=10 kg, m=40 kg,
koeficijent trenja je 0.25. Za koluturu
pretpostavite da je disk.
m1
r,m
m2
Dijagrami sila za pojedina tijela:

Ftr
m1

T1

T2

T2

mg
m2

T1
m1a  T1  m1 g
a
T2 r  T1r  I  I
r
m2 a  m2 g  T2
(m2  m1 )
a
g
m1  m2  1 / 2m
1
2
2
h  a (7  3 )  20m
2
Pretpostavimo da imamo dva valjka jednakih
dimenzija i jednakih masa. Jedan od njih je
šupalj a drugi je pun. Napravljeni su od
materijala različite gustoće. Kako bi otkrili iz
njihovog gibanja koji je šupalj a koji je pun?
Oba valjka pustimo s kosine visine h da se
kotrljaju bez klizanja. Puni valjak imat će veću
brzinu jer mu je moment inercije manji.
Zakon sačuvanja energije:
1 2 1
2
mgh  mvs  I ss
2
2
1 2 1
2
mgh  mv p  I p p
2
2
Moment inercije šupljeg valjka:
1 2
I s  mr
2
Moment inercije punog valjka:
1 2
I p  mr
4
vs  gh
4
vp 
gh
3
Valjak mase m polumjera r kotrlja se bez
klizanja niz kosinu h. Kolika je brzina centra
mase na dnu kosine ako je početna brzina
nula? Problem riješite pomoću
a) Newonovih zakona i
b) zakona sačuvanja energije
N
f

mg
II Newtonov zakon
ma  mg sin   f
M  I cm  fr
I cm
2
translacija
rotacija
1 2
 mr
2
v
a
2s
4
4
v
2 s  sin  
gh
3
3
Zakon sačuvanja energije
1 2 1 2
mgh  mv  I
2
2
4
v
gh
3
Homogeni valjak mase m polumjera b spušta
se uzduž krivulje prikazane na slici. S koje
najmanje visine h moramo pustiti tijelo da bi
prešlo kružni dio puta?
Kolika bi ta visina bila kada bi valjak
aproksimirali materijalnom točkom ?
R
h
Zakon sačuvanja energije:
v

mgh  m  I
 mg 2 R
2
2
2
1 2
I  mb
2
2
v

b
Uvjet koji brzina centra mase u najvišoj točki
mora zadovoljiti da se valjak giba po kržnoj
putanji:
2
mv
 mg
R
11
h R
4
U sistemu prikazanom na slici odredite
akceleraciju pada koluture i napetost niti.
Koluture aproksimirajte diskom. Zadano je
m1=5 kg, m2=5 kg.
m1,r1
II Newtonov zakon
1
1
2 a1
Tr1  I11  m1r1
 m1a1r1
2
r1 2
za prvu koluturu
m2,r2
Za drugu koluturu:
1
Tr2  I 22  m22r2
2
m2 g  T  m2 a2
Odnos između akceleracija
a2  a1  a2
m1
1
6
m2
a2  2
g g
m2
7
3 2
m1
m2 g
T
 14 N
3  2m2 / m1
Kuglica mase m giba se brzinom v. Na visini
h iznad podloge udari o štap dužine L=4 h i
mase M=3m. Štap se nalazi na savršeno
glatkoj podlozi, a sudar je savršeno
neelastičan. Koliki je gubitak kinetičke
energije pri sudaru?
M
v
h
L
Pretpostavke:
Na sustav kuglica štap prije sudara ne dijeluje
vanjska sila pa za centar mase vrijedi:
mv
v
vcm 

m M 4
ML / 2  mh 7
x
 h
M m
2
Moment inercije sistema oko centra mase je
7
2
I cm  m( h  h)
4
1
2

ML
12
1
7 2
 M ( L  h)
2
4
doprinos kuglice
doprinos štapa
preko Steinera
I cm
19 2
 mh
4
Zakon sačuvanja kutne količine gibanja
7
3 v
I cmcm  mv ( h  h)  cm 
4
19 h
Izgubljena kinetička energija jednaka je
razlici energija prije i poslije
1 2 1
1
6
2
2 
2


Wk  mv   M  m vcm  I cmcm   mv
2
2
2
 19
Izračunaj moment tromosti kružnog diska mase
m i radijusa r za os koja vertikalno prolazi kroz
njegov centar. Uzmimo da je debljina diska
zenemarivo mala.
rd
dr
r
d
dI  dmr
dm  da
2
  m/ r 
2
da  dr  rd
R  /2
m 3
I   dI    2 r drd
r

0  / 2
I
m
R
 /2
0
 /2
rdr  d



m1 2
1
2
I
R   mR
2
2