Transcript O primeni izvoda i integrala u fizici

Profesor:
Ljubiša Nešić
Učenik:
Lazar Tasić
Uvod
Izvodi i integrali imaju široku primenu u svim prirodnim
naukama (matematika, fizika, elektronika.. ) i nekim
društvenim, kao što je ekonomija. Ako izuzmemo matematiku,
najveću primenu diferencijalni i integralni račun imaju u fizici.
Njutn, sem toga što je otkrio diferencijalni račun, bio je prvi
fizičar koji ga je primenio za rešavanje problema. Sem Njutna,
veliki doprinos, u razvijanju ovog računa, dao je Lajbnic koji je
u isto vreme kad i Njutn ali nezavisno od njega razvio svoj
metod. Svađa oko toga ko je otkrio diferencijalni račun,
između ova dva velika naučnika, trajala je do Lajbnicove
smrti. Kasnije se pokazalo da su njihovi metodi različiti što je
bio dokaz da Lajbnic nije ukrao Njutnov rad.
Izvodi
Integrali
Centar mase
krutog tela
Brzina
Pređeni put
Ubrzanje
Moment inercije
krutog tela
II njutnov
zakon
Primena izvoda u fizici

Brzina u diferencijalnoj formi
Srednja brzina
Kada vremenski interval teži nuli, onda srednja brzina na tom putu
teži trenutnoj brzini
Pređeni put x u
zavisnosti od vremena
Primena izvoda u fizici
Ako brzinu izrazimo kao vektorsku veličinu, njen intenzitet
izgleda ovako
ili
drugim rečima, brzina je prvi izvod vektora položaja po vremenu.
U fizici se prvi izvod po
vremenu označava tačkom
iznad slova koje predstavlja
fizičku veličinu koju
diferenciramo.
Primena izvoda u fizici

Pređeni put
Iz obrasca Δsi≈υiΔti ,kada vremenski interval teži nuli, dobija se delić
pređenog puta. Granična vrednost sume ovih delića je ukupan pređeni
put
odnosno
Pređeni put od trenutka t1 do trenutka t2 jednak je
određenom integralu brzine po vremenu.
Primena izvoda u fizici

Ubrzanje u diferencijalnoj formi
Srednje ubrzanje
Kada vremenski interval teži nuli, onda srednje ubrzanje na tom
putu teži trenutnom ubrzanju
Ako brzinu izrazimo kao prvi izvod vektora položaja po vremenu dobijamo
Ubrzanje je drugi izvod vektora položaja po vremenu.
Primena izvoda u fizici

Drugi Njutnov zakon u diferencijalnoj formi
Ako silu izrazimo kao prvi izvod impulsa po vremenu
,za koji kada je masa konstantna
dobijamo izraz
postaje
ili
osnovni zakon dinamike.
Izraz koji nam je poznat kao
Primena izvoda u fizici

Primeri
1) Kosi hitac
Zavisnost koordinata x i y od
vremena
Zavisnost y od x
Vektor položaja tela
izbačenog početnom brzinom
pod nekim uglom
Za vrednost koordinte x u kojoj je prvi izvod y po x jednak nuli, telo ima
maksimalnu visinu
sledi
i
a tačka čije su koordinate (xm, ym) je tačka u kojoj je telo dostiglo maksimalnu
visinu ym.
Primena izvoda u fizici

Primeri
2) Oscilovanje harmonijskog klatna
Za male elongacije, bez uračunavanja efekta trenja oscilovanje
harmonijskog klatna se može opisati sledećim izrazom
Prvi izvod po vremenu daje brzinnu a drugi ubrzanje, odnosno
i
Primena izvoda u fizici

Primeri
3) Kretanje tela kroz fluid
Sila otpora sredine
Jednačina kretanja
Maksimalna brzina
Ako ubrzanje izrazimo kao prvi izvod brzine po
vremenu dobijamo diferencijalnu jednačinu čijim
rešavanjem dolazimo do izraza za brzinu
odnosno
Sile koje deluju na telo
prilikom kretanja kroz fluid
Primena izvoda u fizici

Primeri
4) Slobodni pad sa silom otpora
Sila otpora sredine
Jednačina kretanja
odnosno
Maksimalna brzina
Ako ubrzanje izrazimo kao prvi izvod brzine po
vremenu dobijamo diferencijalnu jednačinu čijim
rešavanjem dolazimo do izraza za brzinu
Primena integrala u fizici

Određivanje centra položaja masa krutih
tela različitig oblika
Centar mase ili centar inercije sistema materijalnih tačaka
Kada broj delića teži beskonačnosti,
masa tog delića teži nuli, a prethodni
izraz postaje
Telo podeljeno na deliće mase Δmi i
vektor položaja delića
Primena integrala u fizici

Primer
Određivanje položaja centra masa homogenog štapa čija se gustina
menja linearno
Masa se menja linearno pa uvodimo podužnu
gustinu
i polazimo od izraza
pa dalje dobijamo
odnosno
Homogeni štap
čija se gustina
menja linearno
Primena integrala u fizici

Izračunavanje momenta inercije krutih
tela različitog oblika
Moment inercije, kod rotacionog kretanja, je veličina analogna masi kao
meri inercije kod translatornog kretanja.
Moment inercije tela se dobija sumiranjem momenata inercije malih
delova mase tog tela
Ako masu izrazimo u zavisnosti od zapremine i gustine dobijamo
Primena integrala u fizici

Primeri
1) Homogeni cilindar
Prvo cilindar delimo na tanke ljuske i za svaku
od njih računamo moment inercije, a na kraju
sumiramo sve momente odakle se dobija
ako gustinu izrazimo u zavisnosti od
zapremie i mase, sledi
Cilindar izdeljen na ljuske
debljine dr
Primena integrala u fizici

Primeri
2) Lopta
Moment inercije svakog dela čiji oblik
teži cilindru je
odakle za moment inercije cele lopte
dobijamo
Slojevi kruga koji kada dx teži nuli
njihov oblik teži cilindru
Kako je integraljenje potrbno izvršiti po celoj lopti granice
integrala su (-R,R), a sređivanjem dobijamo
odnosno
Primena integrala u fizici

Primeri
3) Trugao
Jednakokraki trougao, mase m, dužine
kraka b, koji rotiara oko osnovice dužine a.
Masa jedne trake je
a moment inercije te trake
Trougao izdeljen na trake dužune
x, debljine dy i mase dm
Sumiranjem ovih momenata inercije dobijamo integral
čijim daljim rešavanjem se dobija
a za jednakostranični trougao
Ograničenja primene izvoda i
integrala u fizici
Odnos pređenog puta i vremenskog intervala
Određivanje gustine materije u nekoj tački prostora
U fizici pod izvodima smatra odnos konačnih ali dovoljno malih
priraštaja funkcije i argumenta, a ne granična vrednost tog odnosa.
Granični prelaz Δx→0 kod integrala