Transcript Document
INTEGRAL
UPORABA INTEGRALA
PLOŠČINE LIKOV
y gx
r r
y f x
a
b
b
ploščina g f
a
MATEMATIKA 2
1
ploščina r 2
2
1
INTEGRAL
UPORABA INTEGRALA
DOLŽINA KRIVULJE
Vsaka delitev intervala določa
neko lomljenko. Dolžina
krivulje je natančna zgornja
meja dolžin lomljenk.
f xi 1
f xi
x i 1
a
n
xi
b
dolžina lomljenke ( xi xi 1 ) 2 ( f ( xi ) f ( x i 1 )) 2
i 1
n
1
( f ( xi ) f ( xi 1 )) 2
i 1
( xi xi 1 )
2
n
( xi xi 1 ) 1 ( f (t i )) 2 ( x i x i 1 )
i 1
Riemannova vsota za funkcijo
Dolžina krivulje
(če je f zvezno odvedljiva)
MATEMATIKA 2
1 ( f ) 2
b
l 1 ( f ) 2
a
2
INTEGRAL
UPORABA INTEGRALA
PROSTORNINA TELESA
b
xi
xi 1
P (ti ) : ploščina prereza na višini ti
xi xi 1 : debelina prereza
a
n
P (t )( x
i
i 1
i
x i 1 )
Riemannova vsota za funkcijo P
b
Prostornina telesa
(če je P zvezna)
MATEMATIKA 2
V P
a
3
INTEGRAL
UPORABA INTEGRALA
VRTENINE
Vrtenina je telo, ki ga zaobjamemo z vrtenjem krivulje okoli osi.
Prerez na nivoju x je krog s
ploščino P(x)=f(x)2 π.
b
Prostornina vrtenine
V f 2
a
MATEMATIKA 2
4
INTEGRAL
UPORABA INTEGRALA
NEKATERE FIZIKALNE KOLIČINE, KI SE IZRAŽAJO Z INTEGRALOM
(Integriramo funkcije ene spremenljivke, zato se zaenkrat omejimo na primere, ki so ‘enodimenzionalni’.)
Dolžina poti, ki jo točka, ki se giblje premočrtno
s hitrostjo v=v(t) prepotuje v času od t1 do t2:
t2
s v(t ) dt
t1
b
Masa krivulje, dane z enačbo y=f(x) na [a,b]
in z dolžinsko gostoto r=r(x):
Težišče krivulje, dane z enačbo y=f(x) na
[a,b] in z dolžinsko gostoto r=r(x):
1 n
x
Težišče n točk (xi,yi), z masami mi: T
xi mi
m i 1
1 n
yT
yi mi
m i 1
m r ( x ) 1 ( f ( x )) 2 dx
a
b
1
xT
x r ( x ) 1 ( f ( x )) 2 dx
ma
b
1
yT
f ( x ) r ( x ) 1 ( f ( x )) 2 dx
ma
b
Delo, ki ga sila F=F(x) opravi vzdolž osi x
A F ( x ) dx
a
MATEMATIKA 2
5