Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu
Download
Report
Transcript Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu
Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Zavod za matematiku
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu
Studenti: Nikolina Jakšić
Kornelije Kraguljac
Prof. dr. sc. I.Gusić
Primjena matematike u inženjerstvu grubo se može skicirati sljedećom
shemom:
Inženjerski
problem
Rješenje
inženjerskog
problema
T
T-1
Matematički
problem
Rješenje
matematičkog
problema
Vrste transformacija funkcija u matematici:
- Fourierova
- Laplaceova
- Poissonova
- Mellinova itd.
Definiraju se pomoću integrala pa se i zovu integralne transformacije, a
nastale su iz dubokih matematičkih i praktičnih razloga.
Laplaceova transformacija
Uz druge važne primjene, Laplaceova transformacija ima primjenu u
rješavanju linearnih diferencijalnih jednadžba (skupa s početnim
uvjetima – Cauchyev problem).
Diferencijalna
jednadžba
Rješenje
diferencijalne
jednadžbe
L
L-1
Algebarska
jednadžba
Rješenje
algebarske
jednadžbe
Laplaceova transformacija trenutno daje rezultat za nehomogene
jednadžbe.
Za razumijevanje Laplaceove transformacije potrebno je poznavati pojam
nepravog integrala, pojam vektorskog prostora ( u ovom slučaju to će biti
vektorski prostor funkcija definiranih bar za sve pozitivne brojeve ) i
pojam linearnog operatora.
1.
Laplaceova transformacija.
Inverzna transformacija.Linearnost.
f (t ) za t 0
F ( s ) e st f (t )dt
0
F ( s ) je nazvana Laplaceova transformacija (prema Pierre Simon De Laplaceu)
i označavamo je sa L( f ) :
L( f )( s ) e st f (t )dt
(1)
0
f (t ) u (1) je inverzna transformacija ili inverzija od F ( s ) i označava se sa L1 ( F )
te pišemo:
f (t ) L1 ( F )
Teorem 1. Linearno svojstvo
Linearni operator je transformacija na vektorskim prostorima koja zbroj
prebacuje u zbroj, razliku u razliku, i, općenito, linearnu kombinaciju u linearnu
kombinaciju
Laf (t ) bg(t) aL( f ) bL( g)
Dokaz.Prema definiciji,
L af (t ) bg (t ) e st af (t ) bg (t ) dt
0
0
0
a e st f (t ) dt b e st g (t ) dt aL( f ) bL( g )
Neke elementarne funkcije f(t) i njezine Laplaceove transformacije
L(f)
f (t )
L( f )
1
1
1/s
2
t
3
t2
f (t )
L( f )
6
eat
1
s-a
1/s2
7
cos wt
s
s2 + w 2
2!/s3
8
sin wt
w
+
s2
4
tn
(n=1,2,…)
5
ta
(a pozitivno)
w2
n!
sn+1
9
cosh at
s
s2 – a 2
G(a+1)
sa+1
10
sinh at
a
s2 – a 2
Teorem 2. Prva izmjena teorema.
Ako L( f ) F ( s ) kada je s , tada
L e at f (t ) F ( s a )
(s a)
Dokaz.
Prema definiciji,
F ( s) e st f (t ) dt
0
i, stoga,
0
0
F ( s a) e ( s a ) t f (t )dt e st e at f (t ) dt L e at f (t ) .
Teorem3. Postojeći teorem.
f (t ) Me t
za t 0, konstante= ,M
Tada Laplaceova transformacija za f (t ) postoji za sve s .
Dokaz.
0
0
0
0
L( f ) e st f (t )dt e st f (t ) dt e st Me t dt M e ( s )t dt
M
s
Lapaceova transformacija derivacije i integracije
Teorem1. Diferenciranje f(t).
f (t ) kontinuirana za t 0 i ima derivaciju f '(t ) koja je kontinuirana za svaki
interval u području t 0. Tada Laplaceova transformacija derivacije f '(t )
postoji kada s , i
L( f ') sL( f ) f (0)
(1)
Dokaz.
Prema definiciji i integraciji po dijelovima,
0
0
L( f ') e st f '(t )dt e st f (t ) s e st f (t )dt
0
(s ).
Koristeći jednadžbu (1) za drugu derivaciju f ''(t ) dobivamo
L( f '') sL( f ') f '(0)
s sL( f ) f (0) f '(0)
s 2 L( f ) sf (0) f '(0)
Na sličan način dobivamo treću derivaciju i druge,
L( f ''') s 3 L( f ) s 2 f (0) sf '(0) f ''(0)
Teorem 2. Derivacija za bilo koji n.
Neka Laplaceova transformacija za f ( n ) (t ) postoji kada s , i
dana je formulom
L( f ( n ) ) s n L( f ) s n 1 f (0) s n 2 f '(0) ... f ( n 1) (0).
Teorem 3. Integracija f(t).
1
L f ( )d L f (t )
0
s
Dokaz.
t
g (t )
f ( )d
0
t
g (t )
0
f ( ) d M
t
e d
0
M
(e t 1)
( 0).
g '(t ) f (t )
L f (t ) L g '(t ) sL g (t ) g (0)
L( g )
1
L( f )
s
g (0) 0
Transformacija obične diferencijalne jednadžbe.
Razmatramo jednadžbu:
y ''(t ) 2 y (t ) r (t )
Laplaceovu transformacija
, r (t ) je zadano
s 2Y ( s) sy (0) y '(0) 2Y ( s) R( s),
gdje je Y ( s) Laplaceova transformacija od y (t ), a
R( s ) je Laplaceova transformacija od r (t ).
Dobivamo algebarsku jednadžbu
sy (0) y '(0)
R( s)
Y ( s)
2
2
2
s
s 2
Diferenciranje i integriranje transformacija
F ( s ) L( f ) e st f (t )dt
0
F '( s ) e st tf (t ) dt
0
Ako je L tf (t ) F ( s ), tada
L tf (t ) F '( s )
f (t )
L
F ( s)ds
t s
st
s F (s)d s s s e f (t )dt d s
st
st
s F (s)d s s s e f (t )d s dt s f (t ) s e d s dt
s
s
st
F
(
s
)
d
s
e
f (t )
f (t )
dt L
t
t
Periodične funkcije.
Neka je f (t )funkcija koja je definirana za sve pozitivne t i ima period
p ( 0), tada je,
f (t p ) f (t )
za sve t 0.
Laplaceova transformacija postoji i možemo pisati integral u obliku postepenih
serija integrala:
p
2p
3p
0
0
p
2p
L( f ) e st f (t ) dt e st fdt e st fdt e st fdt ...
Ako substituiramo t p u drugom integralu, t 2 p u trećem integralu,
t (n 1) p u n-tom integralu,..., tada je nova granica 0 i p.
Otada
f ( p ) f ( ) ,
f ( 2 p ) f (t ),
itd.
Tada dobivamo
p
L( f ) e
0
p
s
f ( )d e
p
s ( p )
f ( )d e s ( 2 p ) f ( )d ...
0
0
Uzimajući faktor koji ne ovisi o izvan promatranog integrala dolazimo do:
p
L( f ) 1 e
sp
e
2 sp
... e s f ( )d
0
1 e sp e2 sp ... 1/(1 e sp )
Teorem 1. Transormacija periodičnih funkcija.
Laplaceova transformacija za kontinuirane periodične funkcije f (t ) sa
periodom p je
p
1
st
L( f )
e
f (t )dt
ps
1 e 0
(s 0).
Primjer 1.
Korake navedene u teorijskom dijelu opisujemo na primjeru kojeg su
spominjali prije (titranje):
1.
korak (početni problem). Treba riješiti Cauchyev problem:
y ''(t ) k 2 (t ) 0,
2.
y(0) A, y '(0) 0
korak (pretvaranje u algebarski problem – Laplaceova transformacija):
s 2Y ( s) - sy(0) - y '(0) k 2Y ( s) 0
tj. ( s 2 k 2 )Y ( s) As 0
3.
korak (rješavanje algebarskog problema)
As
Y (s) 2
s k2
3.
korak (rješavanje izvornog problema).
Iz tablica Laplaceovih transformacija očitamo
y(t ) A cos(kt )
kako smo i tvrdili da je rješenje.