Transcript  Furijeova transformacija   Pretpostavljamo da je signal stacionaran

Furijeova transformacija
Pretpostavljamo da je signal stacionaran
X  

 jt


x
t
e
dt


Furijeova transformacija
sa = cos(2*pi*1000*t) + cos(2*pi*2000*t) + cos(2*pi*5000*t) + cos(2*pi*10000*t)
4
sa
2
0
-2
-4
0
0.5
1
1.5
t
2
2.5
3
-3
x 10
Cont-time Fourier transform (mag)
150
100
50
0
0
2
4
6
8
10
12
Frequency (kHz)
14
16
18
20
Furijeova transformacija
Analiza nestacionarnih signala
1
sb
0.5
0
-0.5
-1
0
0.002
0.004
0.006
t
0.008
0.01
0.012
Cont-time Fourier transform (mag)
150
100
50
0
0
2
4
6
8
10
12
Frequency (kHz)
14
16
18
20
“Kratkotrajna” Furijeova transformacija
(Short Time Fourier Transform - STFT)
STFT ,    x(t ) g * (t  )e  jt dt
Uvodi se “lokalna frekvencija”, tj. spektralne komponente u
određenom trenutku

Ova notacija je slična notaciji koja se koristi u muzici, notama se
prikazuju frekvenicje koje se sviraju u određenom vremenskom
trenutku

“Kratkotrajna” Furijeova transformacija djeluje na jedan dio
nestacionarnog signala koji možemo smatrati stacionarnim, a koji se
vidi kroz prozor konačnog trajanja pomjeren u određeni trenutak
Dobijamo predstavu u ravni vrijeme-frekvencija

Kratkotrajna Furijeova transformacija
STFT ,    x(t ) g * (t  )e  jt dt
Parametar f je sličan frekvenciji
kod Furijeove transformacije
Zavisnost od oblika prozora
Alternativna interpretacija preko
“banka filtara”
Rezolucija u vremenu i frekvenciji
ne može istovremeno biti
proizvoljno mala
Hajzenbergova nejednakost
(Gausov prozor)
t  f 
1
4
Multirezoluciona analiza
U cilju prevazilaženja ograničenja STFT u pogledu rezolucije, dopušta
se da rezolucije u vremenu i frekvenciji variraju. Intuitivno, sa
porastom frekvencije rezolucija u vremenu treba da raste da bi bili u
mogućnosti da uočimo kratkotrajne nagle promjene signala:
f
c
f0
Banka filtara koja se koristi za analizu signala tad ima konstantan
relativni propusni opseg, tzv. “constant-Q” analiza.
Multirezoluciona analiza
Za razliku od STFT, WT koristi “uske” (kratkog trajanja ) prozore na
visokim frekvencijama, a “široke” prozore na niskim frekvencijama.
Na taj način je moguće postići proizvoljno veliku rezoluciju u
vremenu na visokim frekvencijama i proizvoljno veliku rezoluciju u
frekvenciji na niskom frekvencijama.
Prema tome, ova vrsta analize je dobra za signale koji imaju
visokofrekventne komponente kratkog trajanja i niskofrekventne
komponente dugog vremenskog trajanja, što je veoma čest slučaj u
praksi.
Kontinualna Wavelet (talasić) transformacija prati ovaj princip uz
uvođenje dodatnog pojednostavljenja:
svaki impulsni odziv iz banke filtara se definiše kao skalirana verzija
prototipa h( t ).
Multirezoluciona analiza
Podjela vremensko-frekvencijske ravni i bazisne funkcije STFT i WT.
Kontinualna Wavelet transformacija
CWTx ,   
1
* t   
x
(
t
)
h

dt





Ako se posmatra interpretacija preko banke filtara onda koeficijenti
kontinualne Wavelet transformacije predstavljaju filtrirani dio
signala kroz odgovarajuće propusnike opsega.
Posmatrano u vremenu ovi koeficijenti daju mjeru sličnosti
(autokorelacija) signala sa baznim funkcijama – wavelet-ima:
h , (t ) 
1 t 
h


 

Kontinualna Wavelet transformacija
Ako je filtar sa impulsnim odzivom h(t) propusnik opsega i ako ima
konačnu energiju onda važi i inverzna WT:
x(t )  c  CWT,  h, (t )
a 0
dd
2
h , (t ) 
1 t 
h

   
gdje je c je konstanta koja zavisi samo od izbora h( t )
Dakle, moguće je signal predstaviti preko skaliranih i pomjerenih
verzija originalnog (majka) wavelet-a. Wavelet-i se ponašaju slično
kao ortogonalne baze. Sinteza signala se dobije kad se sumiraju sve
orogonalne projekcije signala na wavelet-e. Iako ne čine ortogonalnu
bazu već sadrže velik stepen redundantnosti, sinteza je moguća pod
navedenim uslovom.
Kontinualna Wavelet transformacija
Wavelet transformacija u osnovi imaju ideju posmatranja signala na
različitim skalama i sa različitim rezolucijama.
CWTx  ,  
1


 t  
x(t )h* 
dt *



f t   f at , a1 komprimova nje signala , a1 ekspanzija signala
CWTx  ,  
1



 t  
*
x(t )h* 
dt   x(t )h  t  dt * *
  
 

Interpretacija (*): sa porastom skale impulsni odziv filtra se širi u vremenu.
Interpretacija (**): sa porastom skale se kroz prozor fiksne dužine vidi sve
veći dio signala jer se vrši njegovo komprimovanje. Na ovaj način
posmatrano vidimo da skala kod WT ima isto značenje kao skala na
mapama: velika skala odgovara globalnom pogledu, dok mala skala
odgovara detaljnom pogledu. Na malim skalama bolje su uočljivi
promjene (detalji) signala tako da mala skala odgovara visokim
frekvencijama i obrnuto.
Kontinualna Wavelet transformacija
WT preslikava signal u domen vrijeme-skala.
STFT
Kontinualna Wavelet transformacija
spektogram (STFT)
Dirakov impuls
tri sinusoide
skalogram (WT)
Kontinualna Wavelet transformacija
Diskretizacija kontinualne Wavelet transformacije
Ako je u ravni vrijeme-frekvencija frekvencija odmjeravanja za skalu
a0 jednaka f0, onda je za skalu a1>a0 frekvencija odmjeravanja:
f1 
a0
f0
a1
Odmjeravanje se vrši na dijadičkoj rešetci:
   0j
  k 0j 0
c j ,k   x(t )h*j ,k (t )dt
x(t )  c
 c
j
k
j , k h j , k (t )

h j ,k (t )  0 j 2h 0 j t  k0

Ova relacija postaje jednakost ako se
pronađe takav h(t) da wavelet-i čine
ortonormalnu bazu.
Diskretna Wavelet transformacija
Zbog svojih karakteristika u frekvencijskom domenu diskretni
Waveleti se biraju za impulsne odzive filtara kod:

Piramidalnog kodovanja

Podopsežnog kodovanja
Multirezoluciona piramida
Podsjetimo se: na velikim skalama prošireni wavelet-i daju globalni
pogled (signal sabijen - subsampled), dok na malim skalama uski
wavelet-i analiziraju male detalje (razvučen signal).
g(n) – impulsni odziv NF filtra sa propusnim opsegom jednakim
polovini cijelog opsega
Multirezoluciona piramida
Multirezoluciona piramida
Po Nikvistovom kriteriju, zbog odsijecanja pola opsega, moguće je
uraditi subsampling, odnosno ispustiti svaki drugi odmjerak:
y n  

 g k x2n  k 
k  
Rezolucija se promijenila, izgubilo smo visokofrekventne
detalje. Promijena skale se desila zbog subsampling-a, tako
da pomak za dva u originalnom signalu rezultuje pomakom za
jedan u filtriranom signalu.
Multirezoluciona piramida
Rekonstrukcija:
 upsampling sa dva (ubacivanje po jedne nule između svaka dva
odmjerka)
 interpolacija sa idealnim polupojasnim NF filtrom
y ' 2n   y ' n , y ' 2n  1  0
an  

 g ' k y' n  k 
an   xn 
d n   xn   an 
k  
x(n) se može rekonstruisati ako znamo a(n) i d(n)
Redundantnost: d(n) sadrži
samo VF detalje signala x(n)
a odmjeren je kao x(n), može
se uzeti dva puta manje
odmjeraka!
Podopsežno kodovanje
Nema redundantnosti
Prva primjena u kompresiji govora
Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i
Uobičajen način dvodimenzionalnog proširenja je da se koristi tzv.
“separabilni wavelet-i”. 2D skalirajuća funkcija i 2D wavelet funkcije
se dobiju kao separabilni proizvodi 1D skalirajuće funkcije i 1D
wavelet-a:
g c  x, y   g c  x   g c  y 
hc1 x, y   g c x   hc  y 
hc2 x, y   hc x   g c  y 
hc3 x, y   hc x   hc  y 
Separabilna dvodimenzionalna banka filtara.
Subsampling sa 2 po svakoj dimenziji, tako da
je promjena skale 4 puta.
Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i
Multirezoluciona reprezentacija slike se u svakom nivou dekompozicije
sastoji od jedne diskretne slike aproksimacije na nižoj rezoluciji i tri slike
detalja. Višestrukim ponavljanjem dolazi se do slika sa sve nižom
rezolucijom – piramidalna dekompozicija.
jedan nivo dekompozicije
Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i
tri nivoa dekompozicije
Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i
Jedan i dva nivoa dekompozicije
Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i
Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i
Uobičajen pristup kompresiji slike wavelet transformacijom se
svodi na piramidalnu dekompoziciju slike u veći broj podopsega,
poslije čega se dobijeni podopsezi neovosno koduju.
Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i