Transcript ETM_11_03_2014

Uvod u Prenos Podataka 1. deo
Analogni signali i Furijeova analiza
Eksploatacija Telekomunikacionih Mreža
-Saobraćajni Odsek –
11-03-2014
Teorijske osnove prenosa podataka

Podaci se prenose signalima. Signal prenosi
informaciju koja je ugrađena (modulisana) u
signal. Za prenos informacija ključno je
poznavati tehnike analize signala

Furijeova analiza

Spektralno ograničeni signali

Maksimalna brzina prenosa podataka u kanalu
Signali u prirodi

Signali koje susrećemo u prirodi su analogni
•
Kontinualna funkcija vremena ili prostora
veličina koja nas zanima
vreme t (prostor x)
•
Beskonačno mnogo mogućih vrednosti u svakom
trenutku vremena (ili tački prostora)
Primeri signala u prirodi

Zvučni signal
•
•
Promena pritiska vazduha u vremenu
Može da se transformiše (mikrofonom) u
električni signal promene napona u vremenu
Primeri signala u prirodi

Signal slike
•
•
•
•

Kontinualna funkcija prostornih koordinata
2D signal: f(x,y)
• Signal osvetljaja u prostoru
2D signal boje
• Signal talasne dužine
u prostoru
CCD senzor
Video signal
• Promena signala slike
u vremenu
Primeri signala u prirodi



Temperaturno „polje“
EKG signal
MRI signal
Signali u prirodi

Analogni signali
•

Diskretni signali
•

Kontinualna funkcija nad kontinualnim skupom
• npr. promena temperature u vremenu
Kontinualna funkcija nad diskretnim skupom
• npr. vrednost temperature merena svakih sat
vremena
Digitalni signali
•
Diskretna funkcija nad diskretnim skupom
• npr. vrednost temperature zaokružena na jednu
decimalu i ograničena u intervalu [Tmin, Tmax] merena
svakih sat vremena
Analiza signala

Frekvencijska analiza signala
•
•

Periodični analogni signali
•

Povezuje vremenski domen i frekvencijski domen
Često se u frekvencijskom domenu lakše vrši
obrada signala
Razvoj u Furijeov red
Aperiodični analogni signali
•
Furijeova transformacija
Frekvencijska analiza signala

Furijeova analiza
•

Razdvajanje signala na sumu prostoperiodičnih
signala (sinusoida) različitih učestanosti
f(x) = sin 2π*50*x
Frekvencijska analiza signala

Furijeova analiza
•
Primer: suma dve sinusoide od 50Hz i 120Hz uz
aditivan Gausov šum
Periodični signali

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije

Niz periodičnih funkcija:
•

1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, ...
Sve funkcije niza su međusobno ortogonalne:
Furijeova analiza periodičnih signala
•
•
•
•
Svaki realan periodičan signal sa
periodom T = 2π može se predstaviti
kao linearna kombinacija signala iz
trigonometrijskog niza funkcija
• Proširenje za bilo koje T malo kasnije
Skup svih realnih periodičnih signala
sa periodom T = 2π – vektorski prostor
Periodični signali periode T = 2π – vektori
Signali trigonometrijskog niza – jedinični vektori
Furijeova analiza - formalno


Svaki periodičan signal f(x) periode T=2π može se
razložiti kao:
gde koeficijenti u linearnoj kombinaciji predstavljaju
„projekcije“ signala f(x) na jedinične vektore:
Furijeova analiza: Primer 1

Periodičan signal:
Furijeova analiza: Primer 1

Izračunavanje koeficijenata „po definiciji“:
Furijeova analiza: Primer 1
Furijeova analiza: Primer 1
Furijeova analiza: Primer 1
Furijeova analiza – za bilo koje T

Za periodičnu funkciju f(x’) bilo koje periode T
•
•
•
Cela teorija i dalje važi
Svodi se na isto jednostavnom smenom
promenjivih i promenom integracionog intervala sa
[-π, π] na [-T/2,T/2]
Smena promenjivih „reskalira“ (rasteže ili skuplja)
interval
[-π, π] na interval bilo koje dužine T: [-T/2,T/2]
Furijeova analiza – opšte formule


Svaki periodičan signal f(x’) periode T može se
razložiti kao:
gde koeficijenti u linearnoj kombinaciji predstavljaju
„projekcije“ signala f(x) na jedinične vektore
sin m(2π/T)x i cos m(2π/T)x:
Ugaona frekvencija

(linearna) frekvencija f = 1/T
•

ugaona (kružna) frekvencija ω = 2π ∙ f = 2π / T
•

broj perioda ponavljanja u jedinici vremena
ugao koji signal pređe u jedinici vremena
Razvoj u Furijeov red:
Furijeov red –
kompleksna predstava

Da li u razvoju funkcije u Furijeov red možemo da svedemo
sin(n 2πf x) i cos(n 2πf x) u jednu funkciju?
• Da li možemo umesto dve jedinične funkcije na frekvenciji f
da imamo samo jednu?
• Može: uvođenjem kompleksne sinusoide
Razvoj u Furijeov red preko kompleksnih sinusoida

Gde su kompleksne sinusoide definisane Euler-ovim formulama:

Kompleksna sinusoida
Spektar aperiodičnog signala

Diskretan skup harmonika na frekvencijama f
=n ∙ 1/T
Aperiodični signali




Aperiodičan signal može se posmatrati kao
periodičan signal čija perioda T → ∞
Osnovna frekvencija f = 1/T → 0
Harmonici (skup tačaka n∙1/T) „sve gušće“
pokrivaju skup frekvencija koje učestvuju u
formiranju signala
U graničnom slučaju kada T → ∞, skup
harmonika je kontinualan skup frekvencija f
Furijeova Transformacija

Furijeova analiza aperiodičnih signala

Može se izvesti iz razvoja u Furijeov red (T → ∞)
Furijeova Transformacija

Za generalnu funkciju f(t) dosta teško je
izračunati njenu FT F(ω)
•
•

Koristiti osobine FT (linearnost, pomeranje u
vremenu, skaliranje, konvolucija, izvod)
Koristiti tabele FT nekih jednostavnijih funkcija
Praktičan metod
•
•
•
DFT – Diskretna Furijeova Transformacija
FT signala diskretizovanog u N tačaka
Numerička aproksimacija FT
Energija signala i Parsevalova teorema


Kvadrat apsolutne vrednosti signala, │f2(t)│,
opisuje kako se energija sadržana u signalu
menja tokom vremena
Kvadrat apsolutne vrednosti spektra signala,
│F2(ω)│, opisuje kako se energija sadržana u
signalu menja po frekvencijama
Spektralno ograničeni signali
(a) Binarni signal i njegovi Furijeovi koeficijenti
(b) – (c) Sukcesivne aproksimacije originalnog signala
Spektralno ograničeni signali
(d) – (e) Sukcesivne aproksimacije originalnog signala
Pitanja?

Objasni pojmove analogni, diskretni i digitalni
signal. Kojim postupkom se analogni signal
pretvara u diskretan, a kojim postupkom se
diskretan signal pretvara u digitalan?


Deo odgovora na ovo pitanje je u sledećoj lekciji
Opisati rečima šta znači razviti periodičan signal
u Furijeov red. Nacrtati skicu primera jednog
periodičnog signala periode T i skicu njegovog
Furijeovog spektra sa harmonicima na
odgovarajućem rastojanju. Šta nam svaki
harmonik opisuje?
Uvod u Prenos Podataka
Eksploatacija Telekomunikacionih Mreža
-Saobraćajni Odsek –
11-03-2014