Slide 1

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 2

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 3

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 4

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 5

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 6

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 7

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 8

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 9

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 10

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 11

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 12

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 13

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 14

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 15

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 16

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 17

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 18

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 19

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 20

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 21

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 22

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 23

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 24

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.


Slide 25

LAPLACEOVA
TRANSFORMACIJA

Ivana Šoljić

Sadržaj:
 Uvod
 Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformacija
 Svojstva Laplaceovih transformacija
 Parcijalni razlomci
 Primjena Laplaceovih transformacija
 Literatura

PIERE SIMON DE LAPLACE
(1749 – 1827)
Veliki francuski matematičar
i fizičar, jedan od utemeljitelja
metričkog sustava, bavio se teorijom
potencijala i matematičkom
statikom. Dokazao stabilnost sunčevog sustava.

Uvod:
Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:

1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se rješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
originalne difrencijalne jednadžbe

 U tehničkoj literaturi, posebice u radovima
o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.
općenito je prihvaćena i uobičajena
primjena Laplaceove transformacije.

 Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original
(dakle pripada području definicije Laplaceove
transformacije ) , ako je ona definirana za t ≥ 0,
integrabilna na intervalu (0,), i ako je

f (t )  Ke

 ot

 0 i K = const

(1)

Ako je s kompleksna varijabla, tj. s    i , onda
funkciju

 st
(2)
F ( s)  e f (t ) dt


0

nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t) i
pišemo F(s)=L [f(t)].

Integrali su izračunati za različite realne funkcije,
i sastavljene su tablice transformacijskih parova.
Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog
područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za
razliku od F(s) = L [f(t)], kao izravne
transformacije, inverzna se transformacija
označavaja s f(t) = L-1[F(s)] :
f (t )  L

1

1

 F  s   
2 j

c  j



F ( s )e st ds (3)

c  j

gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira.

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
Funkcija f(t) se može transformirati ako
zadovoljava slijedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

1. Teorem
Ako je k kontanta ili veličina nezavisna od t i s,
i ako se funkcija f(t) može transformirati, tada
vrijedi
L{ k f(t) } = k L{ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.
Laplaceova transformacija je linearna operacija,
dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova
transformacija postoji i bilo koju konstantu a i b imamo:

L af (t )  bg (t )  aL  f  t    bL  g  t 

3. Teorem o pomaku.
Ako je L[f(t)] = F(s) kada je s  s0 , tada je

L [ eatf(t)] = F( s - a )

( s  s0 + a);

Dakle, množenje s eat u realnom području
ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.
Primjer 1.
sa
at


L  e cos t  
Dokažimo da je
( s  a) 2   2
a prema teoremu o pomaku,
s
L(cos t ) 

s2   2

sa
at


L  e cos t  
( s  a) 2   2





4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s) i
ako se prva derivacija od f(t) po vremenu d f (t )
dt
možemo transformirati, tada je:
d

L  f (t )   sF ( s)  f (0)
 dt


Transformacija druge derivacije je:
 d2

L  2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)
 dt


Transformacija n-te derivacije je:
 dn
 n
L  n f (t )   s F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  ....  f ( n1) (0)
 dt


Vidimo da se kod diferencijalnih jednadžba
početni uvjeti f(0), f'(0)…. f (n-1) (0) uključuju
automatski, dok se kod klasičnih metoda
rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje.

5. Teorem o integriranju.
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada je transformat integrala f(t):
(s > 0, s > s0).
t
 1
L   f ( ) d   F ( s )
0
 s

6. Teorem o retardaciji .
Ako je Laplaceov transformat od f(t) jednak F(s),
tada za vremenski pomak funkcije f(t) za vrijdnost a
(pozitivan realni broj) daje transformat:

L  f  t  a  ua (t )   e F ( s)
 as

gdje je ua(t) Heavisideova funkcija (jedinična
skokomična funkcija):

(a
(a ≥ 0)

0 za tua (t )  
1 za t>a

(a ≥ 0)

Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s), a lim f(t) postoji
kad t, tada je:

lim sF ( s)  lim f (t )
s 0

t 

8. Teorem konačne vrijednosti.
Ako se f(t) i df(t)/dt mogu transformirati i ako je
transformat od f(t) jednak F(s),a postoji lim sF(s),
tada je :

lim sF (s)  lim f (t )
s 

t 0

4. Parcijalni razlomci
Za primjene je osobito važna inverzna
transformacija razlomljene racionalne
funkcije s obzirom na s.
Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke
i onda se prema teoremu o linearnosti možemo
ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih
razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka
preslikanih u realno područje.

Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer
dvaju polinoma G(s) i H(s), koji su redova m i n, i koji se
mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:
G(s) am s m  am1s m1   a1s  a0
F ( s) 

H ( s)
s n  bn1s n1   b1s  b0

am i bn su realne konstante, a koeficijent najviše
potencije od s u nazivniku može se izjednačiti s
jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > m i da je
stoga F(s) pravi razlomak.
*

5. Primjena Laplaceovih
transformacija
Primjer 3. Diferencijalna jednadžba koja opisuje linearni
proces prvog reda ima oblik:

dy (t )

 y  kx(t )
dt
x(t) – ulazna veličina
y(t) – izlazna veličina
τ – vremenska konstanta
k – statička osjetljivost
dy(t)/dt - brzina promjene ili derivacija izlazne veličine

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se
jedinična skokomična pobuda (x(t) je Heavisideova funkcija).
Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)) uz nulte početne
uvjete y(0) = x(0) = 0.
Prevođenje u Laplaceovo područje
  sY ( s)  y (0)  y ( s )  kX ( s )
Y ( s)  s  1  kX ( s)
k
Y ( s) 
X ( s)
 s 1

u Laplaceovom području
k
Y (s) 

k 1
k



 s  1 s  (s  1 )s (s  1 )s





1
X ( s) 
s
K 

k



K
A
B
Y (s) 


1
1 s
(s  )s s 





1

K  As  B( s  )



1

s :



s  0:

1
 1 1
K  A( )  B ( )    A( )  A  k


  
1

1

1





K  A  0  B(0  )  B



 1  1
Y ( s )  k 
k 
1
s  s
 

 Bk

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području
vraćamo se u realno područje:

y(t )  L1 Y  s   k  e
Odzivna funkcija:



1
 t



 k 1

t

y (t )  k (1  e  )
y(t)

x(t)

k

x(t)

0

t

y+y=kx

y(t)

0

t

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon
trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja
novo ustaljeno stanje.

6. Literatura


Ervin Kreyszig: Advanced Engineering
Mathematics second edition, John Wiley & Sons,
Inc. New York-London-Sydney 1967



I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički
priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga,
Zagreb 1991.



J. Božićević: Automatsko vođenje procesa,
Tehnička knjiga, Zagreb 1971.