Transcript 02_Kvalitet.Rev1

KVALITET SISTEMA
AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Kod projektovanja ili ocene kvaliteta sistema
automatskog upravljanja kao što je
regulisani elektromotorni pogon, bitna su tri
kriterijuma:
 stabilnost
 statička karakteristika
3 kriterijuma
 dinamička karakteristika
Analiza prema redosledu i važnosti:
stabilnost, zatim ponašanje u stacionarnom stanju,
i na kraju kvalitet prelaznog režima.
1
Stabilnost
• Teorema Ljapunova o stabilnosti
dinamičkih sistema
Za linearne dinamičke sisteme
• Algebarski kriterijumi stabilnosti
• Grafo-analitički kriterijumi stabilnosti
Алекса́ндр
Миха́йлович
Ляпуно́в,
1856-1918
Za stacionarne, kontinualne, fizički ostvarive, linearne sisteme sa
koncentrisanim parametrima, potreban i dovoljan uslov za
stabilnost jeste da svi koreni njegove karakteristične jednačine
imaju negativne realne delove ili, što je isto, da leže u levoj
poluravni kompleksne promenljive p. [1].
[1]. M. Stojić, Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, Naučna knjiga, Beograd
2
Kontinualni sistemi
Svi koreni karakteristične jednačine u levoj polovini
kompleksne ravni:
N  p
Fw  p  
D  p
D  p   an  p n  ...  a1  p  a0  an   p  p1  p  p2  ...  p  pn   0
Re( pi )  0, j  1,..., n
U opštem slučaju, za kompleksna rešenja, uslov je
Re(pj)<0,
U slučaju realnih rešenja karakteristične jednačine,
uslov se svodi se na
pj <0
3
Diskretni sistemi
Potreban i dovoljan uslov za globalnu asimptotsku
stabilnost linearnog digitalnog (diskretnog) sistema
x(tk 1 )  A  x(tk )
je da sve nule svojstvenog polinoma matrice A,
odnosno svi koreni karakteristične jednačine
det( z  I  A)  0
budu po modulu manji od 1 ili, što je isto, da se nalaze
unutar jediničnog kruga sa centrom u koordinatnom
početku z ravni [1].
[1]. M. Stojić, Digitalni sistemi upravljanja, Nauka, Beograd
4
Statičke karakteristike
Posmatrajmo sistem:
u
+
e
_
W(p)
y
W  p
W  p
Y
Fw  p    p  
 Y  p 
U  p
U
1W  p
1W  p
Pretpostavimo da je sistem stabilan.
5
Greška je:
1
E  p  U  p Y  p 
U  p
1W  p
e     lim e  t   lim  u  t   y  t    lim pE  p 
t 
Odnosno:
t 
e  
p 0
p U  p 
1W  p
p 0
Uzmimo dalje da se W(p) u opštem slučaju može predstaviti u
obliku:
k  P  p
W  p  r
p  Q0  p 
P  0   Q0  0   1
r - je astatizam sistema
6
Astatizam sistema
W  p 
k  P  p
p  Q0  p 
r
P  0   Q0  0   1
ako je r = 0 (nulti astatizam),
lim W  p   k
p 0
lim p W  p   0
p 0
lim p 2 W  p   0
p 0
ako je r = 1 (astatizam prvog reda),
lim W  p   
p 0
lim p W  p   k
p 0
lim p 2 W  p   0
p 0
ako je r = 2 (astatizam drugog reda),
lim W  p   
p 0
Konstanta položaja
lim p W  p   
p 0
Brzinska konstanta
lim p 2 W  p   k
p 0
Konstanta ubrzanja
7
Sistem nultog astatizma
limW  p   k  k p
p 0
- konstanta položaja
Posmatrajmo sistem kada se na ulaz dovede odskočni signal:
u0
u  t   u0  h  t 
U  p 
p
u0
p
e  
1W  p
p

u0
1 kp
p 0
ako je r = 0, kp = k
za
r > 0, kp→∞
greška postoji
e()=u0/(1+k)
greška ne postoji
e(∞)→0.
8
Odziv sistema sa nultim astatizmom
u vremenskom domenu.
r > 0, kp→∞, greška ne postoji
r = 0, kp = k greška postoji
9
Sistemi sa astatizmom prvog reda
lim pW  p   k  kv - brzinska konstanta
p 0
Posmatrajmo sistem kada se na ulaz dovede linearna funkcija
(rampa):
u0
u (t )  u0  t
U  p   2 Primer „soft start”
Konstantno ubrzanje.
p
u0
u
p
e  
 0
1W  p
kv
p 0
r 0
kv  0
e    
r 1
kv  k
e     u0 / k Greška ima konačnu vrednost.
r 1
kv   e     0
Greška se povećava.
Greška ne postoji.
10
kp = k, greška postoji
kv = 0, e(∞) → ∞
Vremenski odziv sistema sa astatizmom nultog
reda kada se na ulaz dovede “rampa” funkcija.
11
kp
kv≠0
kv=k
Odziv sistema sa astatizmom prvog reda
kada se na ulaz dovede “rampa” funkcija
12
kp
kv
Odziv sistema sa astatizmom drugog reda
kada se na ulaz dovede “rampa” funkcija
13
Sistemi sa astatizmom drugog reda
lim p 2 W  p   k  ku - konstanta ubrzanja
p 0
Posmatrajmo sistem kada se na ulaz dovede polinomijalna funkcija
(na pr. kvadratna):
u0
2
u (t )  u0  t
U  p  3
p
u0
p2
e  
1W  p

u0
ku
Primer: zadavanje
ciljne (referentne)
pozicije kod sistema
za pozicioniranje.
p 0
r2
ku  0
e    
r 2
ku  k
e     u0 / k Greška ima konstantnu vrednost.
r 2
ku   e     0
Greška se povećava.
Greška ne postoji.
14
kp
r=2 ku=k
r=1<2, ku=0, e(∞)→∞
Greška se povećava
Odziv sistema kada se na ulaz dovede signal
sa kvadratnom zavisnosti od vremena
15
Statička greška kod sistema sa
dva ulaza
up
uu
+
–
F1(p)
x
+
–
y
F2(p)
uu – Upravljački ulaz
up – Poremećaj
16
Statička greška kod sistema sa
dva ulaza
e     lim  uu  t   y  t    lim p  E  p 
t 
p 0
E  p   Uu  p   Y  p 
X  p   F1 ( p )  U u  p   Y  p  
Y  p   F2 ( p )   X  p   U p  p  

F2
y  p 
  F1  U u  p   U p  p  
1  F1  F2
F2
1
E  p 
U u  p  
U p  p 
1  F1  F2
1  F1  F2
17
Uprošćeni primer regulisanog pogona
Uu  p  
ω*
*
mm
U p  p 
p
p
uu(t)
up(t)
mm
t
t
mm
ω*
+
–
k
–
me
+
1
p  Tm
ω
18
Odloženo dejstvo poremećaja
Uu  p  
ω*
*
U p  p 
p
uu(t)
mm  pt0
e
p
up(t)
mm
t
t0
t
mm
ω*
+
–
k
–
me
+
1
p  Tm
ω
19
Uprošćeni primer regulisanog pogona
a) Proporcionalni regulator brzine, veoma brz odziv momenta,
Njutnova jednačina
F1 ( p)  k
mm  0
1
F2 ( p ) 
p  Tm
E  p 

*
 p p
e     lim 
p 0 
k
1

p  Tm

F2
1
U u  p  
U p  p 
1  F1  F2
1  F1  F2


0



 
mm
1 

*
mm  0
p

 p p
p p  Tm

e     lim

p 0 
k
k
1
1

p  Tm
p  Tm


m
 m
k



20
Uprošćeni primer regulisanog pogona
b) Proporcionalno-Integralni regulator brzine,
veoma brz odziv momenta, Njutnova jednačina
1  p  Ti
1
F1 ( p)  k
 K p  Ki 
p  Ti
p
mm
Kp
ω*
+
+
–
1
Ki 
p
1
F2 ( p ) 
p  Tm
+
me
+
–
1
p  Tm
ω
21
Uprošćeni primer regulisanog pogona
b) Proporcionalno-Integralni regulator brzine,
veoma brz odziv momenta, Njutnova jednačina
1  p  Ti
F1 ( p )  k
p  Ti
mm  0
1
F2 ( p ) 
p  Tm

*
p

p
e     lim 
p 0 
1  p  Ti
1
1 k 


p  Ti
p  Tm



0



 
mm  0
mm
1


*
p

p

p p  Tm
p

e     lim

p 0 
1  p  Ti
1  p  Ti
1
1
1 k 

1 k 


p  Ti p  Tm
p  Ti p  Tm


0


 22
Dinamičke karakteristike
• Posmatramo sisteme drugog reda
• Promena upravljačkog ulaza kao “step
funkcija”
• Dva različita slučaja:
– Sa konjugovano kompleksnim polovima.
– Sa realnim polovima (koji u opštem slučaju
nisu jednaki, ali bi mogli biti).
23
Dominantni konjugovano-kompleksni polovi
n2
Fw ( p)  2
p  2    n  p  n2
u(t)
U(p)
y(t)
Y(p)
Fw(p)
u0
u (t )  u0  h(t )
U ( p) 
p
u0
n2
Y ( p)  U ( p)  Fw ( p)   2
p p  2    n  p  n2
y (t )  £ 1 U ( p )  Fw ( p )  

1
 u0  1 
 e  n t  cos
1  2

  arccos

1  2



1    n  t   

2

24
Dominantni konjugovano-kompleksni polovi
Korišćene oznake:
ωn
ζ
π
Ts
Tk

Tu
Td
Tr
– prirodna (neprigušena) učestanost
– faktor relativnog prigušenja
– preskok [%]
– vreme smirivanja
– vreme kašnjenja
– period oscilacija
– vreme uspona
– dominantna vremenska konstanta
– vreme reagovanja
25
Dominantni konjugovano-kompleksni polovi
1.6
Td
Ts
ymax
1.4
1.2
Ts
±5%
(±2%)
u(t), y(t)
1
0.8
0.6
0.63
 u0
Td
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
Vreme, t [s]
12
14
16
18
20
26
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Vreme, t [s]
Dominantni konjugovano-kompleksni
polovi
1.6
T10
T90
ymax
1.4
1.2
u(t), y(t)
1
Tr
0.8
Tk
0.6
0.5 u0
0.4
Tu
0.2
0
0
1
2
Vreme, t [s]
3
4
5
27
Dominantni konjugovano-kompleksni polovi
1.6
τ
t
t 
y max
1.4
π
1.2
u(t), y(t)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
Vreme, t [s]
8
10
12
28
Dominantni realni polovi (dva realna pola)
p1  p2
1
Fw ( p) 

 p  p1    p  p2  T1  p  1  T2  p  1
T1 
1
p1
T2 
1
p2
u (t )  u0  h(t )
Y ( p)  U ( p)  Fw ( p)
y (t )  £
1
U ( p)  Fw ( p) 
U ( p) 
u(t)
U(p)
Fw(p)
u0
p
y(t)
Y(p)

p1
p2
 p2 t
 p1 t 
 u0  1 
e

e 
p1  p2
 p1  p2


T1
T2
 t / T1
 t / T2 
 u0  1 
e

e

T

T
T

T

1
2
1
2

29
Dominantni realni polovi (dva realna pola)
Korišćene oznake:
Ts
Tk
Tu
Td
– vreme smirivanja
– vreme kašnjenja
– vreme uspona
– dominantna vremenska konstanta
Ne mogu se definisati:
ωn
ζ
π
τ
Tr
– prirodna (neprigušena) učestanost
– faktor relativnog prigušenja
– preskok [%]
– period oscilacija
– vreme reagovanja
30
Dominantni realni polovi (dva realna pola)
1.6
Td
Ts
1.4
1.2
±5%
(±2%)
u(t), y(t)
1
Ts
0.8
0.6
0.63
 u0
Td
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
Vreme, t [s]
6
7
8
9
10
31
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Vreme, t [s]
Dominantni realni polovi
(dva realna pola)
1.6
T10
T90
1.4
1.2
u(t), y(t)
1
0.8
Tk
0.6
0.5 u0
0.4
Tu
0.2
0
0
1
2
Vreme, t [s]
3
4
5
32
Matlab/Simulnik model
33