Transcript Prosojnice predavanj

REALNE FUNKCIJE ENE
REALNE SPREMENLJIVKE
3.1. Definicija in podajanje funkcije
3.2. Lastnosti funkcije (omejenost, monotonost)
3.3. Limita funkcije
3.4. Zveznost funkcij
3.5. Odvod funkcije
3.6. Uporaba odvoda
3.6.1. Enačba tangente in normale na krivuljo
3.6.2. De l’Hospitalovo pravilo
3.6.3. Diferencial funkcije
3.6.4. Taylorjeva vrsta
3.6.5. Ekstrem funkcije
3.6.6. Konkavnost, konveksnost in prevoj
3.7. Nedoločeni integral
3.8. Določeni integral
3.9. Uporaba določenega integrala
3.9.1. Ploščina med krivuljama
3.9.2. Prostornina vrtenine
3.1. Definicija in podajanje funkcije
DEFINICIJA. Funkcija f: IR → IR je predpis, ki
vsakemu številu x iz množice Df ⊆ IR priredi
enolično določeno število y = f(x) ∈ IR.
x - neodvisna spremenljivka, y - odvisna spremenljivka
Df - definicijsko območje funkcije
Df := {x ∈ IR; y = f(x) ∈ IR} ⊆ IR
Zf - zaloga vrednosti ali zaklad funkcije,
Zf := {y ∈ IR; ∃ x ∈ Df , tako da je y = f(x)} ⊆ IR
Primer. Poiščite definicijsko območje in zalogo
vrednosti danih funkcij.
f ( x)  x 2
g ( x)  x3
x 1
h( x ) 
x2
u( x)  2x
v( x)  log x
w( x)  x  3
Podajanje funkcije
1. Opisno
2. Analitično – z enačbo
2.1. F(x, y) = 0
implicitna (nerazvita) oblika
2.2. y = f(x), x ∈ Df
razvita (eksplicitna) oblika
2.3. x = x(p), y = y(p) parametrična oblika
p ∈ IR parameter
3. Grafično
Gf := {(x, y); x ∈ Df ∧ y = f(x)} graf funkcije
PRIMER
1.
Krožnica s središčem v koordinatnem
izhodišču in polmerom 5.
2.1.
x 2  y 2  25  0
2.2.
y1   25  x 2 ,
y2   25  x 2 ,
implicitna oblika
x ∈ [−5, 5]
x ∈ [−5, 5]
2.3. x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ, ϕ ∈ IR
eksplicitna oblika
eksplicitna oblika
parametrična oblika.
3.2.2. Omejenost funkcije
DEFINICIJA. Funkcija f je na intervalu [a, b] ⊆ Df navzgor
omejena natanko tedaj, ko obstaja tako realno število G, da velja
ocena
f (x) ≤ G za vsak x ∈ [a, b].
Število G je zgornja meja funkcije na danem intervalu.
DEFINICIJA. Funkcija f je na intervalu [a, b] ⊆ Df navzdol
omejena natanko tedaj, ko obstaja tako realno število g, da velja
ocena
f (x) ≥ g za vsak x ∈ [a, b].
Število g je spodnja meja funkcije na danem intervalu.
DEFINICIJA.
Funkcija f je omejena na intervalu [a, b] ⊆ Df,
natanko tedaj, ko je na tem intervalu omejena
navzgor in navzdol.
DEFINICIJA. Natančna zgornja meja funkcije f na
intervalu [a, b] je najmanjša zgornja meja.
sup{ f (x); x ∈ [a, b] } := M[a,b]
DEFINICIJA. Natančna spodnja meja funkcije f na
intervalu [a, b] je največja spodnja meja.
inf{ f (x); x ∈ [a, b] } := m[a,b]
Če je funkcija navzgor omejena na intervalu
[a, b], velja za vsak x ∈ [a, b] ocena
f (x) ≤ M[a,b].
Če je funkcija navzdol omejena na intervalu
[a, b], velja za vsak x ∈ [a, b] ocena
f (x) ≥ m[a,b].
Če je funkcija omejena na intervalu [a, b], potem
velja za vsak x ∈ [a, b] ocena
m[a,b] ≤ f (x) ≤ M[a,b].
Primeri. Raziščite omejenost danih funkcij.
f ( x)  x 2 na množiciIR
g ( x)  x 2 na intervalu- 3,3
h( x)  x3 na množiciIR
u( x)  2 x na množiciIR
v( x)  log x na množiciIR
w( x)  sin x na množiciIR
3.2.3. Monotonost funkcije
DEFINICIJA. Funkcija je naraščajoča na intervalu
[a,b] natanko tedaj, ko velja za poljubni števili x1, x2  a, b
sklep
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
DEFINICIJA. Funkcija je strogo naraščajoča na
intervalu [a,b] natanko tedaj, ko velja za poljubni števili
x1 , x2  a, b sklep
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
DEFINICIJA. Funkcija je padajoča na intervalu [a,b]
natanko tedaj, ko velja za poljubni števili x1, x2  a, b
sklep
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
DEFINICIJA. Funkcija je strogo padajoča na intervalu
[a,b] natanko tedaj, ko velja za poljubni števili x1, x2  a, b
sklep
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
Funkcija f je (strogo) naraščajoča (oziroma
padajoča) v točki a ∈ Df natanko tedaj, ko je (strogo)
naraščajoča (oziroma padajoča) v neki okolici točke
a.
Obstaja tako realno število ε > 0, da je f (strogo)
naraščajoča (oziroma padajoča) na intervalu
Uε(a) = (a − ε, a + ε).
Primer. Raziščite naraščanje oziroma padanje danih
funkcij.
f ( x)  x 2
g ( x)  x 3
h( x)  2 x
1
u ( x) 
x
3.3. Limita funkcije
DEFINICIJA. Naj bo a notranja točka definicijskega
območja funkcije f. Število A je limita funkcije f v točki
a natanko tedaj, ko za vsak ε > 0 obstaja δ > 0, tako da
velja sklep
|h| < δ ⇒ | f(a + h) − A | < ε.
f ( x)
Zapis: A  lim
x a
f ( x) natanko tedaj, ko za poljuIZREK. A  lim
x a
bno zaporedje {an; n ∈ IN}, ki konvergira k a,
konvergira zaporedje funkcijskih vrednosti
{f(an); n ∈ IN} k vrednosti A.

an n
 a 

f (an ) n
 A
IZREK. Funkcija f je v točki a zvezna natanko
tedaj, ko je
lim f ( x )  f ( a )
xa
Primer. Izračunajte dane limite.
x2  x  2
lim 2
x 3 x  x  1
x2  4
lim 2
x 2 x  5 x  6
(2 x  3)( x  5)
lim
x  2 2 x 2  3 x  5
DEFINICIJA. Naj bosta f in g poljubni funkciji
in naj bo x ∈ Df ∩Dg. Na množici Df ∩Dg lahko
tedaj definiramo funkcije f + g, f − g, f g in f/g:
(f + g)(x) := f(x) + g(x)
(f − g)(x) := f(x) − g(x)
(f g)(x) := f(x) g(x)
f
f ( x)
( x) :
g
g ( x)
IZREK. Naj bosta f in g poljubni funkciji in naj obstajata limiti
lim f ( x ) ter lim g ( x ) . Tedaj obstajajo tudi limite funkcij f + g,
x a
x a
f − g, f g in kf, pri čemer je k poljubna konstanta. Pri tem veljajo
enakosti
lim( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x)
x a
xa
xa
lim( f ( x ) g ( x ))  ( lim f ( x ) ) ( lim g ( x ) )
xa
xa
xa
lim k f ( x)  k lim f ( x)
x a
xa
Če je lim g ( x )  0 , obstaja tudi limita funkcije f / g in velja
xa
lim f ( x)
f ( x)
lim
 x a
x a g ( x)
lim g ( x)
x a
DEFINICIJA. Neprava limita funkcije
lim f ( x)  
xa
lim f ( x )  
xa
DEFINICIJA. Limita v neskončnosti.
Število C je limita funkcije, ko gre x čez vse meje
v pozitivno smer:
lim f ( x)  C
x 
Število D je limita funkcije, ko gre x čez vse meje
v negativno smer:
lim f ( x )  D
x  
Primer. Izračunajte dane limite.
1
lim 2
x 0 x
1
lim
x0 x
2x  5
x  4 x  1
lim
2x  3
lim 2
x  x  2 x  5
3x 2  4 x  2
lim
x 
2x  3
3.4. Zveznost funkcije
DEFINICIJA. Funkcija je zvezna v notranji točki a definicijskega območja Df natanko tedaj, ko za vsak ε > 0 obstaja δ > 0,
tako da velja sklep
|h| < δ ⇒ |∆f | = | f (a + h) − f (a) | < ε.
(Majhna sprememba neodvisne spremenljivke povzroči ustrezno majhno
spremembo funkcijske vrednosti.)
IZREK. Naj bo funkcija f v točki a zvezna. Za poljubno
zaporedje {an; n ∈ IN}, ki konvergira k a, konvergira zaporedje
funkcijskih vrednosti { f (an); n ∈ IN } k f (a):


an n
 a  f (an ) n
 f (a)
DEFINICIJA. Naj bo {an; n ∈ IN}, poljubno
naraščajoče zaporedje, ki konvergira k a. Leva limita
funkcije f v točki a je enaka limiti zaporedja
{f(an); n ∈ IN}, če ta limita obstaja.
f (a  0) : lim f (an )
an  a
an  a
DEFINICIJA. Naj bo {an; n ∈ IN}, poljubno
padajoče zaporedje, ki konvergira k a. Desna limita
funkcije f v točki a je enaka limiti zaporedja
{f(an); n ∈ IN}, če ta limita obstaja.
f (a  0) : lim f (an )
an  a
an  a
IZREK. Funkcija f je zvezna v notranji točki a
definicijskega območja Df natanko tedaj, ko je
f(a − 0) = f(a + 0) = f(a).
DEFINICIJA.
Točka nezveznosti prve vrste: obstajata leva limita
f(a − 0) in desna limita f(a + 0), vsaj ena od teh limit
pa ni enaka f(a).
Točka nezveznosti druge vrste: vsaj ena od limit
f(a − 0) in f(a + 0) ne obstaja.
Primer. Poiščite in analizirajte točke nezveznosti danih
funkcij.
 1, če je x  0

sign( x)   0, če je x  0
 1, če je x  0

(signum x = predznak števila x)
1
f ( x) 
x
 x, če je x  2
g ( x)  
4  x, če je x  2
(odpravljiva nezveznost)
DEFINICIJE.
Funkcija je zvezna v robni točki a definicijskega
intervala Df = [a, b] natanko tedaj, ko je vrednost
funkcije f v točki a enaka desni limiti te funkcije v
točki a:
f(a) = f(a + 0).
Funkcija je zvezna v robni točki b definicijskega
intervala Df = [a, b] natanko tedaj, ko je vrednost
funkcije f v točki b enaka levi limiti te funkcije v
točki b:
f(b) = f(b − 0).
Funkcija je zvezna na intervalu [a, b] ⊆ Df natanko
tedaj, ko je zvezna v vsaki notranji točki tega intervala,
v točki a zvezna z desne, v točki b pa zvezna z leve.
Funkcija je zvezna na definicijskem območju Df
natanko tedaj, ko je zvezna v vsaki točki definicijskega
območja.
POSLEDICA. Naj bosta f in g zvezni funkciji v točki a.
Tedaj so v točki a zvezne tudi funkcije f + g, f − g in f g.
Če je f (a)  0, je v točki a zvezna tudi funkcija f/g.
IZREK. Če je funkcija f zvezna v točki a, funkcija g pa
v točki f(a), je v točki a zvezen tudi kompozitum g ◦ f.
POSLEDICA. Naj bo f zvezna monotona funkcija.
1
f
Tedaj obstaja tudi inverzna funkcija
in je zvezna
funkcija.
IZREK. Naj bo f zvezna na omejenem zaprtem
intervalu [a, b] . Če je f (a)  f (b) , zavzame funkcija f
na tem intervalu vsako vrednost med f(a) in f(b) vsaj
enkrat.
IZREK. Naj bo funkcija f zvezna na intervalu [a, b].
Tedaj je f na tem intervalu omejena.
IZREK. Kompozitum zveznih funkcij je zvezna
funkcija.
IZREK. Inverzna funkcija zvezne funkcije je
zvezna funkcija.
ODVOD FUNKCIJE
3.5. Odvod funkcije
Isaac NEWTON (1642 – 1727 )
Gottfried Wilheim von LIEBNITZ (1646 – 1716 )
f: IR → IR, a notranja točka Df , funkcija f zvezna v
točki a
∆x, h - sprememba neodvisne spremenljivke
∆f - sprememba odvisne spremenljivke
Funkcija f je zvezna v točki a, zato velja
lim f ( x)  lim( f (a  h)  f (a ) )  0
x 0
h 0
DEFINICIJA. Diferenčni količnik funkcije f v
točki a je količnik
f
f ( a  h)  f ( a )

x
h
0
0
Pri h = 0 je diferenčni količnik nedoločen: .
DEFINICIJA. Odvod funkcije f v točki a je enak
limiti diferenčnega količnika, ko gre h proti 0
(oziroma x proti 0)
f ( a  h)  f ( a )
f
f ' (a )  lim
 lim
h 0
x 0 x
h
če ta limita obstaja in je končna (tedaj pravimo, da
je funkcija f odvedljiva v točki a).
Geometrijska interpretacija odvoda
Funkcija f naj bo v točki a zvezna in odvedljiva.
Sekanta na graf funkcije f je premica, ki gre skozi
točki T(a, f(a)) in T’(a+h, f(a+h)).
Smerni koeficient sekante ks je
f ( a  h)  f ( a )
k s  tan  s 
h
αs je kot, ki ga sekanta oklepa s pozitivnim
poltrakom osi x.
Ko gre h proti 0, zdrsne točka T’ po grafu funkcije f v
točko T. Pri tem se sekanta presuče v tangento na
krivuljo y = f(x) v točki T. Zato je smerni koeficient
tangente enak
f ( a  h)  f ( a )
kt  tan  t  lim
 f ' (a)
h 0
h
αt je kot, ki ga tangenta oklepa s pozitivnim poltrakom osi x.
POSLEDICE:
f ' (a)  0 tangenta je vodoravna, a je stacionarna
točka funkcije f.
f ' (a)  0 v točki a je funkcija naraščajoča.
f ' (a)  0 v točki a je funkcija padajoča.
DEFINICIJA. Naj bo x poljuben element definicijskega območja Df funkcije f. Odvod f ’ funkcije f v
točki x je
f ( x  h)  f ( x )
f ' ( x) : lim
h 0
h
če ta limita obstaja in je končna.
Diferencialna oblika zapisa odvoda:
df
: f ' ( x)
dx
Funkcija f je odvedljiva na intervalu [a, b], če je
odvedljiva v vsaki notranji točki intervala, v točki a
odvedljiva z desne
f ( a  h)  f ( a )
f ' (a )  lim
h  0
,
h
v točki b pa z leve
f (b  h)  f (b)
f ' (b)  lim
h  0
.
h
Funkcija f je odvedljiva na definicijskem območju Df,
če je odvedljiva v vsaki točki definicijskega območja.
VELJA: če je funkcija odvedljiva, je zvezna.
Obratni sklep nasploh ne velja.
Primer. Izračunajte odvod funkcije f ( x)  x2 . Uporabite definicijo
odvoda.
Primer. Pokažite, da funkcija f ( x)  x ni odvedljiva v točki
x = 0.
Odvodi elementarnih funkcij
Funkcija f(x)
Konstantna funkcija
Potenčna funkcija
Eksponentna funkcija
C
xn
ax
ex
Logaritemska funkcija
loga x
Trigonometrične funkcije
Odvod f ’(x)
0
nxn 1
a x ln a
ex
1
x ln a
ln x
1
x
sin x
cos x
cos x
 sin x
tan x
1
cos2 x
1
sin 2 x
cot x

Funkcija f(x)
Obratne trigonometrične
funkcije
Odvod f ’(x)
1
arcsin x
arccosx
1 x2

1
1 x2
arctan x
1
1 x2
arc cot x
1

1 x2
Pravila za odvajanje funkcij
Naj bosta f , g : IR  IR odvedljivi funkciji.
( f  g )'( x)  f ' ( x)  g ' ( x)
Odvod vsote (razlike)
Odvod produkta
( fg )'( x)  f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x)
(cg)'( x)  cg' ( x)
Odvod količnika
( )' ( x) 
f
g
f '( x ) g ( x )  f ( x ) g ' ( x )
g 2 ( x)
Odvod posredne funkcije (kompozituma)
f (u ( x))' f ' (u )u ' ( x)
df df du

dx du dx
(v diferencialni obliki)
Primer. Izračunajte odvode danih funkcij.
f ( x)  x3  5x2  7 x  6
g ( x)  2x x
h( x)  x 2 ln x
x2 1
u ( x)  2
x 1
v( x)  ( x 2  1)3
w( x)  ln2 (2x  1)
Odvod inverzne funkcije
Naj bo f povratno enolična in odvedljiva funkcija.
y  f ( x) inverzna
funkcija
 x  f ( y)  y  f 1 ( x)
Odvajamo enačbo
f ' ( f 1 ( x)) ( f 1 ( x))' 1
1
1
( f ( x))'
V diferencialni obliki:
f ' ( f 1 ( x))
df 1

dx
1
df
df 1
Odvod implicitno podane funkcije
Naj bo funkcija podana v nerazviti obliki (implicitno)
F(x, y(x)) = 0. Z odvajanjem enačbe
F(x, y(x)) = 0
lahko izračunamo odvod y’(x) brez poznavanja razvite
oblike enačbe funkcije y(x) .
Primer. Izračunajte odvod funkcije, podane z enačbo
x 2  y 2  25
3.6. Uporaba odvoda
3.6.1. Enačba tangente in normale na krivuljo
Naj bo funkcija f odvedljiva v točki x = a. V točki
T(a, f(a)) tedaj obstaja tangenta in normala na graf
funkcije f (na krivuljo y = f(x)).
Enačba tangente točki T(a, f(a)):
y  f ( a )  f ' ( a) ( x  a)
Enačba normale v točki T(a, f(a)) (upoštevamo, da je
1
k n   ):
1
kt
y  f (a)  
f ' (a)
( x  a)
Primer. Zapišite enačbo tangente in normale na graf funkcije
f ( x)  x 2 v točki z absciso x0  1 .
3.6.2. De l’Hospitalovo pravilo
IZREK 1. Naj bosta funkciji u, v: IR → IR v okolici
U(a) točke a definirani in odvedljivi in naj bo
u(a) = v(a) = 0. Tedaj je
u ( x)
u ' ( x)
lim
 lim
x a v( x)
x a v' ( x)
IZREK 2. Naj bosta funkciji u, v: IR → IR v okolici
U(a) točke a definirani in odvedljivi povsod razen v
točki a in naj velja
lim u ( x )   ,
lim v ( x )  
xa
xa
Tedaj je
u ( x)
u ' ( x)
lim
 lim
x a v( x)
x a v' ( x)
Primer. Izračunajte dane limite.
lim
x 1
ln x
x 1
sin x
lim
x0
x
1 
 1
lim


x 0 sin x
tan x 

ln x
x  x
lim
3.6.3. Diferencial funkcije
Naj bo funkcija f odvedljiva v točki x. Tedaj velja
f  df  f ' ( x)dx  f ' ( x)x
x
sprememba neodvisne spremenljivke x
dx diferencial neodvisne spremenljivke x
f sprememba vrednosti funkcije
df diferencial funkcije
4
f
(
x
)

x
Primer. Dana je funkcija
. Primerjajte dejansko
spremembo te funkcije in njen diferencial, če povečamo
neodvisno spremenljivko z 1 na 1,01.
Odvodi višjega reda
Naj bo funkcija f odvedljiva v okolici U(x) točke x. Če
je tudi f ’: IR → IR odvedljiva funkcija, je
drugi odvod f ’’(x) := (f ’ (x))’.
Če je tudi f ’’: IR → IR odvedljiva funkcija, je
tretji odvod f ’’’(x) := (f ’’(x))’.
Če je tudi f ’’’: IR → IR odvedljiva funkcija, je
četrti odvod f ( 4) ( x) : ( f ' ' ' ( x))' .
……………………………………………
n-ti odvod (odvod reda n) f ( n) ( x) : ( f ( n1) ( x))'
Primer. Izračunajte vse višje odvode danih funkcij.
f ( x)  2x 4  7 x 2  5x 10
g ( x)  e x
3.6.4. Taylorjeva vrsta
Taylorjeva formula za polinom
Naj bo p( x)  a0  a1x  a2 x2   an xn polinom
stopnje n. Denimo, da so v točki a ∈ IR znane vrednosti
p(a), p' (a), p' ' (a),, p ( n) (a).
Ali lahko s temi vrednostmi izračunamo vrednost
polinoma p v sosedni točki x = a + h?
Odgovor:
p' (a)
p' ' (a) 2 p' ' ' (a) 3
p ( n ) (a) n
p ( a  h)  p ( a ) 
h
h 
h 
h
1!
2!
3!
n!
Oziroma, za h = x − a:
(n)
p' (a)
p' ' (a)
p
(a)
2
p( x)  p(a) 
( x  a) 
( x  a)   
( x  a) n
1!
2!
n!
Če je v dani točki a znana vrednost polinoma in vrednosti
vseh njegovih odvodov, lahko izračunamo vrednost
polinoma v katerikoli točki x.
Vrsta na desni strani zgornjih enakosti je Taylorjeva vrsta
za polinom p(x).
Primer. Poiščite tisti polinom p, za katerega velja
( 4)
( 5)
p(1)  0, p' (1)  0, p' ' (1)  6, p' ' ' (1)  6 in p (1)  p (1)    0.
p' (1)
p' ' (1)
p' ' ' (1)
2
p( x)  p(1) 
( x  1) 
( x  1) 
( x  1)3
1!
2!
3!
0
6
6
p( x)  0  ( x  1)  ( x  1) 2  ( x  1)3  3( x  1) 2  ( x  1)3
1!
2!
3!
p( x)  x3  3x 2  2
Naj bo f poljubna (n+1)-krat zvezno odvedljiva
funkcija. V točki a ∈ IR naj bodo znane vrednosti
f (a), f ' (a), f ' ' (a),, f ( n) (a).
S Taylorjevo vrsto lahko tedaj zapišemo vrednost
funkcije v točki x = a + h:
f ' (a)
f ' ' (a) 2
f ( n ) (a) n
f ( a  h)  f ( a ) 
h
h 
h  Rn
1!
2!
n!
,
pri čemer je Rn ostanek Taylorjeve vrste.
Če je pri dani funkciji in pri dovolj majhnem številu h
lim Rn  0 , lahko s Taylorjevo vrsto izračunamo f(a+h) s
n 
poljubno natančnostjo. Tedaj je
f ' (a)
f ' ' (a) 2
f ( n ) (a) n
f ( a  h)  f ( a ) 
h
h 
h 
1!
2!
n!
Ocena ostanka:
Naj bo funkcija f vsaj (n+1)-krat zvezno odvedljiva.
Lagrangeva oblika ostanka:
f ( n 1) (a  h) n1
Rn 
h ,
(n  1)!
0  1
Poseben primer: a = 0, x = h.
Rn  0 , dobimo
Če je izpolnjen pogoj lim
n 
MacLaurentovo obliko Taylorjeve vrste:
f ' (0)
f ' ' (0) 2
f ( n ) (0) n
f ( x)  f (0) 
x
x 
x 
1!
2!
n!
Ocena ostanka:
f ( n 1) (h) n 1
Rn 
x ,
(n  1)!
0  1
PRIMER.
Naj bo funkcija f ( x)  e x in naj bo a = 0. Tedaj je
f ( x)  f ' ( x)  f ' ' ( x)    f ( n) ( x)  e x
f (0)  f ' (0)  f ' ' (0)    f
( n)
(0)  1
Ocena ostanka: za vsak x ∈ IR
x x x
x
x n1 x
x

Rn 
e 

e n
 0
(n  1)!
1 2 3
n 1
Zato je za vsak x ∈ IR
2
3
n
x
x
x
x
ex  1 



1! 2!
3!
n!
3.6.5. Lokalni ekstremi funkcije
DEFINICIJA.
Funkcija f ima v točki a lokalni maksimum natanko
tedaj, ko obstaja taka okolica U (a) točke a, da velja
sklep
x U (a), x  a  f ( x)  f (a)
DEFINICIJA.
Funkcija f ima v točki a lokalni minimum natanko
tedaj, ko obstaja taka okolica U (a) točke a, da velja
sklep
x U (a), x  a  f ( x)  f (a)
Drugačna formulacija:
Funkcija f ima v točki a lokalni maksimum natanko
tedaj, ko obstaja tak ε > 0, da velja za vsak |h| < ε in
h  0 ocena
f(a + h) < f(a).
Funkcija f ima v točki a lokalni minimum natanko
tedaj, ko obstaja tak ε > 0, da velja za vsak |h| < ε in
h  0 ocena
f(a + h) > f(a).
∆f := f(a + h) − f(a)
sprememba funkcije
Funkcija f ima v točki a lokalni maksimum natanko
tedaj, ko obstaja tak ε > 0, da je sprememba funkcije
negativna
∆f < 0 za vsak |h| < ε in h  0 .
Funkcija f ima v točki a lokalni minimum natanko
tedaj, ko obstaja tak ε > 0, da je sprememba funkcije
pozitivna
∆f > 0 za vsak |h| < ε in h  0 .
Potrebni pogoj za lokalni ekstrem
DEFINICIJA. Točka a je stacionarna točka funkcije f
natanko tedaj, ko je f ’(a) = 0.
IZREK. Odvedljiva funkcija f ima v točki a lokalni
ekstrem ⇒ f ’(a) = 0 (točka a je stacionarna točka
funkcije f ).
Zadostni pogoji za lokalni ekstrem (z analizo prvega in drugega
odvoda)
IZREK. Naj bo a stacionarna točka funkcije f (velja f ’(a) = 0)
in naj bo funkcija f v okolici te točke dvakrat zvezno odvedljiva.
Če je drugi odvod v stacionarni točki a pozitiven, ima funkcija v
tej točki lokalni minimum.
f ' ' (a)  0  v x  a je lokalniminimum
Če je drugi odvod v stacionarni točki a negativen, ima funkcija v
tej točki lokalni maksimum.
f ' ' (a)  0  v x  a je lokalnimaksimum
Zadostni pogoji za lokalni ekstrem (z analizo prvega odvoda in
odvodov višjega reda)
IZREK. Naj bo a stacionarna točka vsaj n-krat zvezno odvedljive funkcije f
(velja torej f ’(a) = 0). Nadalje naj velja
f ' ' (a)  f ' ' ' (a)    f ( n1) (a) , 0
odvod stopnje n pa naj bo prvi, ki je v točki a različen od 0: f
( n)
(a)  .0
Velja: če je n sodo število, ima funkcija f v točki a lokalni ekstrem in sicer
lokalni maksimum, če je f ( n) (a)  0 in
lokalni minimum, če je f ( n) (a)  0 .
Če je n liho število, v točki a ni ekstrema – točka a je točka na stopnici.
Primer. Poiščite lokalne ekstreme danih funkcij.
f ( x)  x3  3x
g ( x)  x 4
Zadostni pogoji za lokalni ekstrem (z analizo prvega odvoda)
IZREK. Naj bo a stacionarna točka funkcije f (velja torej f ’(a) = 0) . Če pri
prehodu skozi točko a odvod spremeni predznak, ima funkcija f v tej točki
lokalni ekstrem.
Če je odvod levo od točke a negativen, desno od te točke pa pozitiven, ima
funkcija v tej točki lokalni minimum.
Če je odvod levo od točke a pozitiven, desno od te točke pa negativen, ima
funkcija v tej točki lokalni maksimum.
Če pri prehodu skozi točko a odvod ohrani svoj predznak, v tej točki ni
lokalnega ekstrema.
3
Primer. Poiščite lokalne ekstreme funkcije f ( x)  x  3x
3.6.6. Konkavnost, konveksnost, prevoji
DEFINICIJA. Funkcija f je na intervalu [a, b] od spodaj
konveksna natanko tedaj, ko je
f ’’(x) > 0 za vsak x ∈ [a, b].
DEFINICIJA. Funkcija f je na intervalu [a, b] od spodaj
konkavna natanko tedaj, ko je
f ’’(x) < 0 za vsak x ∈ [a, b].
DEFINICIJA. Funkcija f ima v točki a prevoj natanko
tedaj, ko se njen graf v točki (a, f(a)) previje iz konkavnosti
v konveksnost ali obratno.
Velja: v prevojni točki ima drugi odvod funkcije f ničlo lihe
stopnje.
Primer. Poiščite prevojne točke in območja konveksnosti
oziroma konkavnosti dane funkcije.
f ( x)  x 4  4 x3
Vprašanja, naloge
1. Skicirajte graf funkcije f: IR → IR, podane s
predpisom f(x) = | x − 3 |. Ali je funkcija pri x = 3
zvezna, ali je odvedljiva?
2. Funkcija f: IR → IR je konstantna in velja f(3) = 5.
Zapišite njeno enačbo skicirajte njen graf.
3. Za funkcijo f velja:
f (2)  3, f ' (2)  f ' ' (2)  f ' ' ' (2)  0 in f ( 4) (2)  6.
Zapišite enačbo funkcije f in skicirajte njen graf v
okolici točke x = 2.
4. Naj bo f (1)  4, f ' (1)  f ' ' (1)  f ' ' ' (1)  f (4) (1)  0
in f (5) (1)  11. Kaj lahko sklepate o vedenju funkcije
f v okolici točke x = −1? Zapišite enačbo funkcije f in
skicirajte njen graf v okolici točke x = −1.
5. Funkcijo f(x) = ln x razvijte v Taylorjevo vrsto v
okolici točke 1. Z dobljeno vrsto zapišite število ln 2
(uporabite prvih 5 členov vrste). Ali dobljena
številska vrsta konvergira? Ali konvergira absolutno?
 x2
6. Gaussova krivulja je graf funkcije f ( x)  e .
Poiščite njeno definicijsko območje, zalogo vrednosti,
intervale naraščanja / padanja, intervale konveksnosti
/ konkavnosti, lokalne ekstreme in prevoje ter
krivuljo skicirajte.