Literatura

M. Bren, J. Gaber: Matematika, naloge iz linearne algebre M. Bren, S. Kapus, A. Žnidaršič: Matematika, naloge iz analize 1 J. Jesenko, M. Bren: Vaje iz matematike, 2. del J. Jesenko, F. Šifrer: Matematika v organizacijski teoriji in praksi, 1., 2. in 3. zvezek

ZAPOREDJA

PRIMER:

glavnica, obresti in čas varčevanja.

Na bančni račun vložimo 10 000 EUR. Obrestna mera je 3% letno. Kolikšno bo stanje na račun po 5 letih?

Koliko časa bi morali varčevati, da bi bilo stanje na računu 20 000 EUR?

PRIMER.

Nadaljujte dani zaporedji P, T, S, Č, P . . .

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

PRIMER.

Zapišite zaporedje ostankov pri deljenju zaporednih naravnih števil s številom 4.

PRIMER.

Veliki vezir je za svojo ozdravitev ranocelniku obljubil toliko žitnega zrnja, kolikor bi ga bilo na šahovnici, če bi na prvo polje postavil 1 zrno, na drugo 2, na tretje 4… Bo veliki vezir zmogel izpolniti svojo obljubo?

Zaporedja

1.1. Številska zaporedja 1.2. Lastnosti zaporedij 1.3. Konvergentna zaporedja in Cauchyjev pogoj 1.4. Računanje s konvergentnimi zaporedji 1.5. Zaporedja v

IR

1.1. Številska zaporedja

Definicija.

Številsko zaporedje je preslikava iz množice naravnih v množico realnih števil

f

:

IN

→

IR

Števila

a

1 : 

f

( 1 ) , , …, , …

n

 (

n

) so členi zaporedja.

Podajanje zaporedij

Funkcijski predpis

a

1

a

2

a n



f

(

n

)

a

3  

n n



IN

Rekurzivni obrazec

a n



h

(

a n

 1 ,

a n

 2 ,  ,

a n



r

)

Primeri.

Splošni člen

a n

 2

n

 1

a n



n

2 Rekurzija

a n

 2 

a n

 1 

a n

,

a

1  1 ,

a

2  1 (Fibonaccijevo zaporedje)

Aritmetično zaporedje

Definicija.

Zaporedje je

aritmetično

, če je razlika med poljubnima dvema zaporednima členoma konstantna.

a n

 1 

a n



d a

1 - prvi člen,

d

– razlika (diferenca) zaporedja Zaporedni členi: Funkcija:

a

1 ,

a

1 

d

,

a

1  2

d

,

a

1  3

d

, 

a n



a

1  (

n

 1 )

d

(splošni člen) Rekurzija?

Vsota prvih n členov aritmetičnega zaporedja (aritmetična končna vrsta)

S n



a

1 

a

2   

a n S n



n

2  2

a

1  (

n

 1 )

d



S n



n

2 

a

1 

a n



Primer.

Kolikšna je vsota vseh sodih naravnih števil, ki so manjša ali enaka 1000?

Naloga

Dano je aritmetično zaporedje 1,4,7,10,… Zapišite splošni člen zaporedja.

Izračunajte stoti člen zaporedja.

Kateri člen tega zaporedja je enak 1000?

Koliko členov tega zaporedja je manjših od 5000?

Izračunajte vsoto prvih 200 členov tega zaporedja.

Geometrijsko zaporedje

Definicija.

Zaporedje je

geometrijsko

, če je količnik poljubnih dveh zaporednih členov konstanten.

a n

 1

a n



q a

1 - prvi člen,

q

– količnik (kvocient) zaporedja Zaporedni členi:

a

1 ,

a

1

q

,

a

1

q

2 ,

a

1

q

3 , ...

a n



a

1

q n

 1 Rekurzija?

Vsota prvih n členov geometrijskega zaporedja (geometrijska končna vrsta)

S n



a

1 

a

1

q



a

1

q

2   

a

1

q n

 1

S n



a

1

q n q

 1  1

Primer.

Izračunajte vsoto geometrijske vrste 1  2  4  8    1024

1.2. Lastnosti zaporedij

Končno zaporedje

Z f

 

a

1 ,

a

2 ,  ,

a n

 

IR

Neskončno zaporedje

Z f

 

a

1 ,

a

2 ,  ,

a n

,   

IR

DEFINICIJA

Zaporedje je

monotono naraščajoče

natanko tedaj, ko je vsak člen zaporedja večji ali enak predhodnemu členu.

a n

 1 

a n

Zaporedje je

monotono padajoče

natanko tedaj, ko je vsak člen zaporedja manjši ali enak predhodnemu členu.

a n

 1 

a n

Strogo naraščajoče Strogo padajoče

: :

a n

 1 

a n a n

 1 

a n

Primer.

Preverite, ali je dano zaporedje monotono (oz.

strogo) naraščajoče ali monotono (oz. strogo) padajoče.

a n

 2

n n

  1 1

Omejenost zaporedij

DEFINICIJA

Zaporedje je

navzgor omejeno

natanko tedaj, ko obstaja tako realno število

G n



IN a n



G

Število

G

je

zgornja meja

zaporedja.

Če je zaporedje navzgor omejeno, ima neskončno mnogo zgornjih mej. Najmanjša zgornja meja je natančna zgornja meja (oznaka:

M

)

DEFINICIJA

Zaporedje je

navzdol omejeno

natanko tedaj, ko obstaja tako realno število

g n



IN a n



g

Število

g

je

spodnja meja

zaporedja.

Če je zaporedje navzdol omejeno, ima neskončno mnogo spodnjih mej. Največja spodnja meja je natančna spodnja meja (oznaka:

m

)

DEFINICIJA.

Zaporedje je

omejeno

natanko tedaj, ko je omejeno navzgor in navzdol.

Velja:

Vsako

naraščajoče

zaporedje je

navzdol omejeno

, Vsako

padajoče

zaporedje je

navzgor omejeno

, njegova

Primer.

Pokažite, da je sta dani zaporedji omejeni.

a n

 2

n

 1

n a n

 3

n

 2

n

2

Stekališče, limita Okolica števila

Naj bo

ε

∈

IR

in

ε

> 0:

ε-okolica

števila (oznaki:

U ε

(

a

) ali

U

(

a

,

ε

)) je odprti interval dolžine 2

ε

s središčem v

a

.

U

 (

a

) :  

a

  ,

a

   

IR

DEFINICIJA

Število

s

je

stekališče

ko je v poljubni zaporedja natanko tedaj,

ε

-okolici števila

s

neskončno mnogo členov zaporedja.

WEIERSTRASSOV IZREK

Omejeno neskončno zaporedje ima vsaj eno stekališče.

DEFINICIJA

. Število

L

je

limita zaporedja

natanko tedaj, ko je edino stekališče omejenega zaporedja.

L



n

lim  

a n a n



n

 

L

Ekvivalentne izjave: zaporedje ima limito

L,

zaporedje konvergira k številu

L,

zaporedje je

konvergentno

.

Če zaporedje nima limite, je

divergentno

.

Primer.

Poiščite stekališča oziroma limito danih zaporedij.

a n

 (  1 )

n n n

 1

a n



n

2

n

 1

•

VELJA

Vsako

naraščajoče, navzgor omejeno

zaporedje je

konvergentno

. Njegova limita je njegova natančna zgornja meja.

• Vsako

padajoče, navzdol omejeno

zaporedje je

konvergentno

. Njegova limita je njegova natančna spodnja meja.

PRIMER

. Število

e

in zakon naravne rasti Oglejmo si zaporedje

a n

 ( 1  1

n

)

n

Zaporedje je • naraščajoče

a n

+1 >

a n

,

n

• navzgor omejeno

a n

< 3 = 1, 2, . . ., in je zato konvergentno. Velja: lim

n

  ( 1  1

n

)

n



e

 2 , 7182818284 590 ...

1.3. Konvergentna zaporedja in Cauchyjev pogoj

IZREK

. Število

L

je limita zaporedja 

a n

;

n



IN

 natanko tedaj, ko so v vsaki

ε

-okolici limite vsi členi zaporedja od nekega dovolj poznega člena naprej.

    0  

n

 

IN

  tako, da velja sklep 

n



n

  

a n



L

 

Zunaj členov

poljubne

ε

-okolice limite leži le

končno mnogo

zaporedja. Pravimo, da ležijo v poljubni okolici limite

skoraj vsi členi

zaporedja.

Primer.

Dano je konvergentno zaporedje

a n



n n

 1 z limito

L

= 1. Naj bo

ε

= 0,001. Izračunajte, koliko členov danega zaporedja leži zunaj

ε

-okolice limite?

VELJA

Limita zaporedja je tudi stekališče tega zaporedja. Stekališče zaporedja pa ni nujno njegova limita.

IZREK.

Če ima zaporedje več stekališč, je divergentno.

DEFINICIJA

. Zaporedje zadošča

Cauchyjevemu pogoju

natanko tedaj, ko lahko za vsak

ε

> 0 najdemo tak , da velja za naravni števili

m

in

n

sklep:

m

,

n



n

 

a m



a n

  Enakovredna varianta zgornjega sklepa:  

n



n

 , 

p



IN

 

a n



p



a n

 

IZREK

. Zaporedje je konvergentno natanko tedaj, ko zadošča Cauchyjevemu pogoju.

1.4. Računanje s konvergentnimi zaporedji

• • • • Veljajo naslednje trditve: Limita konstantnega zaporedja je konstanta:

c

,

c

,

c

,...



n



c

Če konvergentnemu zaporedju dodamo/odvzamemo končno mnogo členov, je preostalo zaporedje konvergentno z isto limito.

Vsako delno (neskončno) podzaporedje konvergentnega zaporedja je konvergentno z isto limito.

Člene več konvergentnih zaporedij lahko seštevamo, odštevamo, množimo in delimo. Tako pridobljena zaporedja so prav tako konvergentna.

IZREK

. Dani sta konvergentni zaporedji

a

1 ,

a

2 ,  ,

a n

,  

n



A

in

b

1 ,

b

2 ,  ,

b n

,  

n



B

Tedaj je 1. njuna

vsota

konvergentno zaporedje:

a

1 

b

1 ,

a

2 

b

2 ,  ,

a n



b n

,  

n



A



B

2. njuna

razlika

konvergentno zaporedje:

a

1 

b

1 ,

a

2 

b

2 ,  ,

a n



b n

,  

n



A



B

3. njun

produkt

konvergentno zaporedje:

a

1

b

1 ,

a

2

b

2 ,  ,

a n b n

,  

n

 

AB

4. njun

kvocient

konvergentno zaporedje:

a

1

b

1

a

,

b

2 2 ,  ,

a n b n

,  ,

B i

0 za vsak

i



IN

in

B

 0

 

n n



IN

in  

n n



IN

lim

n

  (

a n



b n

)  lim

n

 

a n

 lim

n

 

b n

lim

n

  (

a n



b n

) 

n

lim  

a n

 lim

n

 

b n n

lim   (

a n b n

) 

n

lim  

a n



n

lim  

b n

lim

n

  (

ka n

) 

k

 lim

n

 

a n

lim

n

 

a n b n



n

lim  

a n

, če lim

n

 

b n

je

b n

 0 za vsak

n



IN

in

n

lim  

b n

 0

Primeri.

Izračunajte dane limite.

n

lim   4

n

2 2

n

2  1  2

n

lim   3

n

 1

n

2  2

n

lim  

n

2

n

 2

n

lim   2

n

2

n

 1

1.5. Zaporedja v

IR IR

: 

IR

   ,   zaprta realna števila

DEFINICIJA

. Okolica neskončnosti je vsak navzgor neomejen interval (

a

,∞),

a

∈

IR

.

Okolica minus neskončnosti je vsak navzdol neomejen interval (−∞,

b

),

b

∈

IR

.

DEFINICIJA

. ∞ (oziroma −∞) je stekališče zaporedja natanko tedaj, ko je v poljubni njegovi okolici neskončno mnogo členov zaporedja.

DEFINICIJA.

Zaporedje ima limito v neskončnosti oziroma nepravo limito natanko tedaj, ko je ∞ (−∞) njegovo edino stekališče.

n

lim  

a n

  oziroma

n

lim  

a n

 

VELJA

Zaporedje ima limito v neskončnosti natanko tedaj, ko so v poljubni okolici neskončnosti skoraj vsi členi zaporedja.

Vprašanja

1) Kdaj je zaporedje konvergentno? Zapišite primer konvergentnega zaporedja.

2) Zapišite primer naraščajočega in omejenega zaporedja. Ali je to zaporedje konvergentno? Če je konvergentno, zapišite njegovo limito.

3) Zapišite primer geometrijskega zaporedja z dvema stekališčema, njegov splošni člen in prvih pet členov. Ali je to zaporedje konvergentno?

4) Zapišite primer zaporedja z nepravo limito +∞.

5) Zaporedje ima nepravo limito +∞, če je a) __________ b) __________

Motivacija

PRIMER

. Hoja k mizi K mizi, ki je 1m stran, se pomikamo tako, da z vsakim korakom razpolovimo razdaljo do mize.

1 2  1 4  1 8    1

1 1 2 1 1 4 1 8 1 32 1 16

PRIMER

. Ahil in želva (Zenon, 490 - 435 pr.n.š.) Ahil začne loviti želvo, ko je ta 100 metrov pred njim. Ko preteče teh 100 metrov, jih želva, ki beži pred njim, preleze 10.

Ko preteče Ahil teh 10 metrov, se želva odmakne za enega in ko preteče Ahil ta meter, se želva spet odmakne za desetino metra in . . . tako brez konca.

Ahil nikoli ne ujame želve. Vsakič, ko preteče razdaljo, ki ga loči od želve, se mu ta odmakne za desetino te razdalje. (Kje je napaka?)

PRIMER.

Kolikšna je vsota 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = ?

2. Številske vrste

2.1. Številske vrste in zaporedje delnih vsot 2.2. Geometrijska vrsta 2.3. Vrste s pozitivnimi členi 2.4. Kriteriji konvergence 2.5. Absolutno in pogojno konvergentne vrste

2.1. Številske vrste in zaporedje delnih vsot

DEFINICIJA

. Naj bo številsko zaporedje.

Številska vrsta

je izraz

a

1 

a

2   

a n

  . (1) Števila so 1 2

n

členi vrste

.

Zapis:

a

1 

a

2   

a n

  

n

   1

a n

Seštevanje je binarna operacija, zato vrednost izraza (1) ni določena.

DEFINICIJA

. Zaporedju priredimo

zaporedje delnih vsot

s s

2 1  

a

1

a

1 

a

2

s

3 

a

1 

a

2 

a

3

s n

 . . . . . .

a

1 

a

2 

a

3   

a n

. . . . . .

Če je zaporedje delnih vsot konvergentno, torej če obstaja limita

S

 lim

n

 

s n

 

S

 

S a

1 

a

2   

a n

  

S

in pravimo, da je vrsta je

konvergentna

.

Če ne obstaja, je vrsta

n

 

n

divergentna

.

IZREK (Cauchyjev pogoj).

natanko tedaj, ko lahko za vsak

n

 

IN

, da velja sklep Vrsta je konvergentna

ε

> 0 najdemo tak 

n



n

 , 

p



IN



a n

 1 

a n

 2   

a n



p

 

POSLEDICA

– potrebni pogoj za konvergenco: lim

n

 

a n

 0 Zgornji pogoj pa ni zadosten pogoj za konvergenco.

PROTIPRIMER.

Harmonična vrsta 1  1 2  1 3  1 4    1

n

  je divergentna.

DEFINICIJA.

Dano je zaporedje pozitivnih števil

a

1 ,

a

2 ,  ,

a n

,  je Izraz

a

1 

a

2 

a

3    (  1 )

n

 1

a n

alternirajoča številska vrsta

.

 

IZREK

. Alternirajoča številska vrsta je konvergentna natanko tedaj, ko je lim

n

 

a n

 0

PRIMER.

Alternirajoča vrsta 1  1 2  1 3  1 4    (  1 )

n

 1 1

n

   ln 2 je konvergentna.

2.2. Geometrijska vrsta

DEFINICIJA.

Dano je geometrijsko zaporedje

a

1 ,

a

1

q

,

a

1

q

2 ,  ,

a

1

q n

 1 , 

Geometrijska vrsta

je vrsta

a

1 

a

1

q



a

1

q

2   

a

1

q n

 1   Zaporedje delnih vsot

s n



a

1 

a

1

q



a

1

q

2   

a

1

q n

 1 

a

1 1 

q n

1 

q

je konvergentno za −1 <

q

< 1:

S



n

lim  

s n



n

lim  

a

1 1 

q n

1 

q

 1

a

1 

q

Neskončna geometrijska vrsta je konvergentna, če je −1 < q < 1.

Njena vsote je tedaj enaka

S

 1

a

1 

q

Pri vseh ostalih vrednostih količnika

q

je divergentna.

Primeri.

Izračunajte vsoto danih geometrijskih vrst, če je to mogoče.

4  2  1  1 2   12  4  4 3  4 9   1  2  4  8  

2.3. Vrste s pozitivnimi členi

DEFINICIJA.

Vrsta s pozitivnimi členi je izraz

a

1 

a

2   

a n

  , pri čemer je

a n

 0 ,

n

 1 , 2 , 

IZREK.

Vrsta s pozitivnimi členi je konvergentna natanko tedaj, ko je zaporedje delnih vsot te vrste navzgor omejeno.

2.4. Kriteriji konvergence Primerjalni kriterij

n

∈ 1 

a

2 

n b

1 

b

2  

a n

 

b n b n

  vrsti s

IN

. Tedaj je vrsta s členi

n

minoranta

, vrsta s členi

b n

pa

majoranta

.

VELJA

• če je majoranta konvergentna, je konvergentna tudi minoranta; • če je minoranta divergentna, je divergentna tudi majoranta.

Kvocientni kriterij

in naj obstaja limita

n

lim  

a n

 1

a n



k

Tedaj veljajo sklepi: • če je

k

< 1, je vrsta konvergentna; • če je

k

> 1, je vrsta divergentna; • če je

k

= 1, ta kriterij ne da odgovora (vrsta je lahko konvergentna ali pa divergentna).

Primer.

Pokažite, da je vrsta

n

   1 1

n

2

n

 1 1  2  1 2  2 2  1 3  2 3  1 4  2 4   1) Poščite primerno konvergentno majoranto.

2) Uporabite kvocientni kriterij.

PRIMER

. Vrsta za število

e

.

n

   0 1

n

!

 1 0 !

 1 1 !

 1 2 !

 1 3 !

   1

n

!

  

e

 2 , 7182818284 590 

2.5. Absolutno in pogojno konvergentne vrste

DEFINICIJA

a



a

  

a

 

absolutno konvergentna

natanko tedaj, ko je konvergentna vrsta absolutnih vrednosti

a

1 

a

2   

a n

  Konvergentna vrsta, pri kateri vrsta absolutnih vrednosti členov divergira, je

pogojno konvergentna

vrsta.

IZREK.

Absolutno konvergentna vrsta je konvergentna.

Obrat izreka ne velja.

IZREK.

Vsota absolutno konvergentne vrste ni odvisna od vrstnega reda seštevanja členov. Vsota pogojno konvergentne vrste je odvisna od vrstnega reda seštevanja členov.

Vprašanja, naloge

1) Kje je napaka?

1 − 1 + 1 − 1 + · · · = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = 1 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = 0 1  1  1  1    1  (  1 ) 1  (  1 ) 2  (  1 ) 3    1 1  (  1 )  1 2 2) Dana je vrsta 1  1 2  1 4  1 8   . Zapišite prvih pet členov pripadajočega zaporedja delnih vsot. Ali je to zaporedje konvergentno? Če je konvergentno, poiščite njegovo limito.

Ali je vrsta konvergentna? Če je konvergentna, poiščite njeno vsoto.

3) Kdaj je geometrijska vrsta konvergentna? Zapišite primer konvergentne in primer divergentne geometrijske vrste. Pri konvergentni vrsti izračunajte njeno vsoto.