Transcript Document

OSNOVE EKONOMETRIJE
6
PROCJENE I TESTIRANJE
POMOĆU UZORKA
OSNOVNI SKUP (populacija), SAMPLING DISTRIBUCIJA, UZORAK
Na primjeru aritmetičke sredine
VRSTA
DISTRIBUCIJE
ARITMETIČKA
SREDINA
OSNOVNI
SKUP
X

UZORAK
xu
u
SAMPLING
DISTRIBUCIJA
 X
STANDARDNA
DEVIJACIJA
se (x )
Procjena karakteristike osnovnog
skupa pomoću uzorka
1.Karakteristika uzorka (Θ)
2.Standarna greška procjene se(Θ)
3.Maksimalna greška procjene E=z(t)•se(Θ)
4.Interval procjene Θu – E < Θ < Θu + E
E
C1= Θu-E
E
Θu
C2=Θu-E
STANDARDNA GREŠKA PROCJENE
Aritmetičke sredine:
Ako je poznata standardna devijacija osnovnog skupa

se( x ) 
n
Ako nije poznata standardna devijacija osnovnog skupa ona se procjenjuje
pomoću uzorka
ˆ   u 
n
n 1
Tako da je standardna greška
se( x ) 
u
n 1
FRAKCIJA IZBORA
Ako je uzorak izabran iz konačnog osnovnog skupa
frakcija izbora je udio emenata osnovnog skupa koji su
ušli u uzorak
n
Ako je f>0,05 izračunata standardna greška se
f 
N
N n
korigira sa:
N 1
tako da je:

N n
se( x ) 

;
N 1
n
u
N n
se( x ) 
n 1 N 1
Na temelju uzorka od 200 radnika neke regije čija je prosječna plaća 3000 KN
sa prosječnim odstupanjem od 200 KN uz 99% pouzdanosti procjenite
prosječnu plaču cijele regije
Procjenjuje se prosječno trajanje ispita oz osnova ekonometrije. U uzorku od
145 studenata ustanovljeno je da su završili sa ispitom u prosječnom vremenu od 90
minuta sa prosječnim odsupanjem od 24 minute. Izračunajte intervalnu procjenu trajanja
ispita uz vjerojatnost od 96%
Od 700 radnika nekog poduzeća evidentiran je radni staž 26 radnika i
ustanovljen prosječni radni staž od 15 godina sa prosječnim odstupanjem od 2 godine.
Uz pouzdanost od 95% procjenite prosječni radni staž svih radnika.
VELIČINA UZORKA KOD PROCJENE ARITMETIČKE SREDINE
 z  
n0  

 E 
2
n0
f0 
N
n0
f 0  0,05 n 
1  f0
Procjenjuje se prosječni mjesečni broj transakcija po korisniku, provedenih
putem usluge Internet bankarstva banke M-Bank (samo za fizičke osobe).
a) Koliko je korisnika (fizičkih osoba) potrebno izabrati u jednostavni slučajni
uzorak, ako se prosječni broj transakcija procjenjuje uz 95% pouzdanosti,
najveća tolerirana pogreška je 2 transakcije i ako je planirana standardna
devijacija populacije 7 transakcija. Frakcija odabiranja je manja od 0.05.
PROCJENA PROPORCIJE
Standardna greška
mu
n
mu
pu 
n
qu  1  pu
se( p) 
pu  qu
n 1
se( p) 
pu  qu
N n

n 1
N 1
f  0,05
f  0,05
Veličina uzorka
 z  PQ 

n0  
 E 


2
n0
f0 
N
n0
f 0  0,05 n 
1  f0
U slučajnom uzorku 300 vozača na cesti između dva grada ustanovljeno je da
175 vozača ispravno upotrebljava svjetla u tijeku noćne vožnje. Standardna
pogreška . Procijenite brojem i 95% intervalom kolika je proporcija vozača koji
ispravno upotrebljavaju svjetla tokom noćne vožnje na cesti između dva grada?
Analizira se proporcija osiguranika poslovnice osiguravajućeg društva Safe
koji su sudjelovali u prometnim nezgodama u tijeku 2004. godine. Poslovnica
ima 8566 osiguranika. U uzorku od 576 slučajno odabranih osiguranika njih 125
je sudjelovalo u prometnim nezgodama. Procijenite proporciju osiguranika
poslovnice koji su 2004. sudjelovali u prometnim nezgodama brojem i
intervalom. Pouzdanost procjene 99%.
Procjenjuje se proporcija kupaca koji stalno kupuju bezalkoholne napitke
proizvođača Juice na području jednoga grada. U slučajnom uzorku 450 kupaca
njih 56% stalno kupuje bezalkoholne napitke navedenog proizvođača. Uzorak
je izabran iz populacije uz frakciju izbora manju od 0.05.
(a) Kolika je vrijednost procjene proporcije osnovnog skupa jednim brojem?
(b) Odredite granice intervala procjene proporcije kupaca grada koji stalno
kupuju bezalkoholne napitke proizvođača Juice. Pouzdanost procjene je 94%.
NEKI STATISTIČKI TESTOVI
DVOSMJERNI TEST ILI TEST NA DVIJE GRANICE
Pretpostavke ili hipoteze
Postupak testiranja:
H 0 ........  0
1.
2.
H1........  0
Karakteristika uzorka Θu
Standardna greška se(Θ)
Postupak odlučivanja
H0 hipoteza se prihvaća ako je:
a)karakteristika uzorka unutar granica
DG<Θu<GG
b)
β*
-z
0
Z*
z
3,00
2,80
2,60
Θu GG=Θ0+E
2,40
2,20
1,80
1,60
1,40
1,20
1,00
0,80
0,60
0,40
Θ0 Θu- Θ0
c) β*<β ili α*>α
Područje
odbacivanja
E=z se(Θ)
0,20
-0,20
-0,40
-0,60
-0,80
-1,00
-1,20
-1,40
-1,60
-1,80
DG=Θ0-E
0,00
β
E=z se(Θ)
-2,00
-2,20
-2,40
-2,60
-2,80
-3,00
α/2
Područje prihvačanja H0 hipoteze
2,00
α/2
Područje
odbacivanja
z *  z / 2
Primjer 1. Na temelju uzorka od 101 komada kruha ispitati uz 5%
signifikantnosti da li kruh određene pekare zadovoljava standard prosječne
težine od 1000 grama. U uzorku je prosječna težina 998 grama sa
standardnom devijacijom od 9,5 grama.
Rješenje:
H 0 ...X  1000
H1...X  1000
998<998,138→H1
xu  998
 u  9,5
se( x ) 
b) z* 
u
n 1
9,5

 0,95
100
z=1,96
a) E  z  sex   0,951,96  1,862
C1  1000 1,862  998,138
C2  1000 1,862  1001,862
998 1000
 2,105 │-2,105 │ >1,96→H
1
0,95
c)  *  0,9647
 
*
 *  0,0353
→H1
Uz 5% signifikantnosti ne možemo potvrditi da kruh
odgovara standardu
Primjer 2: Na izborima anketirano je 250 birača od kojih je 90 izjavilo da je glasalo za
stanku “A”. Da li se uz 95% vjerojatnosti može prihvatiti pretpostavka da će stranka
ostvariti 40% glasova.
Rješenje:
a) E=1,96*0,030984=0,0607
DG=0,3393.......GG=0,4607
0,3393<0,36<0,4607→H0
H 0 ...P  0,4
H1...P  0,4
90
pu 
 0,36
250
0,4  0,6
se( p) 
 0,030984
250
b) Z*=-0,6455
c)
Β*=0,4814
│z*│<z →H0
α*=0,5186
Α*>→H0
Z=1,96
Uz 5% signifikantnosti možemo potvrditi da će stranka na
izborima dobiti 40% glasova
JEDNOSMJERNI TEST ILI TEST NA JEDNU GRANICU
Ho.... Θ≥Θ0
H1.... Θ<Θ0

Ho ... Θu > DG
E=z - se(Θ)
DG=Θ0-E
-z
Z*>-Z
E=z se(Θ)
Θu-Θ0
Θu
z*
Ho.... Θ≤Θ0
H1.... Θ>Θ0
H0... Θu < GG
Z*<Z

E=z se(Θ)
Θu-Θ0
Θu
z*
GG=Θ0+E
z
Primjer 3: Da li se može uz 1% signifikantnosti tvrditi da je neki proizvod ima manje
od 10 g. štetnih tvariako je uzorak od 10 proizvoda imao prosjek od 8,9 g i
standardnu devijaciju 1,15 g.
Primjer 4: Iz proizvodnje je uzet uzorak od 2000 proizvoda i u njemu je bilo 45
neispravnih. Da li se uz 95% vjerojatnosti može tvrditi da je u proizvodnji najviše
2% neispravnih