Transcript Projektovanje IIR filtara.

OT3OS1
30.11.2010.
Definicije - podsetnik
Funkcija prenosa
IIR
M
M
N
y n    bk xn  k    ak y n  k 
k 0
Diferencna jednačina
N
Zy n    bk z Zxn   ak z Zy n 
k
k 0
Y z 
H z  

X z 
k
k 1
M
b z
k
k
k 0
N
1   ak z  k
 
 
Q z 1

P z 1
y n    bk xn  k 
k 0
k 1
M
FIR
M
Zy n    bk z  k Zxn 
k 0
M
Funkcija prenosa
H z    bk z  k
k 0
k 1
M
H z   z N  M
b z
k 0
M k
k
N
z   ak z N k
N
k 1
1
H z   M
z
M
b z
k 0
k
M k
Nule i polovi funkcije prenosa
IIR
FIR
 1  q
M
H z   H
k
z
k 1
0 N
 1  p
k
z
k
k


M
 H0z
N M
 z  q 
k
M
 z  p 
1

k 1
k
k 1

H z   H 0  1  q k z
k 1
N
1
 H0 M
z
 z  q 
k
k 1
k 1
1
0.8
Trivijalni
polovi
1
0.6
0.5
Imaginary Part
0.4
Imaginary Part
M
0.2
0
-0.2
-0.4
32
0
-0.5
-0.6
-0.8
-1
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
Real Part
1
1.5
2
Stabilnost i kauzalnost sistema
• Da bi sistem bio stabilan oblast konvergencije
mora obuhvatati jedinični krug
• Da bi sistem bio kauzalan oblast konvergencije
mora se nalaziti izvan kruga koji prolazi kroz pol
najudaljeniji od koordinantnog početka
Za kauzalni linerani vremenski invarijantni sistem
navedena dva uslova će biti zadovoljena ako i
samo ako svi polovi funkcije prenosa leže unutar
jediničnog kruga kompleksne z ravni
Frekvencijski odziv
    hne
He
j

 jn
n  
Furijeova transformacija impulsnog odziva
 
H e j  H z  z e j
 
 
Veza sa z transformacijom
 
H e j  H R e j  jH I e j
Kompleksna funkcija!!!
Frekvencijski odziv
 
  
  
H e j  H e j exp j arg H e j
 
H e j  M e j  
   H e   H e 
M   H e
j
    argH e
j
R
j
  tan
j
2
I
1
 
 
H I e j
H R e j
2
Amplitudska karakteristika
Fazna karakteristika
Pojačanje, slabljenje...
g    20 log M  dB
a   20 log M  dB
d  
    
d
Pojačanje
Slabljenje
Grupno kašnjenje
Specifikacije za amplitudsku
karakteristiku FIR
M()
1+δp
1-δp
0     p , 1   p  M   1   p
1
a     , 0  M    a
δa
0
ωp
ωa
π
Specifikacije za amplitudsku
karakteristiku IIR1
M()
0     p , 1   p  M   1
a     , 0  M    a
1
1-δp

δs
0
ωp ωa
π
Specifikacije za amplitudsku
karakteristiku IIR2
M()
0    p,
1
1
1  2
 M    1
1
a     , 0  M   
A
1
1  2

1/A
0
ωp ωa
π
Specifikacije za karakteristiku
slabljenja IIR
0     p , 0  a   a p
a()
a     , aa  a   
aa

ap
0
ωp ωa
π
Specifikacije za karakteristiku
pojačanja IIR
g()
gp
0
ωp ωa
π

0     p , g p  g    0
a     ,    g    g a
ga
Projektovanje IIR filtara
Metode projektovanja IIR filtara
• Direktna sinteza u z ravni
• Transformacija funkcije prenosa
analognog prototip filtra
– Impulsno invarijantna transformacija
– Bilinearna transformacija
Direktna sinteza u z ravni primer notch IIR filtar
Projektovati “notch” IIR filtar koji zadovoljava:
1. Potiskuje se frekvencija 50 Hz
2. 3 dB propusni opseg je +/- 5 Hz u odnosu na
frekvenciju koja se potiskuje
3. Frekvencija odabiranja je 500 Hz
Primer – rešenje1
1. Postavimo nulu na 2*pi*50/500
1
0.8
Koeficijenti b (uz x)
1.0000
-0.8090 - 0.5878i
0.6
Imaginary Part
0.4
Magnitude (dB)
200
0
0
-0.2
-0.4
-0.6
-200
-0.8
-400
0
50
100
150
Frequency (Hz)
200
250
-1
-1
100
Phase (degrees)
0.2
-0.5
0
Real Part
0.5
1
50
Kompleksni koeficijenti filtra
0
-50
-100
0
50
100
150
Frequency (Hz)
200
250
Primer – rešenje2
1
2. Dodamo konjugovano kompleksnu nulu
0.8
0.6
Koeficijenti b (uz x)
1.0000 -1.6180 1.0000
Imaginary Part
0.4
Magnitude (dB)
20
0.2
0
-0.2
0
-0.4
-20
-0.6
-0.8
-40
-1
-60
0
50
100
150
Frequency (Hz)
200
250
0
50
100
150
Frequency (Hz)
200
250
Phase (degrees)
150
100
50
0
-50
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Primer – rešenje3
2. Dodamo konjugovano kompleksne polove
1
Koeficijenti a (uz y)
1.0000 -1.5164 0.8783
0.8
0.6
0.4
Imaginary Part
Magnitude (dB)
10
0
-10
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-20
0
50
100
150
Frequency (Hz)
200
250
-0.8
-1
Phase (degrees)
100
-1
50
0
-50
-100
0
50
100
150
Frequency (Hz)
200
250
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Primer - rešenje - kod
close all
clear
fs=500;
bw=10;
w0=2*pi*50/500;
z0=exp(j*w0);
figure,zplane(z0);
b0=poly(z0)
figure,freqz(b0,1,fs,fs)
z1=exp(-j*w0);
z_uk=[z0;z1];
figure,zplane(z_uk);
b1=poly(z_uk)
figure,freqz(b1,1,fs,fs)
ro=1-(bw/fs)*pi
p_uk=ro*[exp(j*w0);exp(-j*w0)]
figure,zplane(z_uk,p_uk);
a1=poly(p_uk)
figure,freqz(b1,a1,fs,fs)
Primer – promenjena fs
1
0.8
0.6
Imaginary Part
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Kontinualni sistemi
Kontinualni sistemi
d2 y
dt 2
dy
 x  a  by
dt
d2 y
dt 2
dy
dt
Primena Laplasove
transformacije
d2 y
dy
 x  a  by
2
dt
dt
s 2 Y (s)  X (s)  a s Y (s)  b Y (s)
( s 2  a s  b)Y ( s )  X ( s )
Y ( s)
1

X (s) s 2  a s  b
Funkcija prenosa
Polovi funkcije prenosa u s ravni
1
s  as  b
2
a  0, b  1  lim y(t )  
t 
Re(pol)  0  lim y(t )  0
t 
a  0, b  1  y(t )  sin(t )
Transformacije
• Laplasova
transformacija
impulsnog odziva
• Z transformacija
impulsnog odziva

H a ( s) 
 st
h
(
t
)
e
dt


H ( z) 

n
h
(
n
)
z

n  
Funkcije prenosa
• Racionalna funkcija
kompleksne
frekvencije s=δ+jΩ
M
 ck s
M
k
C ( s)
H a (s) 

D( s)
k
 dk s
k 0
N
k 0
• Racionalna funkcija
kompleksne
frekvencije z
k
a
z
 k
H ( z )  k 0
N
1   bk z  k
k 1

Q ( z 1 )
P ( z 1 )
Polovi funkcije prenosa
• Leva polovina
kompleksne s ravni
C (s)
H a (s) 
D(s)
• Unutar jediničnog
kruga kompleksne
z ravni
H ( z) 
Q( z 1 )
P( z 1 )
Frekvencijski odziv
z = e jω
s = jΩ
H a ( j )
H (e
0
j
)
0  
Specifikacije
p  p
a   a
 
Analogni prototip filtri
Butterworth-ov filtar
2
  
  
  

 
  H a  j
  H a  j
  H a   j
 
M a2 
3dB 
 3dB 
 3dB 
 3dB 

1
   2 
 
1   
  3dB  


N
 normalizovano sa 3dB
1.2
N=1
N=2
N=3
N=4
N=5
N=6
1
a
|H ( )|
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
200
400
600
800
1000
f [Hz]
1200
1400
1600
1800
2000
Karakteristika
maksimalno ravna
za =0
Butterworth-ov filtar
2
  
  
  

 
  H a  j
  H a  j
  H a   j
 
M a2 




3dB 
3dB 
3dB 
 3dB 



 normalizovano sa 3dB
1
   2 
 
1   
  3dB  


1
1

2N
1  p
1  2
M()
11
1
1
 2
2N
1  a
A
1  2
1/A
0
p
N
a

Butterworth-ov filtar
2


  
  

 
2  





Ma
 Ha j
 Ha j
H  j

 
  
   a


p 
p 
p 
 p



 normalizovano sa p
1


2  
1 
 
 p
1
 a
1  

 p
2
log
N 




2N
2N

A2  1
2
 a
log

 p




1
A2
Butterworth-ov filtar
Primer:
aa
10
A 1
2
log
N 

2
 a
log

 p




log

10
ap
10
10
 a
log

 p
1
1




p=1000 Hz
a=4000 Hz
ap=1 dB
aa=40 dB
N>=3.8
N=4
Butterworth-ov filtar
j  s
H a  j   H a s H a  s 
2
8000
N=4
N=5
N=10
N=11
6000
 s  
s 



 
H
H

  3dB    3dB 
1
4000
 s 
1   2 
  3dB 
2
N
2000
0
-2000
1
 s2
  1 N  e
2
 3dB
j
2
sk   3dB e e
j  2 k 1
N
j  2 k 1
N
Polovi H(s)
-4000
, k  0,1,..., N  1
-6000
, k  0,1,..., N  1
-8000
-8000 -6000 -4000 -2000
0
2000
4000
6000
8000
Butterworth-ov filtar
2
  
  
  

 
  H a  j
  H a  j
  H a   j
 
M a2 
3dB 
 3dB 
 3dB 
 3dB 

1

  3dB 
2
2 N
1


  p  
 
1   
   3dB  


1
1

  3dB 
2
2N
2 N
A
   
1    s  
   3dB  


   2 
 
1   
  3dB  


N
p
N

0
-10
s
A2  1
-20
M()
1
1
-30
-40
-50
-60
0
1000
2000
3000
4000
5000
f [Hz]
6000
7000
8000
9000 10000
Butterworth-ov filtar
1
1

  3dB 
2
2 N
1


  p  
 
1   
   3dB  


1
1

  3dB 
2
2N
2 N
A
   
1    s  
   3dB  


p
N

8000
s
A2  1
6000
4000
2000
0
-2000
-4000
-6000
-8000
-8000 -6000 -4000 -2000
0
2000
4000
6000
8000
Čebiševljev filtar
2


  
  

 
1
2  





Ma
 Ha j
 Ha j
 Ha  j

 
  
  

 p 
  
p 
p 
 p




1   2TN2 
 
 p
fp=5000 Hz, 1/(1+ 2)=0.63096
1
N=0
N=1
N=2
N=3
N=4
0.9
0.8
0.7
a
|H (j )|
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5000
10000
 /(2) [Hz]
15000
Karakteristika equal
ripple u propusnom
opsegu
Čebiševljev filtar
2


  
  

 
1
2  





Ma
 Ha j
 Ha j
 Ha  j

 
  
  

 p 
  
p 
p 
 p




1   2TN2 
 
 p



 cos N cos1  x  ,
TN  x   
1
x  ,
cosh
N
cosh

M()

x 1
x 1
TN 1 x   2 xTN x   TN 1 x , N  1, 2,...
11
T0 x   1, T1 x   x
1  2
T2 x   2 x 2  1
T3 x   4 x 3  3x
1/A
0
p
a

Čebiševljev filtar



 cos N cos  x  ,
TN  x   
1
x  ,
cosh
N
cosh

1

x 1
x 1
TN 1 x   2 xTN x   TN 1 x , N  1, 2,...
T0 x   1, T1 x   x
T2 x   2 x 2  1
T3 x   4 x 3  3x
200
N=0
N=1
N=2
N=3
N=4
180
160
140
N=0
N=1
N=2
N=3
N=4
1
0.8
0.6
0.4
T (f)
0.2
N
100
N
T (f)
120
0
80
-0.2
60
-0.4
40
-0.6
-0.8
20
-1
0
0
5000
10000
f [Hz]
15000
0
1000
2000
3000
f [Hz]
4000
5000
Čebiševljev filtar
2
  






1
  Ha  j    Ha  j    Ha   j   
M a2 
 
  
  

 p 


p 
p 
2 2  
 p



1   TN
 
 p
fp=5000 Hz, 1/(1+ 2)=0.63096
1
0.9
0.8
M a2   H a  j  H a  j  H a  j 
2
0.7
1
1   TN2 
2
N=0
N=1
N=2
N=3
N=4
M2(f)
0.6
N  2k  TN 0  1  H 0 
2
0.5
0.4
1
1  2
N  2k  1  TN 0  0  H 0  1
2
0.3
0.2
0.1
0
0
5000
10000
f [Hz]
15000
Čebiševljev filtar
1
1
 2

 A
2 2  a 
1   TN
 
 p
Primer:
p=1000 Hz
a=4000 Hz
ap=1 dB
aa=40 dB
aa


 1010  1 
1
2



A  1  cosh 
ap
cosh1 


10
 2 
10

1




N




1   a 
1   a 
cosh
cosh
 
 
 p
 p
N>=2.7
N=3
Čebiševljev filtar
8000
6000
4000
2000
1
 1    2k  N  1 
sk   p [sinh sinh 1    cos
 
N

2
N






1
 1    2k  N  1 
j cosh sinh 1    sin 
 ], k  0,1,..., N  1
N

2
N






0
-2000
-4000
-6000
-8000
-8000 -6000 -4000 -2000
Polovi H(s)
0
2000
4000
6000
8000
Inverzan Čebiševljev filtar
1
M  
1   2 TN2 a  p / TN2 a 
 
2
a

 normalizovano sa a
1.4
N=4
N=5
1.2
0.8
a
|H ( )|
1
0.6
Talasanje u
nepropusnom
opsegu
0.4
0.2
0
0
200
400
600
800
1000
f [Hz]
1200
1400
1600
1800
2000

Inverzan Čebiševljev filtar
1
1
  

1  T 
 
 p1 

2 2
1 N
  


p1 
2
2


1
 T 

 1 TN 
s

  p1  s
  


2 2   p1 
2 2  

1   1 TN 
1   1 TN
 
  
 p1 
2 2
1 N
Inverzan Čebiševljev filtar
fp=5000 Hz, 1/(1+ 2)=0.63096
1
M
1-M
0.9
0.8
0.7
M2(f)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5000
10000
f [Hz]
15000
Inverzan Čebiševljev filtar
 a 2 

 T 


1
p
2

  1 2 
1
2

 1  2


2 2  a 2 
2 2  a 2 
1  1 TN
 2 TN 
 


p
2
p
2




2 2
1 N
1
M  
2
2
2
1   TN a  p / TN a 
2
a
 


Inverzan Čebiševljev filtar
8000
Cebisevljev 1
Reciprocni Cebisevljev 1
Cebisevljev 2
6000
4000
2000
0
-2000
-4000
-6000
-8000
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
4
x 10
Eliptički filtar
M a2  
1
1   2 FN2 1 
 normalizovano sa a
1.4
N=4
N=5
1.2
0.8
a
|H ( )|
1
0.6
0.4
0.2
0
0
200
400
600
800
1000
f [Hz]
1200
1400
1600
1800
2000
Talasanje i u
propusnom i u
nepropusnom
opsegu
Beselov filtar
H s  
Ma()
1
Besel
1
1.5
2
2.5

()
5
4
3
2
1
0
Batervort
(b)
Besel
0.5
1
1.5
2
i
B
s
 i
2.5

B
 N
s B s 

 N  i !
Bi  N 
 i !N  i !
(a)
0.5
N
i 
Batervort
0
B
Transformacije specifikacija
1. Transformacija NF, VF, PO ili NO
specifikacija u
specifikacije NF prototipa
2. Projektovanje NF prototipa
3. Transformacija funkcije prenosa u
NF, VF, PO ili NO
Transformacija NF - NF
• Transformacija NF-NF prototip
– s → s/Ωp - normalizacija
– Projektuje se NF prototip
– s → Ωps - denormalizacija
Transformacije VF - NF prototip
• Transformacija VF-NF prototip
– s → s/ ΩpVF – normalizacija na gr. fr. VF
– s → 1/s – NF, ΩsNF =ΩpVF/ ΩsVF
– Projektuje se NF prototip
– s → 1/s – VF
– s = ΩpVFs
Transformacije PO - NF prototip
   p p 
pLP 
 2p 2  02
 pLP 
 p2

 2p1  02
 p1
s   pLP
 p 2  p 2   p1 
 p2

 p1 1   p 2 
 p1
s 2  02
s p 2   p1 
B
 B
aLP 1/ 2
2a1/ 2  02

a1/ 2
Transformacije NPO - NF prototip
0  a1a 2
 pLP
 a1
 a1
 2

B
2
0   a1  a1  a 2   a1 
s   pLP
s p 2   p1 
s 
2
2
0
Analogno-digitalne
transformacije
• Funkcija prenosa digitalnog IIR filtra
najčešće se formira transformacijom
analognog prototip filtra.
• Primenom analogno-digitalnog
preslikavanja funkcija prenosa analognog
prototip filtra transformiše se u funkciju
prenosa traženog digitalnog filtra.
Transformacija s ravni u z ravan
• Idealna transformacija bi trebalo da ima
sledeće osobine
– Stabilan kauzalan analogni filtar transformiše
u stabilan kauzalan digitalni filtar.
– Zadržava neizmenjenu amplitudsku i faznu
karakteristiku analognog filtra.
Transformacija s ravni u z ravan
Da bi osobina 1. bila zadovoljena, transformacija
mora preslikati levu polovinu s ravni u unutrašnjost
jediničnog kruga u z ravni, a desnu polovinu s
ravni u oblast z ravni izvan jediničnog kruga.
Da bi osobina 2. bila zadovoljena j osa s ravni
morala bi se preslikati linearno na jedinični krug
(z=ej) u z ravni. Na žalost, ni jedna transformacija
ne može zadovoljiti ovaj drugi uslov.
U praksi se koristi nekoliko transformacija koje
daju zadovoljavajuće rezultate u mnogim
slučajevima.
Transformacija s ravni u z
ravan
• Da bi osobina 1. bila zadovoljena,
transformacija mora:
– preslikati levu polovinu s ravni u unutrašnjost
jediničnog kruga u z ravni,
– preslikati desnu polovinu s ravni u oblast z
ravni izvan jediničnog kruga.
Transformacija s ravni u z
ravan
• Da bi osobina 2. bila zadovoljena j osa s
ravni morala bi se preslikati linearno na
jedinični krug (z=ej) u z ravni.
• Na žalost, ni jedna transformacija ne može
zadovoljiti ovaj drugi uslov.
• Upraksi se koristi nekoliko transformacija
koje daju zadovoljavajuće rezultate u
mnogim slučajevima.
Analogno-digitalne transformacije
Transformacija funkcije prenosa analognog
filtra u funkciju prenosa digitalnog filtra
• Impulsno-invarijantna transformacija
Amplitudska i fazna karakteristika su
približno iste posle preslikavanja
• Bilinearna transformacija
Amplitudska karakteristika je identična
Fazna karakteristka je izobličena
Impulsno-invarijantna
transformacija
Diskretizacija impulsnog odziva analognog
prototip filtra.
Ako je dat analogni filtar čiji je impulsni odziv
ha(t), projektuje se digitalni filtar čiji se
impulsni odziv h(nT) dobija diskretizacijom
ha(t),
hnT   Tha t  t nT  Tha nT 
Impulsno-invarijantna
transformacija
 
He
j
 
 
  Ha  j  j
k
T 
 T
k 

H a  j  ,    T
H e
j
 
j  Ha  j  ,
 T
  Ha  
 
Impulsno-invarijantna
transformacija
 
He
j
 
 
  Ha  j  j
k
T 
 T
k 

H a  j  ,    T
H e
j
 
j  Ha  j  ,
 T
  Ha  
 
Frekvencijska karakteristika
analognog i digitalnog filtra
Hd
Ha za k=1
Ha za k=0
Funkcija prenosa preko
parcijalnih razlomaka
N
Rk
H a (s)  
k 1 s  s k
N

R
k

H ( z )  TH d ( z )  T  
Tsk 1 

1

e
z 
 k 1
• Polovi iz leve polovine s ravni
se preslikavaju u polove
unutar jediničnog kruga z ravni
 
    
  
2 Re Rk  2 z 1e k T Re Rk cos  k T  Im Rk sin  k T
Rk
Rk*


s  sk s  sk
1  2 z 1e k T cos  k T  z  2e k T


Re(sk )  0
e Re(sk )  1
 e
Im( sk )
1
Bilinearna transformacija
1
2 1 z
s
T 1  z 1
T
1 s
2
z
T
1 s
2
Bilinearna transformacija
  T s
z
  T s
   T   jT / 
z
   T   j T 
Preslikavanje bilinearnom transformacijom
1  j T 2
z
1  j T 2
e
2

  tan
T
2
j
  jT 

  jT 
  2 tan
1
T
2
Kompresija frekvencijske ose
  2 tan

0

T 


 2 
1 

10
Kompresija frekvencijske ose
10
8
9
8
4

f [kHz]
6
7
6
5
4
2
3
2
-80
0
-70
-60
-50
-40
-30
-20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.6
0.8
1
/ 
0
-10
fs1=20000Hz
wg1 =
-20
1.0e+003 *
0.9919
3.5713
-30
aD1 ()
-10
0
0
aC ( )
0
1
-40
-50
-60
-70
-80
0
0.2
0.4
/ 
10
Kompresija frekvencijske ose
10
8
9
8
4

f [kHz]
6
7
6
5
4
2
3
2
-80
0
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.6
0.8
1
/ 
aC ( )
0
fs2=2000Hz
-10
wg2 =
-20
639.0929 899.5215
-30
aD2 ()
0
1
-40
-50
-60
-70
-80
0
0.2
0.4
/ 
Korekcija fazne karakteristike
H ( z)  H min ( z) H ap ( z)
N1
H ap ( z )  
z 1  ak
k 1 1  ak z
1
N2

z 2  a1k z 1  a2k
1
2
1

a
z

a
z
k  N11
1k
2k
• Hmin funkcija prenosa minimalne faze
(nule su unutar jediničnog kruga)
• Hap funkcija prenosa svepropusnika
d ()
 ()  
 const
d
Transformacije digitalnih filtara
NF - NF
z

z 


  z




sin
p’= granična frekv. novog
filtra
 
'  / 
sin  p   p ' / 
p
 p
Transformacije digitalnih filtara
NF - VF
z 
z 
1
1  z
1
1

 
cos
p’= granična frekv. novog
filtra

  '/ 2
cos  p   p '/ 2
p
p
Transformacije digitalnih filtara
NF - PO


z


z
 


z 


  z   z  
  K / K  
   K   / K  
cosu  l  / 

cosu  l  / 
K  cot
u  l

tan
p

Transformacije digitalnih filtara
NF - NPO


z


z
 


z 


  z   z  
1  2K / K  1
 2  1  K  / K  1
cosu  l  / 

cosu  l  / 
K  tan
u  l
2
tan
p
2
Impulsno invarijantna
transformacija (1)
R
uU
C
uI
C1R1  0.0016 s
C2R2  0.0159 s
1
1
CR
Ha s  

1  sCR
 1 
s  

 CR 
Impulsno invarijantna
transformacija (2)
R
uU
f3 dB 
C
uI
 3 dB
1 1

2
2 CR
C1R1  0.0016 s
C2R2  0.0159 s
Impulsno invarijantna
transformacija (3)
R
N
Ha s   
Rk
k 1 s  sk
uU
C
uI
1
1
CR
Ha s  

1  sCR
 1 
s  

 CR 
k  1 R1 
1
CR
s1  
1
CR
Impulsno invarijantna
transformacija (4)
N
Ha s   
Rk
k 1 s  sk
N
 Rk e sk t , t  0
ha t   k 0

0,
t 0
N
hn   Tha nT   TRk esk nT u n 
k  1 R1 
1
CR
s1  
1
CR
t
1  RC
ha t  
e
RC
k 1
nT
T  RC
hn   Tha nT  
e u n 
RC
Impulsno invarijantna
transformacija (5)
nT
T  RC
hn   Tha nT  
e u n 
RC

H z    hn z n
n 0
H z  
T
RC
1 e

T
CR
z 1
C2R2  0.0159 s
Impulsno invarijantna
transformacija (6)
nT
T  RC
hn   Tha nT  
e u n 
RC

H z    hn z n
n 0
H z  
T
RC
1 e

T
CR
z 1
C1R1  0.0016 s
Impulsno invarijantna
transformacija (7)
C2R2  0.0159 s
C1R1  0.0016 s
Bilinearna transformacija (1)
R
uU
f3 dB 
C
uI
 3 dB
1 1

2
2 CR
C1R1  0.0016 s
C2R2  3.1831e - 004 s
Bilinearna
transformacija
(2)
C1R1  0.0016 s
Bilinearna
transformacija
(3)
C2R2  3.1831e - 004 s
Bilinearna
transformacija
(4)
gDIG  gANALOG
gANALOG _ KORIGOVANO
 g
 2fs tg
 2
C2R2  2.5000e - 004 s



Bilinearna transformacija (5)
• Filter propusnik opsega
– Propusni opseg 200 – 300Hz
– Frekvencija odabiranja 2000 Hz
– Red filtra 2
Bilinearna transformacija (5)
1  2
fg 1
fs
206.8 Hz
 fg 1 
2  1 
rad


Ω1  tg   2fs tg    4000  0.3249  1299.6
T 2
s
 fs 
324.4 Hz
 fg 2 
rad
 2  2 
  4000  0.5095  2038.0
Ω2  tg   2fs tg 
T  2 
s
 fs 


 
Ω0  Ω1 Ω2


ΩW  Ω2  Ω1
PO→NF prototip
Red LP analognog
prototip filtra će biti 1!
Bilinearna transformacija (6)
1
H s  
LP
1 s
NF prototip Ωp=1
H s   H s  s s 2  2  s
W 
0
2 1  z 1
s
T 1  z 1

H  z   H S s 
s
2 z 1
T z 1

W s
s 2  W s  02
BP
Red BP analognog
filtra će biti 2!
1  z 2
 0.1367
1  1.2362 z 1  0.7265 z  2
Bilinearna transformacija (7)
0
MATLAB
proracun
-10
-20
[b,a]=butter(1,[200 300]/1000);
b1=0.1367*[1 0 -1];
a1=[1 -1.2362 0.7265];
[H,w]=freqz(b,a,1000,2000);
[H1,w]=freqz(b1,a1,1000,2000);
plot(w,20*log10(abs(H)),…
w,20*log10(abs(H1)));
|H(ejw )|[dB]
-30
-40
-50
-60
-70
-80
0
200
400
600
f [Hz]
800
1000
Primer 1 - LP
f0=8000;
fp=1000;
fs=2000;
wp=fp/(f0/2);
ws=fs/(f0/2);
rp=1;
rs=40;
[nb,wnb]=buttord(wp,ws,rp,rs)
[nc1,wnc1]=cheb1ord(wp,ws,rp,rs)
[nc2,wnc2]=cheb2ord(wp,ws,rp,rs)
[ne,wne]=ellipord(wp,ws,rp,rs)
[bb,ab]=butter(nb,wnb);
[bc1,ac1]=cheby1(nc1,rp,wnc1);
[bc2,ac2]=cheby2(nc2,rs,wnc2);
[be,ae]=ellip(ne,rp,rs,wne);
***ord – ista lista
ulaznih podataka
Projektovanje filtra –
različita lista
ulaznih podataka
Primer 1 – rezultati1
nb =
6
wnb =
0.2767
nc1 =
4
wnc1 =
0.2500
nc2 =
4
wnc2 =
0.5000
ne =
4
wne =
0.2500
U opštem slučaju red
eliptičkog filtra će biti najmanji
Primer 1 – rezultati2
1.4
Butt
Cheb1
Cheb2
ellip
1.2
|H(ejw )|
1
Čebiševljev I i eliptički
talasanje u propusnom opsegu
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1000
2000
f [Hz]
3000
4000
Primer 1 – rezultati3
50
Butt
Cheb1
Cheb2
ellip
0
-50
Čebiševljev II i eliptički
talasanje u nepropusnom opsegu
|H(ejw )|[dB]
-100
-150
-200
-250
-300
-350
0
1000
2000
f [Hz]
3000
4000
Primer 1 – rezultati4
1
Butt
Imaginary Part
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Primer 1 – rezultati5
1
Cheb1
Imaginary Part
0.5
0
4
-0.5
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Primer 1 – rezultati6
1
Cheb2
Imaginary Part
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Primer 1 – rezultati7
1
ellip
Imaginary Part
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Primer 2
f0=80000;
Promenjeno f0
fp=1000;
fs=2000;
wp=fp/(f0/2);
ws=fs/(f0/2);
rp=1;
rs=40;
[nb,wnb]=buttord(wp,ws,rp,rs)
[nc1,wnc1]=cheb1ord(wp,ws,rp,rs)
[nc2,wnc2]=cheb2ord(wp,ws,rp,rs)
[ne,wne]=ellipord(wp,ws,rp,rs)
[bb,ab]=butter(nb,wnb);
[bc1,ac1]=cheby1(nc1,rp,wnc1);
[bc2,ac2]=cheby2(nc2,rs,wnc2);
[be,ae]=ellip(ne,rp,rs,wne);
Primer 2 – rezultati1
nb =
8
wnb =
0.0282
nc1 =
5
wnc1 =
0.0250
nc2 =
5
wnc2 =
0.0500
ne =
4
wne =
0.0250
Primer 2 – rezultati2
1.4
Butt
Cheb1
Cheb2
ellip
1.2
|H(ejw )|
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
f [Hz]
3
4
4
x 10
Primer 2 – rezultati3
100
Butt
Cheb1
Cheb2
ellip
0
|H(ejw )|[dB]
-100
-200
-300
-400
-500
-600
0
1
2
f [Hz]
3
4
4
x 10
Primer 2 – rezultati4
1
Butt
Imaginary Part
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Primer 2 – rezultati5
1
Cheb1
Imaginary Part
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Primer 2 – rezultati6
1
Cheb2
Imaginary Part
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Primer 2 – rezultati7
1
ellip
Imaginary Part
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Primer 3 - HP
f0=8000;
fp=2000;
fs=1000;
wp=fp/(f0/2);
ws=fs/(f0/2);
rp=1;
rs=40;
[nb,wnb]=buttord(wp,ws,rp,rs)
[nc1,wnc1]=cheb1ord(wp,ws,rp,rs)
[nc2,wnc2]=cheb2ord(wp,ws,rp,rs)
[ne,wne]=ellipord(wp,ws,rp,rs)
[bb,ab]=butter(nb,wnb,'high');
[bc1,ac1]=cheby1(nc1,rp,wnc1,'high');
[bc2,ac2]=cheby2(nc2,rs,wnc2,'high');
[be,ae]=ellip(ne,rp,rs,wne,'high');
Ključna reč high
Primer 3 – rezultati1
nb =
6
wnb =
0.4638
nc1 =
4
wnc1 =
0.5000
nc2 =
4
wnc2 =
0.2500
ne =
4
wne =
0.5000
Primer 3 – rezultati2
1.4
Butt
Cheb1
Cheb2
ellip
1.2
|H(ejw )|
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1000
2000
f [Hz]
3000
4000
Primer 3 – rezultati3
50
Butt
Cheb1
Cheb2
ellip
0
-50
|H(ejw )|[dB]
-100
-150
-200
-250
-300
-350
-400
0
1000
2000
f [Hz]
3000
4000
Primer 3 – rezultati4
1
Butt
Imaginary Part
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Primer 3 – rezultati5
1
Cheb1
Imaginary Part
0.5
4
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Primer 3 – rezultati6
1
Cheb2
Imaginary Part
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Primer 3 – rezultati7
1
ellip
Imaginary Part
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Primer 4 - BP
f0=8000;
fp=[2000 3000];
fp i fs - vektori
fs=[1000 3500];
wp=fp/(f0/2);
ws=fs/(f0/2);
rp=1;
rs=40;
[nb,wnb]=buttord(wp,ws,rp,rs)
[nc1,wnc1]=cheb1ord(wp,ws,rp,rs)
[nc2,wnc2]=cheb2ord(wp,ws,rp,rs)
[ne,wne]=ellipord(wp,ws,rp,rs)
[bb,ab]=butter(nb,wnb);
[bc1,ac1]=cheby1(nc1,rp,wnc1);
[bc2,ac2]=cheby2(nc2,rs,wnc2);
[be,ae]=ellip(ne,rp,rs,wne);
Primer 4 – rezultati1
nb =
5
wnb =
0.4641
0.7744
nc1 =
4
wnc1 =
0.5000
0.7500
nc2 =
4
wnc2 =
0.2500
0.8750
ne =
3
wne =
0.5000
0.7500
n* - red NF (LP) prototipa
wn* - vektori
Primer 4 – rezultati2
1
Butt
Cheb1
Cheb2
ellip
0.9
0.8
0.7
|H(ejw )|
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1000
2000
f [Hz]
3000
4000
Primer 4 – rezultati3
0
Butt
Cheb1
Cheb2
ellip
-50
|H(ejw )| [dB]
-100
-150
-200
-250
-300
-350
0
1000
2000
f [Hz]
3000
4000
Primer 4 – rezultati4
1
Butt
Imaginary Part
0.5
0
3
2
5
-0.5
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Primer 4 – rezultati5
1
Cheb1
Imaginary Part
0.5
0
4
4
-0.5
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Primer 4 – rezultati6
1
Cheb2
Imaginary Part
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Primer 4 – rezultati7
1
ellip
Imaginary Part
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Primer 5 - BS
f0=8000;
fp=[1000 3500];
fp i fs - vektori
fs=[2000 3000];
wp=fp/(f0/2);
ws=fs/(f0/2);
rp=1;
rs=40;
[nb,wnb]=buttord(wp,ws,rp,rs)
[nc1,wnc1]=cheb1ord(wp,ws,rp,rs)
[nc2,wnc2]=cheb2ord(wp,ws,rp,rs)
[ne,wne]=ellipord(wp,ws,rp,rs)
[bb,ab]=butter(nb,wnb,'stop');
[bc1,ac1]=cheby1(nc1,rp,wnc1,'stop');
Ključna reč stop
[bc2,ac2]=cheby2(nc2,rs,wnc2,'stop');
[be,ae]=ellip(ne,rp,rs,wne,'stop');
Primer 5 – rezultati1
nb =
5
wnb =
0.3364
0.8490
nc1 =
4
wnc1 =
0.2500
0.8750
nc2 =
4
wnc2 =
0.5000
0.7500
ne =
3
wne =
0.2500
0.8750
n* - red NF (LP) prototipa
wn* - vektori
Primer 5 – rezultati2
1.4
Butt
Cheb1
Cheb2
ellip
1.2
|H(ejw )|
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1000
2000
f [Hz]
3000
4000
Primer 5 – rezultati3
50
Butt
Cheb1
Cheb2
ellip
0
-50
|H(ejw )| [dB]
-100
-150
-200
-250
-300
-350
0
1000
2000
f [Hz]
3000
4000
Primer 5 – rezultati4
1
Butt
Imaginary Part
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Primer 5 – rezultati5
4
1
Cheb1
Imaginary Part
0.5
0
-0.5
4
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Primer 5 – rezultati6
1
Cheb2
Imaginary Part
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Primer 5 – rezultati7
1
ellip
Imaginary Part
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1