Transcript integral

abc

MATEMATIKA S STATISTIKO
UNIVERZITETNA ŠTUDIJSKA PROGRAMA
LABORATORIJSKA BIOMEDICINA IN KOZMETOLOGIJA
1. LETNIK
INTEGRAL
MATEMATIKA S STATISTIKO
2
INTEGRAL
PRIMITIVNA FUNKCIJA
INTEGRAL
Rešujemo nalogo:
Dana je funkcija f. Poišči funkcijo F, katere odvod je enak f.
Kadar je F’ (x)=f(x) pravimo, da je F(x) primitivna funkcija za funkcijo f(x).
f ( x)  cos x
F ( x)  sin x
f ( x)  sin x
F ( x)   cos x
f ( x)  e x
F ( x)  e x
f ( x)  3
F ( x)  3 x
f ( x)  x 2
x3
F ( x) 
3
MATEMATIKA S STATISTIKO
3
INTEGRAL
PRIMITIVNA FUNKCIJA
Za vsako funkcijo obstaja več primitivnih funkcij:

 sin x   cos x


 3  sin x   3   sin x   0  cos x  cos x
primitivni funkciji za cos x
sta tako sin x, kot 3+sin x
Množico vseh primitivnih funkcij za f(x)
označimo z F(x)+c, kjer je F(x) neka primitivna
funkcija za f(x), c pa je poljubno realno število.
Če poznamo eno primitivno funkcijo
za f, dobimo vse druge tako, da tej
prištejmo vse možne konstante.
Postopek določanja primitivne funkcije imenujemo integriranje.
Pišemo:
F ( x)   f ( x) dx
pove po kateri spremenljivki integriramo in nastopa pri
formulah za računanje integralov
integrand
integral
Pri računanju integralov uporabljamo pravila za integriranje in integrale osnovnih funkcij.
MATEMATIKA S STATISTIKO
4
INTEGRAL
RAČUNANJE INTEGRALOV
OSNOVNI INTEGRALI
x r 1
 x dx  r  1
r
(r  1)
 cos x dx  sin x
1
 x dx  ln x
1
 cos2 x dx  tg x
x
x
e
dx

e


1
1  x2
 sin x dx   cos x
dx  arcsin x
1
 1  x 2 dx  arctg x
PRAVILA INTEGRIRANJA
 k  f ( x) dx  k   f ( x) dx
  f ( x)  g ( x)  dx   f ( x) dx   g ( x) dx
MATEMATIKA S STATISTIKO
produkt s konstanto
vsota
5
INTEGRAL
RAČUNANJE INTEGRALOV
4
3
x
x
3
2
x

x

 dx  4  3


1
2
x dx   x dx 
3
2
x
2 3

x
3
3
2
2
3
1
t
1
 1
2
t

dt

t

2

dt


2
t

  t 

t2
3
t
4
(2
x

1)
dx 

4
3
2
16
x

32
x

24
x
 8 x  1 dx 

16 5

x  8 x 4  8 x3  4 x 2  x
5
MATEMATIKA S STATISTIKO
6
INTEGRAL
RAČUNANJE INTEGRALOV
UVEDBA NOVE SPREMENLJIVKE
Če je
 f ( x) dx  F ( x), potem je
 f ( g ( x))  g ( x) dx  F ( g ( x))
pravilo: funkcija u(x)
du  u ( x) dx
Novo spremenljivko u vpeljemo tako, da povsod, kjer v integralu nastopa
spremenljivka x, jo zamenjamo z ustreznim izrazom v spremenljivki u.
4
(2
x

1)
dx 

u  2x  1
du  2 dx
dx 
MATEMATIKA S STATISTIKO
1
du
2
5
5
1
1
u
(2
x

1)
  u 4 du   
2
2 5
10
1
 16 5
4
3
2

x

8
x

8
x

4
x

x



10 
 5
7
INTEGRAL
RAČUNANJE INTEGRALOV
1
1
1
 sin(4 x  3) dx   sin u 4 du   4 cos u   4 cos(4 x  3)
 xe
 x2
1 u
1 u
1  x2
dx    e du   e   e
2
2
2
u   x2
du  2 x dx
sin x
1
 tg x dx   cos x dx    u du   ln u   ln(cos x)
u  cos x du   sin x dx
MATEMATIKA S STATISTIKO
8
INTEGRAL
RAČUNANJE INTEGRALOV
INTEGRACIJA ‘PO DELIH’
(integriranje produktov

u
(
x
)

v
'(
x
)
dx

u
(
x
)

v
(
x
)

u
(
x
)

v
(
x
)
dx


določene oblike.)
krajše:  u  dv  u  v   v  du
x
x
x
x
x
xe
dx

xe

e
dx

xe

e


ux
du  dx
dv  e x dx
v  ex
1 2
1
1 2
1 2
2 1
x
ln
x
dx

x
ln
x

x

dx

x
ln
x

x


2
1
u  ln x du  dx
x
1
dv  xdx v  x 2
2
2
x
2
4
2
2
2
x
cos
x
dx

x
sin
x

2
x
sin
x
dx

x
sin x  2 x cos x  2  cos x dx 


u  x2
du  2 x dx
dv  cos x dx
MATEMATIKA S STATISTIKO
v  sin x
ux
du  dx
dv  sin x dx
v   cos x
  x 2  2  sin x  2 x cos x
9
INTEGRAL
RAČUNANJE INTEGRALOV
UPORABA INTEGRALA
Ploščine likov
Dolžine krivulj
Povprečja
Hitrost ohlajanja nekega telesa je sorazmerna
razliki med temperaturo telesa in temperaturo
okolice:
T’=k(T-T0)
Kolikšna je verjetnost,
da bo žlica, ki pade na
tla obležala na eni
sami ploščici?
Kako hitro se bo vrela juha v prostoru, kjer je
20oC ohladila do užitnih 50oC?
Diferencialne enačbe
MATEMATIKA S STATISTIKO
Verjetnost
10
INTEGRAL
INTEGRACIJSKE METODE
TABELA OSNOVNIH INTEGRALOV IN PRAVIL ZA INTEGRIRANJE
 x r 1
r  1

r 1
r
x
dx





 ln x r  1
x
x
e
dx

e

 sin x dx   cos x
 (u( x )  v( x ))dx   u( x )dx   v( x )dx
 k  u( x ) dx  k   u( x ) dx
 f ( x )dx   f ( x (u))  x (u) du
uvedba nove spremenljivke
(substitucija)
 cos x dx  sin x


1
1 x
1
1 x2
2
dx  arcsin x
dx  arctg x
MATEMATIKA S STATISTIKO
 u( x )  v( x ) dx  u( x )  v( x )   v( x )  u( x ) dx
 u dv  u  v   v du
integracija po delih
(per partes)
11
INTEGRAL
INTEGRACIJSKE METODE
INTEGRACIJA RACIONALNIH FUNKCIJ
P (x)
 Q( x ) dx
formula:
P(x),Q(x) polinoma
1
1
dx

ln(ax  b)
 ax  b
a
1.korak Če je potrebno, z deljenjem
prevedemo na primer, ko je stopnja
števca manjša od stopnje imenovalca.
2.korak Imenovalec razcepimo na
faktorje, potem pa integrand
razcepimo na delne ulomke oblike
A
Ax  B
in
( x  a) n
( x 2  ax  b) n
x 3  3x  1
 x 2  1 dx  ?
( x 3  3x  1) : ( x 2  1)  x , ost.  (2 x  1)
x 3  3x  1
2x 1

x

x 2 1
( x  1)( x  1)
2x 1
A
B


( x  1)( x  1) x  1 x  1
2 x  1  A( x  1)  B ( x  1)  ( A  B ) x  ( A  B )
1
3
A  B  2, A  B  1  A  , B 
2
2
x 3  3x  1
1 1
3 1

x




x 2 1
2 x 1 2 x 1
3.korak Integriramo dobljeni izraz.
x 3  3x  1
1 1
3 1 

dx

x




 x 2 1
  2 x  1 2  x  1  dx 
x2 1
3

 ln( x  1)  ln( x  1)
2 2
2
MATEMATIKA S STATISTIKO
12
INTEGRAL
INTEGRACIJSKE METODE
Če ima imenovalec dvojno ničlo lahko vpeljemo novo spremenljivko:
x 1
 (2 x  1)2 dx  ?
u  2 x  1, du  2 dx

u 1
1
x 1
du
u3
1
3 1
3
2
dx


du

ln
u


ln(2
x

1)

 (2 x  1)2
 u 2 2  4u 2
4
4u 4
8x  4
Če imenovalec nima realnih ničel, lahko prevedemo na logaritem in arkus tangens:
3x  1
 2  x 2 dx  ?
3x  1
3x
1
dx

dx

 2  x2
 2  x2
 2  x 2 dx
3x
1 3
3
3
dx



du

ln
u

ln(2  x 2 )
 2  x2
u 2
2
2
u  2  x 2 , du  2 x dx
1
1
1
dx

dx 
 2  x2
2  1 x2 2
u 2  x 2 2, u  x
MATEMATIKA S STATISTIKO

2
1
2
2
x
du

arctg
u

arc
tg
2  1  u2
2
2
2
2, dx  2  du
13
RAČUNANJE PLOŠČIN
INTEGRAL
RAČUNANJE PLOŠČIN
y=f(x)
Želimo določiti ploščino pod
grafom funkcije y=f(x).
P(x)
S P(x) označimo ploščino pod
grafom na intervalu od a do x:
x
a
x h
h  xmin
f ( x )  P ( x  h)  P ( x )  h  xmax
f (x)
[ x , x h ]
[ x , x h ]
P ( x  h)  P ( x )
min
f
(
x
)

 xmax
f (x)
x[ x , x h ]
[ x , x h ]
h

P  x  h  P  x 
 f (x)
h 0
h
lim
P(x) je primitivna funkcija za f(x).
MATEMATIKA S STATISTIKO
14
RAČUNANJE PLOŠČIN
INTEGRAL
Če je tudi F(x) primitivna funkcija za f(x), potem je F(x)-P(x)=c.
Kako bi izračunali c?
Vstavimo x=a: F(a)-P(a)=c ⇒ c=F(a) ⇒ P(x)=F(x)-F(a).
P=F(b)-F(a)
a
b
Če je F(x) poljubna primitivna funkcija za f(x), potem je ploščina
pod grafom y=f(x) na intervalu [a,b] enaka P=F(b)-F(a).
Newton-Leibnizova formula
MATEMATIKA S STATISTIKO
15
RAČUNANJE PLOŠČIN
INTEGRAL
Določi ploščino lika, ki ga omejujeta abscisa in parabola y=1-x2.
1
P   (1  x 2 ) dx  x 
1
-1
3 1
x
3

1
1
1 4
 (1  )  (1  ) 
3
3
3
1
Določi ploščino lika med x=y2 in y=x.
yx
y
x
1
P   ( x  x) dx 
0
MATEMATIKA S STATISTIKO
2 1
2
x
x x
3
2
0

1
6
16
INTEGRAL
DOLŽINE KRIVULJ
y=f(x)
Želimo določiti dolžino krivulje, podane z y=f(x).
f(x+h)-f(x)
h
a
x
x+h
Označimo z l(x) dolžino grafa na intervalu od a do x.
 f ( x  h)  f ( x ) 
l ( x  h)  l ( x)  h  ( f ( x  h)  f ( x))  h  1  

h


2
2
2
l ( x  h)  l ( x )
 1  ( f ( x)) 2
h 0
h
lim
l  x  je primitivna funkcija za funkcijo 1  ( f ( x))2
MATEMATIKA S STATISTIKO
17
INTEGRAL
Dolžina krivulje, podane z y=f(x) na intervalu [a,b] je
b
l   1  ( f ( x)) 2 dx
a
Izračunaj dolžino loka parabole y=1-x2 na intervalu [-1,1].
f ( x)  2 x
1
l

1  4 x 2 dx 
1
1
-1
1
1
1
 x 1  4 x 2  ln(2 x  1  4 x 2 ) 
2
4
1
1
52
 2  ln
 2.95
4
52
MATEMATIKA S STATISTIKO
18
INTEGRAL
PROSTORNINA VRTENINE
Vrtenina je telo, ki ga dobimo, ko dani lik zavrtimo okoli osi.
V(x) je prostornina na intervalu od a do x.
V ( x  h)  V ( x )   f ( x )    h
2
x
a
x+h
V ( x  h)  V ( x )
2
  f ( x)  
h 0
h
lim
V  x  je primitivna funkcija za funkcijo
MATEMATIKA S STATISTIKO
 f ( x)  
2
19
INTEGRAL
Prostornina vrtenine pod y=f(x) na intervalu [a,b]:
b
V      f ( x)  dx
2
a
Prostornina krogle: kroglo dobimo, če zavrtimo krožnico okoli abscisne osi.
r
y  r 2  x2
V   
r
r
r x
2

2
dx
r
3


x
2
2
2
    (r  x ) dx     r x   
3  r

r
r
-r

2
  3 r3   3 r3   4 3
     r     r     r 
3 
3  3

MATEMATIKA S STATISTIKO
20
INTEGRAL
IZLIMITIRANI INTEGRALI
IZLIMITIRANI INTEGRALI

1
0 1  x 2 dx  ?
Formalno uporabimo Newton-Leibnizovo formulo:

1
0 1  x 2 dx  arctg x
Interpretiramo: arctg x
MATEMATIKA S STATISTIKO

0

0
 lim arctg x  arctg 0 
x 

2
21
INTEGRAL
IZLIMITIRANI INTEGRALI
Osnovna primera:
 f zvezna na neomejenem intervalu [a,+∞)

f
a
a
t
 lim
t 
f
a
t
 f zvezna na [a,b), pri b neomejena
t
f
obstaja za t  b
a
b
f
a
a
MATEMATIKA S STATISTIKO
t
t
 lim  f
t b
a
b
22
INTEGRAL
IZLIMITIRANI INTEGRALI

x
e
 sin 2 x dx 
0
x
 e sin 2 x dx  
ex
(sin 2 x  2 cos 2 x )
5
e t
2 2
 lim( 
(sin 2t  2 cos 2t ))  
t 
5
5 5

 sin x dx  lim( cos t )  1
t 
0
limita ne obstaja
1
1
 ln x dx  1  lim(t ln t  t )  1
0
t 0
 ln x dx  x ln x  x
MATEMATIKA S STATISTIKO
23
NUMERIČNA INTEGRACIJA
INTEGRAL
NUMERIČNO RAČUNANJE
Integral računamo numerično, če ne znamo določiti primitivne
funkcije ali če je integrand znan le v posameznih točkah.
Integrand f nadomestimo s približkom g, ki ga znamo dovolj preprosto integrirati.
Približek g določimo na podlagi vrednosti f v izbranih delilnih točkah (včasih tudi
iz vrednosti odvodov).
b
f
a
b

g R
a
napaka, odvisna od metode in
od števila delilnih točk
približna vrednost integrala
MATEMATIKA S STATISTIKO
24
NUMERIČNA INTEGRACIJA
INTEGRAL
METODA TRAPEZOV
y  f x
a
y  gx
b
[a,b] razdelimo na n enakih delov:
xk  a  k 
ba
(k  0,1,..., n )
n
yk  f  xk 
Funkcijo f nadomestimo z odsekoma linearno
funkcijo g, določeno s točkami (xk ,yk).
xk 1

g
xk
b  a yk  yk 1

n
2
b
g
a
b

a
f 
ba
  ( y0  y1 )  ( y1  y2 )  ...  ( yn 1  yn ) 
2n
ba
  y0  2y1  2y2  ...  2yn 1  yn   R n
2n
trapezna formula
MATEMATIKA S STATISTIKO
napaka
metode
(b  a)3
Rn 
 max f ( x )
12n 2 x[ a ,b ]
25
NUMERIČNA INTEGRACIJA
INTEGRAL
SIMPSONOVA METODA
y  f x
a
y  gx
b
[a,b] razdelimo na n enakih delov; vsakega razpolovimo in čez tako dobljene tri
točke potegnemo parabolo. Funkcijo f nadomestimo z g, sestavljeno iz teh parabol.
ba
xk  a  k 
2n
yk  f ( x k )
(k  0,1,..., 2n )
x2 k 2

g
x2 k
b
g
a
b

a
f 
b  a y2 k  4 y2 k 1  y2 k  2

2n
3
ba
  ( y0  4 y1  y2 )  ( y2  4 y3  y4 )  ...
6n
ba
  y0  4y1  2y2  4y3  2y4  ...  2y2 n 2  4y2 n 1  y2 n   Rn
6n
Simpsonova formula
MATEMATIKA S STATISTIKO
(b  a)5
4
Rn 
 max f   ( x )
4 x[ a ,b ]
2880n
26
NUMERIČNA INTEGRACIJA
INTEGRAL
1
Izračun
1
0 1  x z napako  0.01.

1
 ln(1  x )  
1 x

1
1
 1  x  ln 2  ln1  ln 2  0.6931
0
Trapezna metoda:
(b  a)3
2
2

1. Iz pogoja

max
f
(
x
)

0.01
določimo
primeren
n
:
max

2,
 0.01  n  5
x[0,1] (1  x )3
12n 2
12n 2 x[ a ,b ]
2. Določimo delilne točke in izračunamo pripadajoče funkcijske vrednosti:
xk 0.0000 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000
yk 1.0000 0.8333 0.7143 0.6250 0.5555 0.5000
3. Vstavimo v trapezno formulo:
1
1
1

0 1  x 10 (1.000  2  0.8333  2  0.7143  2  0.6250  2  0.5555  0.5000)  0.6956
dejanska napaka 0.0025
Simpsonova metoda:
n=2 (4 delilne točke)
1
1
1

0 1  x 12 (1.000  4  0.8000  2  0.6666  4  0.5714  0.5000)  0.6932
MATEMATIKA S STATISTIKO
dejanska napaka 0.0001
27
NUMERIČNA INTEGRACIJA
INTEGRAL
Oceni ploščino kosa pločevine:
51 cm
55 cm
50 cm
62 cm
12 cm
100 cm
P
100
(62  4  51  2  55  4  50  12)  4900 cm2  0.49 m2
12
MATEMATIKA S STATISTIKO
28
DIFERENCIALNE ENAČBE
INTEGRAL
DIFERENCIALNE ENAČBE
Diferencialna enačba je funkcijska enačba, v kateri nastopajo odvodi iskane funkcije.
y  xy
diferencialna enačba za y kot funkcijo x
y  2 y  1  0
avtonomna diferencialna enačba
xy  1  y
nelinearna diferencialna enačba
2
y  2 y  y  x  2
x 2 yy  e y  xy 2
z xx  z y  x
MATEMATIKA S STATISTIKO
(neodvisna spremenljivka ne nastopa v enačbi)
(odvesna spremenljivka ne nastopa linearno)
diferencialna enačba 2. reda
Red diferencialne enačbe je red najvišjega odvoda,
ki v njej nastopa.
diferencialna enačba 3. reda
parcialna diferencialna enačba (2. reda)
Diferencialne enačbe za funkcije ene spremenljivke imenujemo
navadne, ko nastopajo parcialni odvodi na več spremenljivk pa
pravimo, da so to parcialne diferencialne enačbe
29
DIFERENCIALNE ENAČBE
INTEGRAL
F(x,y,y’)=0
splošna oblika diferencialne enačbe 1. reda
Rešitev diferencialne enačbe je funkcija y=y(x), pri kateri je F(x,y(x),y’(x))=0 za
vse x na nekem definicijskem območju.
y( x )  e
x2
2
je rešitev diferencialne enačbe y  xy,

2 
x2
x2
x2
x
2
2
ker je  e    e   2  x  e 2
 
y( x )  x 2 ni rešitev diferencialne enačbe y  xy,
čeprav je 2 x  x 3 za nekatere vrednosti x
Enačba mora biti izpolnjena za vse x na nekem intervalu.
MATEMATIKA S STATISTIKO
30
DIFERENCIALNE ENAČBE
INTEGRAL
Najpreprostejši tip diferencialne enačbe: y  f ( x )
Rešitev je: y( x )   f ( x ) dx
Tudi druge diferencialne enačbe skušamo prevesti na računanje integralov.
1. korak: pišemo
dy
y 
dx
2. korak: enačbo preoblikujemo
tako, da so vsi y na eni in vsi x
na drugi strani enačbe
y  xy
dy
 xy
dx
dy
 x dx
y
dy
 y   x dx
x2
ln y 
c
2
(ko se to izide pravimo, da gre za
enačbo z ločljivimi spremenljivkami)
y  C e
3. korak: integriramo obe strani
enačbe
Preskus:
MATEMATIKA S STATISTIKO
x2
2
(C  e c )
x2
2x
(C  e )  C  e   x  (C  e 2 )
2
x2
2
x2
2
31
DIFERENCIALNE ENAČBE
INTEGRAL
FIZIKALNI PRIMER: RADIOAKTIVNI RAZPAD
Hitrost razpadanja radioaktivne snovi je sorazmerna s količino snovi (reakcija 1. reda). Če imamo
na začetku neko količino snovi (npr. 5g izotopa 14C), kaj lahko povemo o količini snovi čez nekaj
časa (npr. čez koliko časa bo ostalo le 3g 14C)?
y=y(t)
y’=-k y
količina snovi v trenutku t
k je sorazmernostni faktor med količino snovi in
hitrostjo razpadanja (npr. za 14C je k =3.83 10-12 s-1)
dy
 ky 
dt
dy
 k dt 
y
dy
 y   k dt 
ln y  kt  c 
y  Ce  kt
y(0)=C, torej je C ravno začetna količina opazovane snovi
Za C: 3  5e
14
 kt
ln 53
0.5108
 t

 133368146214 s  4230 let
12
k
3.83 10
Diferencialna enačba skupaj z začetnim stanjem v celoti določa evolucijo sistema.
Hitrost razpadanja pogosto podamo z razpolovno dobo T: zveza s k je kT=ln 2
Razpolovna doba 14C je (0.6931/3.83) 1012 s ≈ 5730 let.
MATEMATIKA S STATISTIKO
32
DIFERENCIALNE ENAČBE
INTEGRAL
DATIRANJE S 14C
kozmični žarki
Rastline absorbirajo CO2 v
biosfero. Razmerje med 12C
in 14C v živih bitjih je enako,
kot v atmosferi.
stopnja radioaktivnosti
Ogljikov izotop 14C nastaja v višjih
plasteh atmosfere, ko pod vplivom
kozmičnih žar kov dva neutrona
nadomestita dva protona v 14N.
Nastali 14C se veže s kisikom v 14CO2.
Razmerje med 14CO2 in 12CO2 v
atmosferi je dokaj stabilno.
MATEMATIKA S STATISTIKO
0 let
5730 let
11460 let
starost
17190 let
Ko ostanki živih bitij niso več v stiku z atmosfero se razmerje med 12C
in 14C zaradi radioaktivnega razpada poveča v prid prvega. Starost
ostankov ocenimo na podlagi primerjave stopenj radioaktivnosti.
33
DIFERENCIALNE ENAČBE
INTEGRAL
3%
MEŠANJE TEKOČIN
V 50-litrsko posodo z 1% -raztopino soli začne s hitrostjo
2 l/min pritekati 3%-raztopina, obenem pa dobro premešana
mešanica odteka z isto hitrostjo. Čez koliko časa bo v posodi
2%-raztopina?
y=y(t)
količina soli v posodi v trenutku t
dy  0.03  2  dt 
y
 2  dt
50
odteka y/50 od 2l na enoto časa
priteka 3% od 2l na enoto časa
sprememba količine soli v posodi
dy
 dt
0.06  0.04 y
y(0)  0.5 l
 - ln(0.06  0.04 y) 
1
t c
0.04
 y  25(0.06  Ce 0.04t )
 C  0.04  y(t )  1.5  e 0.04t
1.5  e 0.04t  1  e 0.04t  0.5  t  25ln(0.5)  17.33 min  17 min 20 s
MATEMATIKA S STATISTIKO
34
DIFERENCIALNE ENAČBE
INTEGRAL
PRIMER MODELIRANJA Z DE
Tripsin je encim trebušne slinavke, ki nastane iz tripsinogena. V reakciji nastopa tripsin kot
katalizator, zato je hitrost nastajanja tripsina sorazmerna z njegovo koncentracijo.
y0
y(t)
y’=ky
...........
...........
...........
začetna koncentracija tripsina
koncentracija tripsina v času t
hitrost nastajanja je sorazmerna koncentraciji
 y  ky
 y(0)  y0
rešitev: y=y0ekt
začetni problem: 
y
y  y0  e kt
Model napoveduje eksponentno in
neomejeno rastkoličine tripsina. To
se v resnici ne more zgoditi, zato
moramo poiskati ustreznejši model.
y0
t
MATEMATIKA S STATISTIKO
35
DIFERENCIALNE ENAČBE
INTEGRAL
Med reakcijo se tripsinogen porablja: iz vsake molekule tripsinogena nastane ena molekula
tripsina. Zato privzamemo, da je hitrost reakcije sorazmerna tako koncentraciji tripsina, kot
koncentraciji tripsinogena. Če je skupna koncentracija tripsina in tripsinogena C, začetna
koncentracija tripsina pa y0 dobimo začetni problem:
 y  ky(C  y)

 y(0)  y0
dy
 k dt
y(C  y)
y


y0

t
dy
  k dt
y(C  y) 0
C  y C  y0 Ckt

e
y
y0

1
C
y

y 
t
ln

kt


0
 C  y  y0
 y(t ) 
1

C
C
y0

 1 e Ckt
Logistična krivulja: model predvideva, da bo
koncentracija tripsina zrasla do prvotne
koncentracije tripsinogena, potem pa se bo
ustalila.
MATEMATIKA S STATISTIKO
36
DIFERENCIALNE ENAČBE
INTEGRAL
Logistična krivulja je dober model za omejeno rast, vendar ni vedno povsem ustrezna. Npr. pri
tumorjih število rakastih celic najprej narašča eksponencialno, potem pa se rast umiri in sčasoma
ustavi. S poskusi so ugotovili, da krivulja naraščanja ni logistična temveč t.im. Gompertzova krivulja
(ena od vidnih razlik je, da pri njej prevoj nastopi precej prej kot pri logistični).
Gompertzova krivulja
Gompertzova funkcija
logistična krivulja
MATEMATIKA S STATISTIKO
y(t )  y0 e
k (1 e  at )
37
DIFERENCIALNE ENAČBE
INTEGRAL
Eksperimentalno ugotovljeno zakonitost poskusimo razložiti tako, da
pogledamo, kateri diferencialni enačbi ustreza Gompertzova funkcija.

y0 e
k (1 e  at )


 y0 e
k (1 e  at )
 ak  e  at    e  at  y(t )

Diferencialna enačba y    e  at  y pomeni, da število rakastih celic narašča
sorazmerno z velikostjo tumorja, vendar se sorazmernostni faktor spreminja s
časom. Vzroke za spremembo razlagajo različno:
y  (  e  at )  y
y    ( e
MATEMATIKA S STATISTIKO
 at
 y)
s staranjem se reproduktivna moč
celic zmanjšuje
reproduktivni faktor se ne spreminja, vendar je
naraščanje sorazmerno le z delom števila celic v
tumorju, ker se v notranjosti tumorja ustvari
nekrotično območje
38