Transcript k - SIS

Signali i sustavi
Vremenski diskretni
signali i sustavi
Uvod
 Varijable diskretnog sustava u, x, y su funkcije
diskretne nezavisne varijable tk T gdje je
T  R prebrojiv skup.
 Sve tk možemo poredati u niz, s rastućim
indeksima k koje možemo interpretirati kao niz
vremenskih trenutaka.
 Niz definiramo kao funkciju t : Z  T.
 Vrijednost niza t na cijelom broju k označavamo s t(k) ili
češće s tk .Opći član niza t je tk.
 Nizove označavamo s . . . t-1 ,t0 ,t1 ,t2 , . . . ili {tk} , k Z ili
(tk) , k Z
2
Uvod
 Najjednostavniji i najvažniji slučaj niza t ={tk}
je slučaj aritmetičkog niza kada je funkcija
tk =T0 k, gdje je T0 po volji uzeta pozitivna
konstanta.
tk =T0 k , k Z , T0 - kvant vremena
 Niz označavamo s u ={(tk , u(tk)), tk T }
u ={uk} ili u ={u(k)} , k Z , ili
u =. . . ,u - 2 , u - 1 , u0 , u1 , u2 , . . . ili
u ={. . . ,u - 2 , u - 1 , u0 , u1 , u2 , . . . }.
3
Uvod
 Npr. u =. . . ,3-2 , 7-1 , 50 , 91 , 62 , . . .
 Ako su članovi u svom prirodnom redu,
indekse možemo izostaviti i uzorak s k =0
posebno označiti.
 Npr. u =. . . ,3 , 7 , 5 , 9 , 6 , . . .
 Kauzalan niz: uk =0 za k <0 , k Z
u ={u0 , u1 , u2 , . . . }.
 Konačan niz: uk =0 za k <0 i k K , k Z
u ={u0 , u1 , . . . , uK - 1}.
 Periodičan niz s periodom N:
uk +N =uk za k Z.
4
Osnovni nizovi
 Jedinični niz (Niz s jediničnim članom ili
uzorkom, Kroneckerov delta, d - niz).
d=..., 0, 0, 1, 0, 0, ...
1 za k = 0, k  Z
d (k ) = 
0 za k  0
d(k)
1
-2
-1
0
1
2
k
5
Osnovni nizovi
 Jedinična stepenica (Heavisideov niz)
S =..., 0, 0, 1, 1, 1, ...
1 za k  0, k  Z
S(k)
S (k ) = 
0 za k < 0
1
0
1
2
3
4
k
 Osnovni kauzalni niz.
 Množenjem nekauzalnog niza s Heavisideovim nizom on
postaje kauzalan.
6
Osnovni nizovi
 Jedinična kosina
L =..., 0, 0, 1, 2, 3, 4, ...
k za k  0, k  Z
L( k ) = 
0 za k < 0
L(k)
0
1
2
3
4
k
7
Osnovni nizovi
 Jedinična parabola n-tog stupnja
n n n
Pn =..., 0, 0, 1 , 2 , 3 ,
...
k n za
Pn (k ) = 
0 za
k  0, k  Z
k <0
Pn(k)
n=2
1
0
1
2
k
8
Osnovni nizovi
 Sinusni niz
u(k) =U cos (wT0k +z ),
gdje je w frekvencija dodirnice.
u(k)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 k
9
Svojstva sinusnog niza
u(k) =U cos (Wk +z ), k Z,
U - amplituda, z - faza,
W=wT0 - korak argumenta u radijanima analogan frekvenciji.
 Za W =p +D izlazi
u(k) =cos(p +D)k =cos(-2p +p +D)k
=cos(-p +D)k =cos(p - D)k.
 Iz raspoloživog niza se ne može razlikovati da li
je frekvencija dodirnice
W1 =p +D ili W2 =p - D.
10
Svojstva sinusnog niza
u(k) =cos(Wk +z ), k Z
W1 =7 p / 6
W2 =5 p / 6
11
Svojstva sinusnog niza
 Za W =2p - D izlazi
u(k) =cos(2p - D)k =cos(-Dk) =cos Dk.
 Iz raspoloživog niza se ne može razlikovati
da li je frekvencija dodirnice
W1 =2p - D ili W2 =D.
12
Svojstva sinusnog niza
u(k) =cos (W k +z ), k Z
W1 =p / 6
W2 =11p / 6
13
Svojstva sinusnog niza
 Vidi se da se iz ovog niza ne može razlikovati
frekvencija W1 od bilo koje
Wn =W1 +2np ,n Z
jer je
cos[(W1 +2np)k] =cos(W1k +2nkp) =cos(W1k)
n, k Z.
 Da bi se W mogao odrediti jednoznačno iz niza
moramo biti sigurni da je |W| <p , odnosno
w <p /T0 ili 2 f <1 / T0.
14
Osnovni nizovi
 Eksponencijalni niz
q <1
q >1
q =1
q =-1
u(k) =qk , q R
- padajući niz
- rastući niz
- konstantni niz
- alternirajući niz
q>1
0
1
2
3
4
k
15
Svojstva eksponencijalnog niza
 Eksponencijalni niz ovisno od kompleksnog
parametra q ili zn može poprimiti različite
oblike, a pogotovo ako nekoliko elementarnih
N -1
k
nizova zn formira linearnu
k
u (k ) =  c n zn
kombinaciju.
n =0
 Za k Z nizovi su
z
nekauzalnog oblika, a za k N
su kauzalni, pri čemu z može
0
biti realan, imaginaran ili
konjugirano kompleksan.
1
16
Osnovne operacije na nizovima i
elementi diskretnog sustava
 Zbrajanje nizova
Zbroj dva niza y =u +v ili
{y(k)} ={u(k)} +{v(k)}
je niz s općim članom
y(k) =u(k) +v(k) za svaki k Z.
 Produkt nizova
u
y
v
u
Produkt dva niza y =uv ili
{y(k)} ={u(k)} {v(k)}
je niz s općim članom
y(k) =u(k)v(k) za svaki k Z.
y
v
17
Osnovne operacije na nizovima i
elementi diskretnog sustava
 Množenje s konstantom
y =a u ili
{y(k)} =a{u(k)} ={a u(k)}
y(k) =a u(k) za svaki k Z.
u
a
y
 Funkcijski blok
y =f (u) ili
{y(k)} =f [{u(k)}]
y(k) =f [u(k)] za svaki k Z.
u
f
y
18
Osnovne memorijske i
predikcijske operacije
 Pomak niza - jedinični pomak daje iz ulaznog
niza, niz pomaknut za jedan korak.
unaprijed (predikcija)
u
E
y
y =E u ili {y(k)} =E {u(k)},
y(k) =(Eu)(k),
y(k) =u(k +1) k 0.
unatrag (kašnjenje i pamćenje)
u
-1
E
y
y =E-1u ili {y(k)} =E-1{u(k)},
-1
y(k) =(E u)(k),
y(k) =u(k - 1) k >0.
19
Pomak niza
 Operacija pomaka niza unaprijed traži
nekauzalan sustav pa je neostvariva u realnim
sustavima.
 Zato se služimo redovito jedinicama za
kašnjenje, odnosno operacijom E-1.
u(k)
y(k) =u(k +1) k 0
0 1 23 4 5
k
0 1 23 4
k
y(k) =u(k -1) k >0
0 1 2 3 4 5 6
k
20
Osnovne memorijske i
predikcijske operacije
 Diferencija niza
uzlazna
u
u
D
silazna
y
u

y
y =D u ili {y(k)} =D {u(k)},
y =u ili {y(k)} ={u(k)},
y(k) =(Du)(k) =u(k +1) - u(k),
y(k) =(u)(k) =u(k) - u(k - 1),
{y(k)} =(E - 1){u(k)}.
{y(k)} =(1 - E-1){u(k)}.

u
y
y
-1
21
Osnovne memorijske i
predikcijske operacije
 Diferencija višeg reda
 n  n-r
D u (k ) = (E - 1) u (k ) =  (-1)  E u (k ),
r =0
r
n
n
-1 n
r  n  -r
 u (k ) = (1 - E ) u (k ) =  (-1)  E u (k ),
r =0
r
 n  n(n - 1)( n - 2)  (n - r + 1)
n!
  =
=
.
r!
r!(n - r )!
r
n
n
n
r
22
Osnovne memorijske i
predikcijske operacije u

y
 Akumulacija niza
 Antidiferencijski operator D-1 daje niz
{y(k)} =D-1{u(k)} takav da je D{y(k)} ={u(k)}.


 k -1

Može se pokazati da vrijedi D u( j ) + K  = u(k ).
 j =0

Za slučaj kauzalnih  k u( j ) + K  -  k -1 u( j ) + K  = u(k ).

 

signala
 j =0
  j =0

 Prema tome:
k -1


-1
D u (k ) =  u ( j ) + K ,
 j =0

k = 0,
 y (0) ,

k -1
y (k ) = 
 y (0) +  u ( j ) , k > 0.
j =0

23
Model vrem. diskretnog sustava
 Bezmemorijski sustav
y(k) =f [u(k)].
 Memorijski sustav
x(k)
u(k)
F
v(k)
f
g
y(k)
u
f
y
y(k) =F(x(k0), u(k0, k] ) za k >k0.
 Bezmemorijski dio:
v(k) =f (x(k), u(k)),
y(k) =g (x(k), u(k)).
 Memorijski dio:
x(k) =F (x(k0), v(k0 , k]).
27
Model vrem. diskretnog sustava
 Posebno važan memorijski element u
memorijskom podsustavu je element jediničnog
kašnjenja.
x(k)
u(k)
-1
E
v(k)
f
g
y(k)
u(k), x(k), y(k) - vektori
sustava
 Jednadžbe sustava:
x(k +1) =f (x(k), u(k)),
y(k) =g (x(k), u(k)).
28
Model vrem. diskretnog sustava
 Veza s kontinuiranim sustavom u slučaju da se
derivacija aproksimira s diferencijom
x(k + 1) - x(k )
x = f (x, u) 
= f (x(k ), u(k )),
T
x(k +1) =x(k) +Tf(x(k), u(k)).
 linearni sustav
x(k + 1) - x(k )
= Ax + Bu,
T
x(k +1) =(I +TA)x(k) +TBu(k),
x(k +1) =Adx(k) +TBu(k).
29