Transcript k - SIS
Signali i sustavi
Vremenski diskretni
signali i sustavi
Uvod
Varijable diskretnog sustava u, x, y su funkcije
diskretne nezavisne varijable tk T gdje je
T R prebrojiv skup.
Sve tk možemo poredati u niz, s rastućim
indeksima k koje možemo interpretirati kao niz
vremenskih trenutaka.
Niz definiramo kao funkciju t : Z T.
Vrijednost niza t na cijelom broju k označavamo s t(k) ili
češće s tk .Opći član niza t je tk.
Nizove označavamo s . . . t-1 ,t0 ,t1 ,t2 , . . . ili {tk} , k Z ili
(tk) , k Z
2
Uvod
Najjednostavniji i najvažniji slučaj niza t ={tk}
je slučaj aritmetičkog niza kada je funkcija
tk =T0 k, gdje je T0 po volji uzeta pozitivna
konstanta.
tk =T0 k , k Z , T0 - kvant vremena
Niz označavamo s u ={(tk , u(tk)), tk T }
u ={uk} ili u ={u(k)} , k Z , ili
u =. . . ,u - 2 , u - 1 , u0 , u1 , u2 , . . . ili
u ={. . . ,u - 2 , u - 1 , u0 , u1 , u2 , . . . }.
3
Uvod
Npr. u =. . . ,3-2 , 7-1 , 50 , 91 , 62 , . . .
Ako su članovi u svom prirodnom redu,
indekse možemo izostaviti i uzorak s k =0
posebno označiti.
Npr. u =. . . ,3 , 7 , 5 , 9 , 6 , . . .
Kauzalan niz: uk =0 za k <0 , k Z
u ={u0 , u1 , u2 , . . . }.
Konačan niz: uk =0 za k <0 i k K , k Z
u ={u0 , u1 , . . . , uK - 1}.
Periodičan niz s periodom N:
uk +N =uk za k Z.
4
Osnovni nizovi
Jedinični niz (Niz s jediničnim članom ili
uzorkom, Kroneckerov delta, d - niz).
d=..., 0, 0, 1, 0, 0, ...
1 za k = 0, k Z
d (k ) =
0 za k 0
d(k)
1
-2
-1
0
1
2
k
5
Osnovni nizovi
Jedinična stepenica (Heavisideov niz)
S =..., 0, 0, 1, 1, 1, ...
1 za k 0, k Z
S(k)
S (k ) =
0 za k < 0
1
0
1
2
3
4
k
Osnovni kauzalni niz.
Množenjem nekauzalnog niza s Heavisideovim nizom on
postaje kauzalan.
6
Osnovni nizovi
Jedinična kosina
L =..., 0, 0, 1, 2, 3, 4, ...
k za k 0, k Z
L( k ) =
0 za k < 0
L(k)
0
1
2
3
4
k
7
Osnovni nizovi
Jedinična parabola n-tog stupnja
n n n
Pn =..., 0, 0, 1 , 2 , 3 ,
...
k n za
Pn (k ) =
0 za
k 0, k Z
k <0
Pn(k)
n=2
1
0
1
2
k
8
Osnovni nizovi
Sinusni niz
u(k) =U cos (wT0k +z ),
gdje je w frekvencija dodirnice.
u(k)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 k
9
Svojstva sinusnog niza
u(k) =U cos (Wk +z ), k Z,
U - amplituda, z - faza,
W=wT0 - korak argumenta u radijanima analogan frekvenciji.
Za W =p +D izlazi
u(k) =cos(p +D)k =cos(-2p +p +D)k
=cos(-p +D)k =cos(p - D)k.
Iz raspoloživog niza se ne može razlikovati da li
je frekvencija dodirnice
W1 =p +D ili W2 =p - D.
10
Svojstva sinusnog niza
u(k) =cos(Wk +z ), k Z
W1 =7 p / 6
W2 =5 p / 6
11
Svojstva sinusnog niza
Za W =2p - D izlazi
u(k) =cos(2p - D)k =cos(-Dk) =cos Dk.
Iz raspoloživog niza se ne može razlikovati
da li je frekvencija dodirnice
W1 =2p - D ili W2 =D.
12
Svojstva sinusnog niza
u(k) =cos (W k +z ), k Z
W1 =p / 6
W2 =11p / 6
13
Svojstva sinusnog niza
Vidi se da se iz ovog niza ne može razlikovati
frekvencija W1 od bilo koje
Wn =W1 +2np ,n Z
jer je
cos[(W1 +2np)k] =cos(W1k +2nkp) =cos(W1k)
n, k Z.
Da bi se W mogao odrediti jednoznačno iz niza
moramo biti sigurni da je |W| <p , odnosno
w <p /T0 ili 2 f <1 / T0.
14
Osnovni nizovi
Eksponencijalni niz
q <1
q >1
q =1
q =-1
u(k) =qk , q R
- padajući niz
- rastući niz
- konstantni niz
- alternirajući niz
q>1
0
1
2
3
4
k
15
Svojstva eksponencijalnog niza
Eksponencijalni niz ovisno od kompleksnog
parametra q ili zn može poprimiti različite
oblike, a pogotovo ako nekoliko elementarnih
N -1
k
nizova zn formira linearnu
k
u (k ) = c n zn
kombinaciju.
n =0
Za k Z nizovi su
z
nekauzalnog oblika, a za k N
su kauzalni, pri čemu z može
0
biti realan, imaginaran ili
konjugirano kompleksan.
1
16
Osnovne operacije na nizovima i
elementi diskretnog sustava
Zbrajanje nizova
Zbroj dva niza y =u +v ili
{y(k)} ={u(k)} +{v(k)}
je niz s općim članom
y(k) =u(k) +v(k) za svaki k Z.
Produkt nizova
u
y
v
u
Produkt dva niza y =uv ili
{y(k)} ={u(k)} {v(k)}
je niz s općim članom
y(k) =u(k)v(k) za svaki k Z.
y
v
17
Osnovne operacije na nizovima i
elementi diskretnog sustava
Množenje s konstantom
y =a u ili
{y(k)} =a{u(k)} ={a u(k)}
y(k) =a u(k) za svaki k Z.
u
a
y
Funkcijski blok
y =f (u) ili
{y(k)} =f [{u(k)}]
y(k) =f [u(k)] za svaki k Z.
u
f
y
18
Osnovne memorijske i
predikcijske operacije
Pomak niza - jedinični pomak daje iz ulaznog
niza, niz pomaknut za jedan korak.
unaprijed (predikcija)
u
E
y
y =E u ili {y(k)} =E {u(k)},
y(k) =(Eu)(k),
y(k) =u(k +1) k 0.
unatrag (kašnjenje i pamćenje)
u
-1
E
y
y =E-1u ili {y(k)} =E-1{u(k)},
-1
y(k) =(E u)(k),
y(k) =u(k - 1) k >0.
19
Pomak niza
Operacija pomaka niza unaprijed traži
nekauzalan sustav pa je neostvariva u realnim
sustavima.
Zato se služimo redovito jedinicama za
kašnjenje, odnosno operacijom E-1.
u(k)
y(k) =u(k +1) k 0
0 1 23 4 5
k
0 1 23 4
k
y(k) =u(k -1) k >0
0 1 2 3 4 5 6
k
20
Osnovne memorijske i
predikcijske operacije
Diferencija niza
uzlazna
u
u
D
silazna
y
u
y
y =D u ili {y(k)} =D {u(k)},
y =u ili {y(k)} ={u(k)},
y(k) =(Du)(k) =u(k +1) - u(k),
y(k) =(u)(k) =u(k) - u(k - 1),
{y(k)} =(E - 1){u(k)}.
{y(k)} =(1 - E-1){u(k)}.
u
y
y
-1
21
Osnovne memorijske i
predikcijske operacije
Diferencija višeg reda
n n-r
D u (k ) = (E - 1) u (k ) = (-1) E u (k ),
r =0
r
n
n
-1 n
r n -r
u (k ) = (1 - E ) u (k ) = (-1) E u (k ),
r =0
r
n n(n - 1)( n - 2) (n - r + 1)
n!
=
=
.
r!
r!(n - r )!
r
n
n
n
r
22
Osnovne memorijske i
predikcijske operacije u
y
Akumulacija niza
Antidiferencijski operator D-1 daje niz
{y(k)} =D-1{u(k)} takav da je D{y(k)} ={u(k)}.
k -1
Može se pokazati da vrijedi D u( j ) + K = u(k ).
j =0
Za slučaj kauzalnih k u( j ) + K - k -1 u( j ) + K = u(k ).
signala
j =0
j =0
Prema tome:
k -1
-1
D u (k ) = u ( j ) + K ,
j =0
k = 0,
y (0) ,
k -1
y (k ) =
y (0) + u ( j ) , k > 0.
j =0
23
Model vrem. diskretnog sustava
Bezmemorijski sustav
y(k) =f [u(k)].
Memorijski sustav
x(k)
u(k)
F
v(k)
f
g
y(k)
u
f
y
y(k) =F(x(k0), u(k0, k] ) za k >k0.
Bezmemorijski dio:
v(k) =f (x(k), u(k)),
y(k) =g (x(k), u(k)).
Memorijski dio:
x(k) =F (x(k0), v(k0 , k]).
27
Model vrem. diskretnog sustava
Posebno važan memorijski element u
memorijskom podsustavu je element jediničnog
kašnjenja.
x(k)
u(k)
-1
E
v(k)
f
g
y(k)
u(k), x(k), y(k) - vektori
sustava
Jednadžbe sustava:
x(k +1) =f (x(k), u(k)),
y(k) =g (x(k), u(k)).
28
Model vrem. diskretnog sustava
Veza s kontinuiranim sustavom u slučaju da se
derivacija aproksimira s diferencijom
x(k + 1) - x(k )
x = f (x, u)
= f (x(k ), u(k )),
T
x(k +1) =x(k) +Tf(x(k), u(k)).
linearni sustav
x(k + 1) - x(k )
= Ax + Bu,
T
x(k +1) =(I +TA)x(k) +TBu(k),
x(k +1) =Adx(k) +TBu(k).
29