Slide 1

PARTICIJE PRIRODNIH BROJEVA I
PRIMENE

MARKO PetkovIĆ
[email protected]


Slide 2

1.UVOD
 Teorija particija prirodnih brojeva je matematička disciplina
koja se nalazi izmedju kombinatorike i teorije brojeva i
predstavlja lep primer povezanosti ovih širokih oblasti
matematike.
 Teorija particija ima široku primenu u teoriji polinomnih
identiteta [3] (i specijalnih funkcija uopšte).
 Mnogi, naizgled nerešivi identiteti se veoma lako rešavaju
kada se prevedu na jezik kombinatorike konstrukcijom tzv.
kombinatornog modela.
 Ne postoji jednostavna formula za efektivno računanje broja
particija [1,5] što je jedan od razloga zašto je ova teorija
tako bogata i zanimljiva.


Slide 3

2. DEFINICIJE I OSNOVNA SVOJSTVA
Definicija 2.1.
Neka je dat neprazan konačan skup X . Pod particijom skupa X
podrazumevaćemo familiju njegovih podskupova  X 1 , , X k   P ( X ) pri
k

čemu su svaka dva skupa X i i X j disjunktna i

Xi  X
i 1

Definicija 2.2.
Neka je n  , i neka su n i  prirodni brojevi takvi da važi n1  n 2   n k i
n1 
 n k  n . Tada uredjenu k -torku ( n1 , , n k ) nazvamo k -točlanom
particijom prirodnog broja n . Skup svih particija broja n označavaćemo sa
P ( n ) a broj elemenata skupa P ( n ) sa p ( n ) . Po dogovoru je p (0)  1 .


Slide 4

Primer 2.1.
Neka je n  6 .
Tada je p (6)  11 i

P (6)   (6), (5,1), (4, 2), (3, 3), (4,1,1), (3, 2,1), (2, 2, 2), (2, 2,1,1), (2,1,1,1,1), (1,1,1,1,1,1)

Definicija 2.3.
Sa Q ( n ) označimo skup svih particija ( n1 , , n k )  P ( n ) čiji su svi članovi
različiti, tj n i  n j za i  j a sa q ( n ) broj elemenata skupa Q ( n ) . Označimo sa
o ( n ) odnosno e ( n ) brojeve particija broja n čiji su svi članovi parni odnosno
neparni brojevi.


Slide 5

Fererovi dijagrami
Definicija 2.4.
Fererov dijagram particije n  ( n1 ,
koordinatama odredjen sa

, nk )

je skup tačaka G n

sa celobrojnim

G n   ( x , y ) |  k  1  y  0, 0  x  n  y  1  1

S lika 2.1. F ererov dijagram za particiju
(6,3,3,2,1) broja 15.

S lika 2.2. F ererov dijagram za particiju
(5,4,3,1,1,1) broja 15.


Slide 6

Teorema 2.1.
Preslikavanjem Fererovog dijagrama bilo koje particije ( n1 , , n k ) prirodnog broja n
simetrijom odnosu na pravu y   x , dobija se takodje Fererov dijagram neke
particije broja n .

Slika 2.3. Fererov dijagram za sam okon jugovan u
particiju (9,7,5,3,3,2,2,1,1) broja 33.

Slika 2.4. Fererov dijagram za sam okon jugovan u
particiju (9,3,2,1,1,1,1,1,1) broja 20.


Slide 7

Posledica 2.1.
Broj particija broja n čiji je najveći član jednak m jednak je broju m -točlanih
particija broja n .

Teorema 2.2.
Broj samokonjugovanih particija broja n jednak je broju particija broja n čiji su
svi članovi neparni i različiti.

Slik a 2.5 . G rupisan je tačaka u Fererov om
dijagram u pri dokazu T eorem e 2.2.

S lik a 2.6. Fererov dijagram rezultujuće
particije.


Slide 8

Teorema 2.3.
Neka su n i r prirodni brojevi. Broj particija broja n u kojima nema više od r
delova jednak je broju particija broja n  r koje imaju tačno r delova.

Teorema 2.4.
Broj particija broja n čiji su svi članovi neparni brojevi jednak je q ( n ) .
Definicija 2.4.
Uredjena k -točlana particija broja n je svaka k -torka ( n1 , , n k ) tako da važi
n1 
 n k  n . Sa  ( n ) označićemo broj uredjenih particija broja n .

Teorema 2.5.
 n  1

Broj uredjenih k -točlanih particija broja n jednak je  n , k  
.
k

1


Posledica 2.2.
 (n)  2

n 1


Slide 9

3. PARTICIJE I FUNKCIJE GENERATRISE
Definicija 3.1.


Funkciju f ( x ) 

a

n

x

n

nazivamo funkcijom generatrisom niza a n .

n0

Teorema 3.1.
1. Ako su f i g funkcije generatrise redom nizova a n i b n , tada je f  g
funkcija generatrisa niza a n  b n .
2. Ako je f funkcija generatrisa niza a n , tada je cf funkcija generatrisa niza
ca n , gde je c bilo koja realna konstanta.
3. Ako su f i g funkcije generatrise redom nizova a n i b n tada je f  g
n

funkcija generatrisa niza c n   a i bn  i .
i0

Teorema 3.2.


1

Funkcija generatrisa niza p ( n ) jednaka je P ( x )   1  x i  .
i 1


Slide 10

Teorema 3.3.
Neka je T   t1 , t 2 ,   beskonačan prebrojiv skup. Neka je p T ( n ) broj particija
broja n čiji svi članovi pripadaju skupu T . Tada je funkcija generatrisa niza p T ( n )


jednaka PT ( x )   1  x t

i



1

.

i 1

Teorema 3.4.


Funkcija generatrisa niza q ( n ) jednaka je Q ( x )   1  x i  .
i 1

Teorema 3.5.
Neka je T   t1 , t 2 ,   beskonačan skup. Neka je q i ( n ) broj particija broja n čiji
su svi članovi različiti i pripadaju skupu T . Tada je funkcija generatrisa niza q i ( n )


jednaka Q T ( x )   1  x t  .
i

i 1

Teorema 3.6.
Broj a ( n ) particija broja n čiji su delovi kongruentni sa  1 ( m od 6 ) jednak je broju
b ( n ) particija čiji su delovi različiti i kongruentni sa  1 ( m od 3 ).


B ( x) 

 1  x
i 1

3 k 1

1  x

3k 2

1  x

1  x


i 1

6k 2
3 k 1

1  x
1  x

6k 4
3k 2




1  x


i 1

1
6 k 1

1  x

6 k 5



 A( x)


Slide 11

4. DOKAZIVANJE POLINOMNIH IDENTITETA
Lema 4.1.
Razlika brojeva particija broja n na neparan i paran broj različitih delova jednaka je nuli
osim za n  k (3 k  1) , k  . Ako je n  k (3 k  1) onda je razlika jednaka (  1) k .
2

S lik a 4.1. F ererov d ija gram za particiju
(7 ,6,5 ,3 ,2 ) broja 2 3.

2

S lik a 4.2 . F ererov d ija gram za particiju
(8 ,7,5 ,3 ) broja 2 3 .


Slide 12

“Loši Momci”

Slika 4.3. Fererovi dijagram i za particije kod kojih je l  k  n k o dnosno l  k  n k  1 .


Slide 13

NEKI POLINOMNI IDENTITETI
Teorema 4.1. (Ojler-Ležandrov identitet)




 1  x   

(  1) x

i

k

k ( 3 k  1) 2

k  

i 1

Teorema 4.2. (Gausov identitet, 1886)


1

x
i 1

 i 1 


 2 





1 x

 1 x
m 1

2m

2 m 1


Slide 14

Teorema 4.3. (Jacobijev identitet trostrukog proizvoda)
m ( m  1)





2

x



t

m



m  



1  x

n

1  tx

n

1  t x
1

n 1

.

n 1

Teorema 4.4. (1. Rogers-Ramanujanov identitet)




n0

x

n

2



n

 1  x 
i

i 1





n 1

1

1  x

5n4

1  x

5 n 1




Slide 15

5. REKURZIVNE FORMULE ZA p ( n ) I q ( n )



Za p ( n ; k ) važe sledeće rekurentne formule:
k

p (n; k ) 



p (n  k , i)  p (n  k ; k )

i 1

p ( n ; k )  p ( n ; k  1)  p ( n ; k )  p ( n ; k  1)  p ( n  k ; k )





Početni uslovi su: p (1; k )  1 i p (0; k ) : 1 (po dogovoru),
gde je k  1, 2, .

U slučaju da je k  n važi:
p ( n )  p ( n ; n )  p ( n ; n  1)  p ( n ; n  2) 


Slide 16



Za q ( n ; k ) i q ( n ; k ) važe slične relacije:
k 1

q (n; k ) 

 q (n  k , i)  q (n  k ; k )
i 1

q ( n ; k )  q ( n ; k  1)  q ( n ; k  1)  q ( n ; k  1)  q ( n  k  1; k  1)

sa početnim uslovima: q (1; k )  1 i q (0; k ) : 1 (po dogovoru), gde je
k  1, 2, .



Takodje u slučaju da je k  n važi:
q ( n )  q ( n ; n )  q ( n ;1)  q ( n ; n )  1


Slide 17

Algoritam 5.1. Izračunavanje broja p ( n )
Korak 1. Za svako k  1,

, n postaviti p (1; k )  1 i p (0; k )  1 .

Korak 2. Za svako i  1,

, n izvršiti sledeće korake:

Korak 2.1. Za svako j  1,

, i primeniti sledeće:

Ako je n  k  k , računati p ( i ; j )  p ( i ; j  1)  p ( n  j , n  j ) ,
u suprotnom računati p ( i ; j )  p ( i ; j  1)  p ( n  j , j )
Korak 2.2. Postaviti p ( i ; j )  p ( i ; i ) za svako j  i  1,
Korak 3. Vratiti izračunatu vrednost p ( n )  p ( n ; n )

,n


Slide 18

ASIMPTOTSKA FORMULA
• Ovo su aproksimativne formule koje približno opisuju
ponašanje komplikovane funkcije za odredjeni interval
vrednosti argumenta.
• Koristimo ih kad ne znamo tačnu formulu ili kad hoćemo da je
uprostimo.
• Primer: Za funkciju f ( n )  n ! važi sledeća aproksimativna
formula

n! g (n ) 








2 n ne








n


Slide 19

400000

Aproksimativna
i
tačna formula za
faktorijelnu funkciju

300000

200000

100000

2

4

6

8

10

6
5

Za manje vrednosti
argumenta

4
3
2
1

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Slide 20

60
50
40

n ! g ( n )

30
20
10

2

3

4

5

6

7

1.1

Apsolutna i relativna
greška aproksimacije

1.08

1.06

g (n)

1.04

n!

1.02

5

10

15

20

25

30


Slide 21

A šta ćemo sa našom funkcijom p ( n )

?

• Pokušajmo da “naslutimo” asimptotsku formulu za p ( n )
• Koristićemo program Table Curve, koji za zadati skup
tačaka odredjuje aproksimativnu krivu
5000

Grafik funkcije

4000

p (n)

3000
2000
1000

5

10

15

20

25

30


Slide 22

Rank 1 Eqn 1376 lny=a+bx0.5+clnx
r2=1 DF Adj r2=1 FitStdErr=212323.449 Fstat=9.33903003e+14
a=-2.1091242 b=2.5626092
c=-0.96655212

4e+12
3.5e+12
3e+12
2.5e+12
2e+12
1.5e+12
1e+12
5e+11
0
50

92.8571

135.714

178.571

Slika 5.1. Grafik zavisnosti p ( n ) zajedno sa asimptotskom formulom.


Slide 23

Na ovaj način smo dobili formulu:
p (n) 

A

e

b

Ae

n

n

a

Pri čemu su konstante redom jednake:
b   2 .5 6 2 6

a   2 .1 0 9

Hardy i Ramanujan su (naravno ne pomoću računara  )
odredili (i dokazali) sledeću formulu
p (n) 

1

e

4n 3

koja ima isti oblik kao i naša!



2
3

n


Slide 24

Još nekoliko lepih tvrdjenja vezanih za particije
n

• MacMahonov-a formula:

m (3 m  1) 

m
(

1)
p
n



0
2


mn

p ( n )  p ( n  1)  p ( n  2)  p ( n  5)  p ( n  7)  p ( n  12)  p ( n  15) 

0

Sumiranje ide po svim generalisanim pentagonalnim brojevima
• Nejednakost:

p (n) 

p ( n  1)  p ( n  1)
2

• Nejednakost slična MacMahonovoj formuli:
n

m (9 m  1) 

m
(

1)
p
n



0
2


mn


Slide 25

I za kraj, tačna formula za p (n )

Hehe, što bi rek’o Billy: AJDEEEE! 