Transcript POBOQ[AWE JEDNOG POSTUPKA ZA EKSPERIMENTALNO
Slide 1
PARTICIJE PRIRODNIH BROJEVA I
PRIMENE
MARKO PetkovIĆ
[email protected]
Slide 2
1.UVOD
Teorija particija prirodnih brojeva je matematička disciplina
koja se nalazi izmedju kombinatorike i teorije brojeva i
predstavlja lep primer povezanosti ovih širokih oblasti
matematike.
Teorija particija ima široku primenu u teoriji polinomnih
identiteta [3] (i specijalnih funkcija uopšte).
Mnogi, naizgled nerešivi identiteti se veoma lako rešavaju
kada se prevedu na jezik kombinatorike konstrukcijom tzv.
kombinatornog modela.
Ne postoji jednostavna formula za efektivno računanje broja
particija [1,5] što je jedan od razloga zašto je ova teorija
tako bogata i zanimljiva.
Slide 3
2. DEFINICIJE I OSNOVNA SVOJSTVA
Definicija 2.1.
Neka je dat neprazan konačan skup X . Pod particijom skupa X
podrazumevaćemo familiju njegovih podskupova X 1 , , X k P ( X ) pri
k
čemu su svaka dva skupa X i i X j disjunktna i
Xi X
i 1
Definicija 2.2.
Neka je n , i neka su n i prirodni brojevi takvi da važi n1 n 2 n k i
n1
n k n . Tada uredjenu k -torku ( n1 , , n k ) nazvamo k -točlanom
particijom prirodnog broja n . Skup svih particija broja n označavaćemo sa
P ( n ) a broj elemenata skupa P ( n ) sa p ( n ) . Po dogovoru je p (0) 1 .
Slide 4
Primer 2.1.
Neka je n 6 .
Tada je p (6) 11 i
P (6) (6), (5,1), (4, 2), (3, 3), (4,1,1), (3, 2,1), (2, 2, 2), (2, 2,1,1), (2,1,1,1,1), (1,1,1,1,1,1)
Definicija 2.3.
Sa Q ( n ) označimo skup svih particija ( n1 , , n k ) P ( n ) čiji su svi članovi
različiti, tj n i n j za i j a sa q ( n ) broj elemenata skupa Q ( n ) . Označimo sa
o ( n ) odnosno e ( n ) brojeve particija broja n čiji su svi članovi parni odnosno
neparni brojevi.
Slide 5
Fererovi dijagrami
Definicija 2.4.
Fererov dijagram particije n ( n1 ,
koordinatama odredjen sa
, nk )
je skup tačaka G n
sa celobrojnim
G n ( x , y ) | k 1 y 0, 0 x n y 1 1
S lika 2.1. F ererov dijagram za particiju
(6,3,3,2,1) broja 15.
S lika 2.2. F ererov dijagram za particiju
(5,4,3,1,1,1) broja 15.
Slide 6
Teorema 2.1.
Preslikavanjem Fererovog dijagrama bilo koje particije ( n1 , , n k ) prirodnog broja n
simetrijom odnosu na pravu y x , dobija se takodje Fererov dijagram neke
particije broja n .
Slika 2.3. Fererov dijagram za sam okon jugovan u
particiju (9,7,5,3,3,2,2,1,1) broja 33.
Slika 2.4. Fererov dijagram za sam okon jugovan u
particiju (9,3,2,1,1,1,1,1,1) broja 20.
Slide 7
Posledica 2.1.
Broj particija broja n čiji je najveći član jednak m jednak je broju m -točlanih
particija broja n .
Teorema 2.2.
Broj samokonjugovanih particija broja n jednak je broju particija broja n čiji su
svi članovi neparni i različiti.
Slik a 2.5 . G rupisan je tačaka u Fererov om
dijagram u pri dokazu T eorem e 2.2.
S lik a 2.6. Fererov dijagram rezultujuće
particije.
Slide 8
Teorema 2.3.
Neka su n i r prirodni brojevi. Broj particija broja n u kojima nema više od r
delova jednak je broju particija broja n r koje imaju tačno r delova.
Teorema 2.4.
Broj particija broja n čiji su svi članovi neparni brojevi jednak je q ( n ) .
Definicija 2.4.
Uredjena k -točlana particija broja n je svaka k -torka ( n1 , , n k ) tako da važi
n1
n k n . Sa ( n ) označićemo broj uredjenih particija broja n .
Teorema 2.5.
n 1
Broj uredjenih k -točlanih particija broja n jednak je n , k
.
k
1
Posledica 2.2.
(n) 2
n 1
Slide 9
3. PARTICIJE I FUNKCIJE GENERATRISE
Definicija 3.1.
Funkciju f ( x )
a
n
x
n
nazivamo funkcijom generatrisom niza a n .
n0
Teorema 3.1.
1. Ako su f i g funkcije generatrise redom nizova a n i b n , tada je f g
funkcija generatrisa niza a n b n .
2. Ako je f funkcija generatrisa niza a n , tada je cf funkcija generatrisa niza
ca n , gde je c bilo koja realna konstanta.
3. Ako su f i g funkcije generatrise redom nizova a n i b n tada je f g
n
funkcija generatrisa niza c n a i bn i .
i0
Teorema 3.2.
1
Funkcija generatrisa niza p ( n ) jednaka je P ( x ) 1 x i .
i 1
Slide 10
Teorema 3.3.
Neka je T t1 , t 2 , beskonačan prebrojiv skup. Neka je p T ( n ) broj particija
broja n čiji svi članovi pripadaju skupu T . Tada je funkcija generatrisa niza p T ( n )
jednaka PT ( x ) 1 x t
i
1
.
i 1
Teorema 3.4.
Funkcija generatrisa niza q ( n ) jednaka je Q ( x ) 1 x i .
i 1
Teorema 3.5.
Neka je T t1 , t 2 , beskonačan skup. Neka je q i ( n ) broj particija broja n čiji
su svi članovi različiti i pripadaju skupu T . Tada je funkcija generatrisa niza q i ( n )
jednaka Q T ( x ) 1 x t .
i
i 1
Teorema 3.6.
Broj a ( n ) particija broja n čiji su delovi kongruentni sa 1 ( m od 6 ) jednak je broju
b ( n ) particija čiji su delovi različiti i kongruentni sa 1 ( m od 3 ).
B ( x)
1 x
i 1
3 k 1
1 x
3k 2
1 x
1 x
i 1
6k 2
3 k 1
1 x
1 x
6k 4
3k 2
1 x
i 1
1
6 k 1
1 x
6 k 5
A( x)
Slide 11
4. DOKAZIVANJE POLINOMNIH IDENTITETA
Lema 4.1.
Razlika brojeva particija broja n na neparan i paran broj različitih delova jednaka je nuli
osim za n k (3 k 1) , k . Ako je n k (3 k 1) onda je razlika jednaka ( 1) k .
2
S lik a 4.1. F ererov d ija gram za particiju
(7 ,6,5 ,3 ,2 ) broja 2 3.
2
S lik a 4.2 . F ererov d ija gram za particiju
(8 ,7,5 ,3 ) broja 2 3 .
Slide 12
“Loši Momci”
Slika 4.3. Fererovi dijagram i za particije kod kojih je l k n k o dnosno l k n k 1 .
Slide 13
NEKI POLINOMNI IDENTITETI
Teorema 4.1. (Ojler-Ležandrov identitet)
1 x
( 1) x
i
k
k ( 3 k 1) 2
k
i 1
Teorema 4.2. (Gausov identitet, 1886)
1
x
i 1
i 1
2
1 x
1 x
m 1
2m
2 m 1
Slide 14
Teorema 4.3. (Jacobijev identitet trostrukog proizvoda)
m ( m 1)
2
x
t
m
m
1 x
n
1 tx
n
1 t x
1
n 1
.
n 1
Teorema 4.4. (1. Rogers-Ramanujanov identitet)
n0
x
n
2
n
1 x
i
i 1
n 1
1
1 x
5n4
1 x
5 n 1
Slide 15
5. REKURZIVNE FORMULE ZA p ( n ) I q ( n )
Za p ( n ; k ) važe sledeće rekurentne formule:
k
p (n; k )
p (n k , i) p (n k ; k )
i 1
p ( n ; k ) p ( n ; k 1) p ( n ; k ) p ( n ; k 1) p ( n k ; k )
Početni uslovi su: p (1; k ) 1 i p (0; k ) : 1 (po dogovoru),
gde je k 1, 2, .
U slučaju da je k n važi:
p ( n ) p ( n ; n ) p ( n ; n 1) p ( n ; n 2)
Slide 16
Za q ( n ; k ) i q ( n ; k ) važe slične relacije:
k 1
q (n; k )
q (n k , i) q (n k ; k )
i 1
q ( n ; k ) q ( n ; k 1) q ( n ; k 1) q ( n ; k 1) q ( n k 1; k 1)
sa početnim uslovima: q (1; k ) 1 i q (0; k ) : 1 (po dogovoru), gde je
k 1, 2, .
Takodje u slučaju da je k n važi:
q ( n ) q ( n ; n ) q ( n ;1) q ( n ; n ) 1
Slide 17
Algoritam 5.1. Izračunavanje broja p ( n )
Korak 1. Za svako k 1,
, n postaviti p (1; k ) 1 i p (0; k ) 1 .
Korak 2. Za svako i 1,
, n izvršiti sledeće korake:
Korak 2.1. Za svako j 1,
, i primeniti sledeće:
Ako je n k k , računati p ( i ; j ) p ( i ; j 1) p ( n j , n j ) ,
u suprotnom računati p ( i ; j ) p ( i ; j 1) p ( n j , j )
Korak 2.2. Postaviti p ( i ; j ) p ( i ; i ) za svako j i 1,
Korak 3. Vratiti izračunatu vrednost p ( n ) p ( n ; n )
,n
Slide 18
ASIMPTOTSKA FORMULA
• Ovo su aproksimativne formule koje približno opisuju
ponašanje komplikovane funkcije za odredjeni interval
vrednosti argumenta.
• Koristimo ih kad ne znamo tačnu formulu ili kad hoćemo da je
uprostimo.
• Primer: Za funkciju f ( n ) n ! važi sledeća aproksimativna
formula
n! g (n )
2 n ne
n
Slide 19
400000
Aproksimativna
i
tačna formula za
faktorijelnu funkciju
300000
200000
100000
2
4
6
8
10
6
5
Za manje vrednosti
argumenta
4
3
2
1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Slide 20
60
50
40
n ! g ( n )
30
20
10
2
3
4
5
6
7
1.1
Apsolutna i relativna
greška aproksimacije
1.08
1.06
g (n)
1.04
n!
1.02
5
10
15
20
25
30
Slide 21
A šta ćemo sa našom funkcijom p ( n )
?
• Pokušajmo da “naslutimo” asimptotsku formulu za p ( n )
• Koristićemo program Table Curve, koji za zadati skup
tačaka odredjuje aproksimativnu krivu
5000
Grafik funkcije
4000
p (n)
3000
2000
1000
5
10
15
20
25
30
Slide 22
Rank 1 Eqn 1376 lny=a+bx0.5+clnx
r2=1 DF Adj r2=1 FitStdErr=212323.449 Fstat=9.33903003e+14
a=-2.1091242 b=2.5626092
c=-0.96655212
4e+12
3.5e+12
3e+12
2.5e+12
2e+12
1.5e+12
1e+12
5e+11
0
50
92.8571
135.714
178.571
Slika 5.1. Grafik zavisnosti p ( n ) zajedno sa asimptotskom formulom.
Slide 23
Na ovaj način smo dobili formulu:
p (n)
A
e
b
Ae
n
n
a
Pri čemu su konstante redom jednake:
b 2 .5 6 2 6
a 2 .1 0 9
Hardy i Ramanujan su (naravno ne pomoću računara )
odredili (i dokazali) sledeću formulu
p (n)
1
e
4n 3
koja ima isti oblik kao i naša!
2
3
n
Slide 24
Još nekoliko lepih tvrdjenja vezanih za particije
n
• MacMahonov-a formula:
m (3 m 1)
m
(
1)
p
n
0
2
mn
p ( n ) p ( n 1) p ( n 2) p ( n 5) p ( n 7) p ( n 12) p ( n 15)
0
Sumiranje ide po svim generalisanim pentagonalnim brojevima
• Nejednakost:
p (n)
p ( n 1) p ( n 1)
2
• Nejednakost slična MacMahonovoj formuli:
n
m (9 m 1)
m
(
1)
p
n
0
2
mn
Slide 25
I za kraj, tačna formula za p (n )
Hehe, što bi rek’o Billy: AJDEEEE!
PARTICIJE PRIRODNIH BROJEVA I
PRIMENE
MARKO PetkovIĆ
[email protected]
Slide 2
1.UVOD
Teorija particija prirodnih brojeva je matematička disciplina
koja se nalazi izmedju kombinatorike i teorije brojeva i
predstavlja lep primer povezanosti ovih širokih oblasti
matematike.
Teorija particija ima široku primenu u teoriji polinomnih
identiteta [3] (i specijalnih funkcija uopšte).
Mnogi, naizgled nerešivi identiteti se veoma lako rešavaju
kada se prevedu na jezik kombinatorike konstrukcijom tzv.
kombinatornog modela.
Ne postoji jednostavna formula za efektivno računanje broja
particija [1,5] što je jedan od razloga zašto je ova teorija
tako bogata i zanimljiva.
Slide 3
2. DEFINICIJE I OSNOVNA SVOJSTVA
Definicija 2.1.
Neka je dat neprazan konačan skup X . Pod particijom skupa X
podrazumevaćemo familiju njegovih podskupova X 1 , , X k P ( X ) pri
k
čemu su svaka dva skupa X i i X j disjunktna i
Xi X
i 1
Definicija 2.2.
Neka je n , i neka su n i prirodni brojevi takvi da važi n1 n 2 n k i
n1
n k n . Tada uredjenu k -torku ( n1 , , n k ) nazvamo k -točlanom
particijom prirodnog broja n . Skup svih particija broja n označavaćemo sa
P ( n ) a broj elemenata skupa P ( n ) sa p ( n ) . Po dogovoru je p (0) 1 .
Slide 4
Primer 2.1.
Neka je n 6 .
Tada je p (6) 11 i
P (6) (6), (5,1), (4, 2), (3, 3), (4,1,1), (3, 2,1), (2, 2, 2), (2, 2,1,1), (2,1,1,1,1), (1,1,1,1,1,1)
Definicija 2.3.
Sa Q ( n ) označimo skup svih particija ( n1 , , n k ) P ( n ) čiji su svi članovi
različiti, tj n i n j za i j a sa q ( n ) broj elemenata skupa Q ( n ) . Označimo sa
o ( n ) odnosno e ( n ) brojeve particija broja n čiji su svi članovi parni odnosno
neparni brojevi.
Slide 5
Fererovi dijagrami
Definicija 2.4.
Fererov dijagram particije n ( n1 ,
koordinatama odredjen sa
, nk )
je skup tačaka G n
sa celobrojnim
G n ( x , y ) | k 1 y 0, 0 x n y 1 1
S lika 2.1. F ererov dijagram za particiju
(6,3,3,2,1) broja 15.
S lika 2.2. F ererov dijagram za particiju
(5,4,3,1,1,1) broja 15.
Slide 6
Teorema 2.1.
Preslikavanjem Fererovog dijagrama bilo koje particije ( n1 , , n k ) prirodnog broja n
simetrijom odnosu na pravu y x , dobija se takodje Fererov dijagram neke
particije broja n .
Slika 2.3. Fererov dijagram za sam okon jugovan u
particiju (9,7,5,3,3,2,2,1,1) broja 33.
Slika 2.4. Fererov dijagram za sam okon jugovan u
particiju (9,3,2,1,1,1,1,1,1) broja 20.
Slide 7
Posledica 2.1.
Broj particija broja n čiji je najveći član jednak m jednak je broju m -točlanih
particija broja n .
Teorema 2.2.
Broj samokonjugovanih particija broja n jednak je broju particija broja n čiji su
svi članovi neparni i različiti.
Slik a 2.5 . G rupisan je tačaka u Fererov om
dijagram u pri dokazu T eorem e 2.2.
S lik a 2.6. Fererov dijagram rezultujuće
particije.
Slide 8
Teorema 2.3.
Neka su n i r prirodni brojevi. Broj particija broja n u kojima nema više od r
delova jednak je broju particija broja n r koje imaju tačno r delova.
Teorema 2.4.
Broj particija broja n čiji su svi članovi neparni brojevi jednak je q ( n ) .
Definicija 2.4.
Uredjena k -točlana particija broja n je svaka k -torka ( n1 , , n k ) tako da važi
n1
n k n . Sa ( n ) označićemo broj uredjenih particija broja n .
Teorema 2.5.
n 1
Broj uredjenih k -točlanih particija broja n jednak je n , k
.
k
1
Posledica 2.2.
(n) 2
n 1
Slide 9
3. PARTICIJE I FUNKCIJE GENERATRISE
Definicija 3.1.
Funkciju f ( x )
a
n
x
n
nazivamo funkcijom generatrisom niza a n .
n0
Teorema 3.1.
1. Ako su f i g funkcije generatrise redom nizova a n i b n , tada je f g
funkcija generatrisa niza a n b n .
2. Ako je f funkcija generatrisa niza a n , tada je cf funkcija generatrisa niza
ca n , gde je c bilo koja realna konstanta.
3. Ako su f i g funkcije generatrise redom nizova a n i b n tada je f g
n
funkcija generatrisa niza c n a i bn i .
i0
Teorema 3.2.
1
Funkcija generatrisa niza p ( n ) jednaka je P ( x ) 1 x i .
i 1
Slide 10
Teorema 3.3.
Neka je T t1 , t 2 , beskonačan prebrojiv skup. Neka je p T ( n ) broj particija
broja n čiji svi članovi pripadaju skupu T . Tada je funkcija generatrisa niza p T ( n )
jednaka PT ( x ) 1 x t
i
1
.
i 1
Teorema 3.4.
Funkcija generatrisa niza q ( n ) jednaka je Q ( x ) 1 x i .
i 1
Teorema 3.5.
Neka je T t1 , t 2 , beskonačan skup. Neka je q i ( n ) broj particija broja n čiji
su svi članovi različiti i pripadaju skupu T . Tada je funkcija generatrisa niza q i ( n )
jednaka Q T ( x ) 1 x t .
i
i 1
Teorema 3.6.
Broj a ( n ) particija broja n čiji su delovi kongruentni sa 1 ( m od 6 ) jednak je broju
b ( n ) particija čiji su delovi različiti i kongruentni sa 1 ( m od 3 ).
B ( x)
1 x
i 1
3 k 1
1 x
3k 2
1 x
1 x
i 1
6k 2
3 k 1
1 x
1 x
6k 4
3k 2
1 x
i 1
1
6 k 1
1 x
6 k 5
A( x)
Slide 11
4. DOKAZIVANJE POLINOMNIH IDENTITETA
Lema 4.1.
Razlika brojeva particija broja n na neparan i paran broj različitih delova jednaka je nuli
osim za n k (3 k 1) , k . Ako je n k (3 k 1) onda je razlika jednaka ( 1) k .
2
S lik a 4.1. F ererov d ija gram za particiju
(7 ,6,5 ,3 ,2 ) broja 2 3.
2
S lik a 4.2 . F ererov d ija gram za particiju
(8 ,7,5 ,3 ) broja 2 3 .
Slide 12
“Loši Momci”
Slika 4.3. Fererovi dijagram i za particije kod kojih je l k n k o dnosno l k n k 1 .
Slide 13
NEKI POLINOMNI IDENTITETI
Teorema 4.1. (Ojler-Ležandrov identitet)
1 x
( 1) x
i
k
k ( 3 k 1) 2
k
i 1
Teorema 4.2. (Gausov identitet, 1886)
1
x
i 1
i 1
2
1 x
1 x
m 1
2m
2 m 1
Slide 14
Teorema 4.3. (Jacobijev identitet trostrukog proizvoda)
m ( m 1)
2
x
t
m
m
1 x
n
1 tx
n
1 t x
1
n 1
.
n 1
Teorema 4.4. (1. Rogers-Ramanujanov identitet)
n0
x
n
2
n
1 x
i
i 1
n 1
1
1 x
5n4
1 x
5 n 1
Slide 15
5. REKURZIVNE FORMULE ZA p ( n ) I q ( n )
Za p ( n ; k ) važe sledeće rekurentne formule:
k
p (n; k )
p (n k , i) p (n k ; k )
i 1
p ( n ; k ) p ( n ; k 1) p ( n ; k ) p ( n ; k 1) p ( n k ; k )
Početni uslovi su: p (1; k ) 1 i p (0; k ) : 1 (po dogovoru),
gde je k 1, 2, .
U slučaju da je k n važi:
p ( n ) p ( n ; n ) p ( n ; n 1) p ( n ; n 2)
Slide 16
Za q ( n ; k ) i q ( n ; k ) važe slične relacije:
k 1
q (n; k )
q (n k , i) q (n k ; k )
i 1
q ( n ; k ) q ( n ; k 1) q ( n ; k 1) q ( n ; k 1) q ( n k 1; k 1)
sa početnim uslovima: q (1; k ) 1 i q (0; k ) : 1 (po dogovoru), gde je
k 1, 2, .
Takodje u slučaju da je k n važi:
q ( n ) q ( n ; n ) q ( n ;1) q ( n ; n ) 1
Slide 17
Algoritam 5.1. Izračunavanje broja p ( n )
Korak 1. Za svako k 1,
, n postaviti p (1; k ) 1 i p (0; k ) 1 .
Korak 2. Za svako i 1,
, n izvršiti sledeće korake:
Korak 2.1. Za svako j 1,
, i primeniti sledeće:
Ako je n k k , računati p ( i ; j ) p ( i ; j 1) p ( n j , n j ) ,
u suprotnom računati p ( i ; j ) p ( i ; j 1) p ( n j , j )
Korak 2.2. Postaviti p ( i ; j ) p ( i ; i ) za svako j i 1,
Korak 3. Vratiti izračunatu vrednost p ( n ) p ( n ; n )
,n
Slide 18
ASIMPTOTSKA FORMULA
• Ovo su aproksimativne formule koje približno opisuju
ponašanje komplikovane funkcije za odredjeni interval
vrednosti argumenta.
• Koristimo ih kad ne znamo tačnu formulu ili kad hoćemo da je
uprostimo.
• Primer: Za funkciju f ( n ) n ! važi sledeća aproksimativna
formula
n! g (n )
2 n ne
n
Slide 19
400000
Aproksimativna
i
tačna formula za
faktorijelnu funkciju
300000
200000
100000
2
4
6
8
10
6
5
Za manje vrednosti
argumenta
4
3
2
1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Slide 20
60
50
40
n ! g ( n )
30
20
10
2
3
4
5
6
7
1.1
Apsolutna i relativna
greška aproksimacije
1.08
1.06
g (n)
1.04
n!
1.02
5
10
15
20
25
30
Slide 21
A šta ćemo sa našom funkcijom p ( n )
?
• Pokušajmo da “naslutimo” asimptotsku formulu za p ( n )
• Koristićemo program Table Curve, koji za zadati skup
tačaka odredjuje aproksimativnu krivu
5000
Grafik funkcije
4000
p (n)
3000
2000
1000
5
10
15
20
25
30
Slide 22
Rank 1 Eqn 1376 lny=a+bx0.5+clnx
r2=1 DF Adj r2=1 FitStdErr=212323.449 Fstat=9.33903003e+14
a=-2.1091242 b=2.5626092
c=-0.96655212
4e+12
3.5e+12
3e+12
2.5e+12
2e+12
1.5e+12
1e+12
5e+11
0
50
92.8571
135.714
178.571
Slika 5.1. Grafik zavisnosti p ( n ) zajedno sa asimptotskom formulom.
Slide 23
Na ovaj način smo dobili formulu:
p (n)
A
e
b
Ae
n
n
a
Pri čemu su konstante redom jednake:
b 2 .5 6 2 6
a 2 .1 0 9
Hardy i Ramanujan su (naravno ne pomoću računara )
odredili (i dokazali) sledeću formulu
p (n)
1
e
4n 3
koja ima isti oblik kao i naša!
2
3
n
Slide 24
Još nekoliko lepih tvrdjenja vezanih za particije
n
• MacMahonov-a formula:
m (3 m 1)
m
(
1)
p
n
0
2
mn
p ( n ) p ( n 1) p ( n 2) p ( n 5) p ( n 7) p ( n 12) p ( n 15)
0
Sumiranje ide po svim generalisanim pentagonalnim brojevima
• Nejednakost:
p (n)
p ( n 1) p ( n 1)
2
• Nejednakost slična MacMahonovoj formuli:
n
m (9 m 1)
m
(
1)
p
n
0
2
mn
Slide 25
I za kraj, tačna formula za p (n )
Hehe, što bi rek’o Billy: AJDEEEE!