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ECS 3 : CONCOURS BLANC
le 17 juin 2014
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, le clart´e et la pr´ecision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
Les candidats sont invit´es `
a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.
Les candidats ne doivent faire usage d’aucun document ; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel
´electronique est interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.
Exercice 1: Hec E 87
On d´esigne par E l’espace vectoriel des polynˆomes r´eels de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 3.
On consid`ere l’application f qui `
a tout ´el´ement P de E associe le polynˆome f (P ) d´efini par :
f (P )(X) = (X − 1)P 0 (X) − P (X)
o`
u P 0 est le polynˆome d´eriv´e de P.
1.
2.
3.
4.
5.
Montrer que f d´efinit un endomorphisme de E.
Ecrire la matrice associ´ee `
a f dans la base canonique B de E. f est-il bijectif ?
D´eterminer le noyau de f. En d´eduire le rang de f.
D´eterminer une base de l’image de f.
On consid`ere l’application f 2 = f ◦ f.
(a) Montrer que Kerf ⊂ Kerf 2 et Imf 2 ⊂ Imf .
(b) Ecrire la matrice associ´ee `
a f 2 dans la base B.
(c) D´eterminer le noyau de f 2 .
Exercice 2: Esc S 2007
Dans tout l’´enonc´e, p est un r´eel de l’intervalle ]0, 1[ et q = 1 − p.
Sur une table sont plac´ees deux boules noires (´etape 0).
Une des deux boules est choisie au hasard et ´elimin´ee de la table.
Ensuite on repose sur la table : soit une boule blanche , avec la probabilit´e p, soit une boule noire , avec la
probabilit´e q.
On a alors atteint l’´etape 1 . Cette action est r´ep´et´ee ainsi ind´efiniment , de sorte qu’`a chaque ´etape k, deux
boules sont sur la table : soit deux noires (´ev´enement not´e Ak ), soit une noire et une blanche (´ev´enement not´e
Bk ), soit deux blanches (´ev´enement not´e Ck ).
A chaque ´etape, une des deux boules est choisie au hasard puis remplac´ee comme pr´ec´edemment soit par une
boule blanche avec la probabilit´e p soit par une boule noire avec la probabilit´e q.
Pour 
tout k ∈ Non note
P (Ak ), 
bk = P (Bk), ck = P (C
´egalement ak =

k ) ,et on pose les matrices suivantes :
q 2q 0
1
q
q2
0 0 0
ak
1
1







M = p 2 q , P = −2 p − q 2pq , D = 0 2 0 , et Uk = bk .
ck
0 p2 p
1
−p
p2
0 0 1
1. Calculer le produit P D et le produit M P .
V´erifier alors que M P = P D.
2. D´eterminer a0 , b0 , c0 puis a1 , b1 , c1 .
3. Soit k ∈ N. Justifier soigneusement que PAk (Ak+1 ) = q, PBk (Ak+1 ) = 2q , et PCk (Ak+1 ) = 0.
D´eterminer aussi PAk (Bk+1 ), PBk (Bk+1 ), PCk (Bk+1 ), PAk (Ck+1 ), PBk (Ck+1 ), PCk (Ck+1 )
4. Montrer que pour tout k ∈ N∗ , Uk+1 = M Uk .
 2
p
∗
k

2p.
5. Montrer alors par r´ecurrence que pour tout k ∈ N , Uk = P D
1
6. En d´eduire pour tout entier naturel k non nul ak , bk et ck en fonction de k. D´eterminer alors leur limite.
Exercice 3: extrait Eml S 2012
Les deux parties sont ind´ependantes.
Partie A
Soit un r´
eel a strictement positif et la fonction fa : R → R d´efinie pour tout r´eel x par :
(
0
si x ≤ 0
fa (x) =
x2
−
x
e 2a2 si x > 0
a2
1. Montrer que fa est une densit´e.
On consid`ere une variable al´eatoire X admettant fa comme densit´e.
2. D´eterminer la fonction de r´epartition de la variable al´eatoire X.
3. On consid`ere une variable al´eatoire V suivant la loi uniforme sur ]0, 1].
(a) Rappeler la fonction de r´epartition de V .
p
(b) Montrer que la variable al´eatoire Z = a −2 ln(V ) suit la mˆeme loi que X.
(c) En d´eduire une fonction Scilab, de param`etre d’entr´ee a, qui renvoie une simulation de la variable
al´eatoire X.
Partie B
Pour tout entier n ≥ 2, on consid`ere une urne Un contenant n boules num´erot´ees de 1 `a n.
On effectue dans Un des tirages d’une boule avec remise. On suppose que tous les tirages dans Un sont
´equiprobables. On s’arrˆete d`es que l’on obtient une boule d´ej`a obtenue.
On note Tn la variable al´eatoire ´egale au nombre de tirages effectu´es.
4. Justifier P (Tn > n + 1) = 0.
5. D´eterminer pour tout entier k tel que k ≤ n, P (Tn > k).
6. En d´eduire la loi de Tn .
7. (a) Rappeler ce que renvoie l’instruction scilab floor(n*rand())+1.
(b) Compl´eter le script scilab suivant, afin qu’il affiche une simulation de la variable Tn lorsque n est un
entier entr´e par l’utilisateur.
n=input(’n=’)
stock= zeros(1,n)
t=1
x=floor(n*rand())+1
stock(x)=1
while max(stock)<2
...................
...................
...................
end
disp(t,’t =’)
Probl`
eme : Hec E 2014
– La fonction de r´epartition de la loi normale centr´ee r´eduite est not´ee Φ.
– La notation exp d´esigne la fonction exponentielle.
– Les deux parties sont ind´ependantes.
Partie I. Un ´
equivalent d’une int´
egrale
1. Soit N la fonction d´efinie sur l’intervalle [0, 1[, `a valeurs r´eelles, telle que :
N (x) = x2 − 2x − 2 (1 − x) ln (1 − x).
(a) Montrer que pour tout x ∈ [0, 1[, on a : ln (1 − x) ≤ −x.
(b) Montrer que N est C 1 sur ]0,1[ et que pour tout x ∈ [0, 1[, N 0 (x) ≤ 0.
(c) En d´eduire le signe de N sur [0, 1[.
2. Soit f la fonction d´efinie sur l’intervalle [0, 1[, par f (x) =


−2
 1
x + ln (1 − x)
x2
si 0 < x < 1
si x = 0
(a) Rappeler le d´eveloppement limit´e en 0 `a l’ordre 4 de ln(1 − x).
En d´eduire le d´eveloppement limit´e de f en 0 `a l’ordre 2.
(b) Montrer que la fonction f est continue en 0.
(c) En d´eduire que la fonction f est d´erivable en 0 et pr´eciser f 0 (0).
Quelle est la position relative de la courbe de f et de sa tangente en 0, au voisinage de 0 ?
N (x)
(d) Montrer que pour tout x ∈ ]0, 1[, on a : f 0 (x) = −2 3
.
x (1 − x)
(e) Dresser le tableau de variation complet de la fonction f sur [0, 1[.
(f) Dessiner une allure de la courbe de f .
2
3. On pose pour tout n ∈ N∗ et pour tout x ∈ [0, 1[ : gn (x) = exp − nx2 f (x)
R1
R1
´
(a) Etablir
la convergence de l’int´egrale 0 gn (x) dx. On pose alors pour tout n∈ N∗ : In = 0 gn (x) dx.
2
(b) Montrer que pour tout x ∈ [0, 1[, on a : 0 ≤ gn (x) ≤ exp − nx2 .
q
√
1
(c) En d´eduire l’encadrement : 0 ≤ In ≤ 2π
n Φ ( n) − 2
pπ
(d) Montrer que pour tout n ∈ N∗ , on a : 0 ≤ In ≤ 2n
4. Soit (vn )n∈N∗ la suite r´eelle d´efinie par : pour tout n ∈ N∗ , vn =
1
ln(n+2)
(a) Montrer que pour tout n ∈ N∗ , on a : 0 < vn < 1.
´
(b) On pose pour tout n ∈ N∗ : wn = f (vn ). Etablir
la convergence de (wn )n∈N∗ ; d´eterminer sa limite.
´
(c) Etablir
pour tout n ∈ N∗ les in´egalit´es suivantes :
2
Z vn
Z vn √nwn
Z vn
nx2
u
1
exp −
exp −
gn (x) dx ≥
wn dx ≥ √
du
In ≥
2
nw
2
n 0
0
0
q
1
√
2
∗
´
√
(d) Etablir pour tout n ∈ N , l’encadrement, : wn Φ vn nwn − 2 ≤ In 2n
π ≤1
(e) En d´eduire un ´equivalent de In lorsque n tend vers +∞
Partie II. Quelques propri´
et´
es asymptotiques de la loi de Poisson
R
1 x n −t
5. On pose pour tout r´eel x > 0 et pour tout n ∈ N : Jn (x) = n!
0 t e dt
(a) Calculer pour tout r´eel x > 0, J0 (x) et J1 (x).
´
(b) Etablir
pour tout r´eel x > 0 et pour tout n ∈ N∗ , une relation entre Jn (x) et Jn−1 (x).
n xk
P
(c) En d´eduire pour tout r´eel x > 0 et pour tout n ∈ N :Jn (x) = 1 −
e−x .
k!
k=0
R +∞ n −t
(d) Montrer que pour tout n ∈ N, l’int´egrale 0 t e dt est convergente et calculer sa valeur.
Pour tout n ∈ N∗ , on introduit une variable al´eatoire not´ee Sn qui suit une loi de Poisson P(n). On suppose
toutes ces variables d´efinies sur un mˆeme espace probabilis´e.
6. Exprimer pour tout n ∈ N∗ , P ([Sn ≤ n]) et P ([Sn ≥ n]) en fonction de Jn (n) et Jn−1 (n) respectivement.
7. Pour tout n ∈ N∗ , on note hn la fonction d´efinie sur R+ `a valeurs r´eelles, telle que : hn (x) = xn e−x .
´
(a) Etudier
les variations de hn sur R+ .
´
(b) Etablir pour tout n ∈ N∗ , la relation :
Z n+1
1
P ([Sn+1 ≤ n + 1]) − P ([Sn ≤ n]) = −
(hn+1 (t) − hn+1 (n)) dt
(n + 1)! n
(c) En d´eduire que la suite (P ([Sn ≤ n]))n∈N∗ est d´ecroissante, puis qu’elle converge.
(d) On pourrait montrer, par un raisonnement analogue, que la suite (P ([Sn ≥ n]))n∈N∗ converge ´egalement.
En d´eduire que la suite (P ([Sn = n]))n∈N converge.