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PSI - DL 3 - 2014-2015
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DEVOIR LIBRE 3
Probl`
eme 1
Soit n un entier naturel. On dispose de n + 1 urnes U0 , U1 , . . . , Un .
Pour tout j ∈ [[ 0, n]], l’urne Uj contient j + 1 boules num´erot´ees de 0 `a j.
On effectue une succession de tirages d’une boule avec remise selon le protocole suivant.
• Au premier tirage, on tire une boule avec remise dans l’urne Un .
• A l’issu de ce premier tirage, si on obtient la boule num´ero j (j ∈ [[ 0, n]]), le second tirage
s’effectue dans l’urne Uj .
• On continue alors les tirages selon la mˆeme r`egle : pour tout entier naturel k non nul, on tire
une boule avec remise au k-i`eme tirage et on note le num´ero j de la boule tir´ee. Le (k + 1)-i`eme
tirage s’effectue alors avec remise dans l’urne Uj .
Pour tout entier naturel non nul k, on note Xk la variable al´eatoire ´egale au num´ero tir´e lors du k-i`eme
tirage. Le premier tirage ayant lieu dans l’urne n, on pose X0 = n.
L’exp´erience est mod´elis´ee par un espace probabilis´e (Ω, A, P ).
Pour tout entier naturel k, on consid`ere la matrice Wk de Mn+1 (R) et la matrice A de Mn+1 (R)
d´efinies par :

1 
1 21 13 · · · n+1


1 
P (Xk = 0)
0 1 1 · · ·
2
3
n+1 

 P (Xk = 1) 
 ..
.. 
..


.
. 0 13
. 
Wk = 
et
A=

..

.


.
 .. .. . .

.
1 
..
. .
.
n+1
P (Xk = n)
1
0 0 · · · 0 n+1
Pour tout entier naturel k, on note E(Xk ) et V (Xk ) respectivement, l’esp´erance et la variance de Xk .
1. (a) Soit k ∈ N. Pour tout j ∈ [[ 0, n]], ´ecrire P (Xk+1 = j) en fonction de certains des nombres
P (Xk = i) pour i ∈ [[ 0, n]].
(b) En d´eduire la relation : Wk+1 = AWk .
2. (a) D´eterminer la matrice ligne B ∈ M1,n+1 (R) telle que BWk = E(Xk ).
(b) Calculer BA en fonction de B.
(c) Exprimer pour tout entier naturel k, E(Xk+1 ) en fonction de E(Xk ).
(d) En d´eduire l’expression de E(Xk ) en fonction de n et de k ∈ N.
3. (a) D´eterminer la matrice ligne C de M1,n+1 (R) telle que CWk = E(Xk2 ) pour tout k ∈ N.
(b) Calculer le produite CA en fonction de B et C.
2 ) en fonction de E(X 2 ) et E(X ).
(c) Pour tout entier naturel k, exprimer E(Xk+1
k
k
4. Pour tout entier naturel k, on pose uk = E(Xk2 ) −
n
.
2k
(a) V´erifier que la suite (uk ) est une suite g´eom´etrique.
(b) En d´eduire l’expression de E(Xk2 ) en fonction de k ∈ N et de n.
(c) Exprimer V (Xk ) en fonction de k ∈ N et n.
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On note Rn [x] l’espace vectoriel des fonctions polynˆomes `a coefficients r´eels de degr´e inf´erieur
ou ´egal `
a n et on rappelle que la base canonique de cet espace est B = (e0 , e1 , · · · , en ) o`
u, pour
j
tout j ∈ [[ 0, n]], la fonction ej est d´efinie par ej (x) = x pour tout x ∈ R.
Soit f l’application qui, `
a une fonction polynˆome S de Rn [X], associe la fonction Q = f (S)
d´efinie par :
1 Rx
S(t)dt si x 6= 1
Q(x) = f (S)(x) = (x−1) 1
.
S(1)
si x = 1
5. (a) Montrer que f est un endomorphisme de de Rn [x].
(b) Ecrire la matrice de f dans la base B.
6. Pour tout j ∈ [[ 0, n]], on d´efinit la fonction polynomiale qj par qj (x) = (x − 1)j , pour tout x ∈ R.
(a) Montrer que B 0 = (q0 , q1 , . . . , qn ) est une base de Rn [x].
(b) Donner la matrice D repr´esentative de f dans B 0 .
(c) Donner la matrice de passage T de B vers B 0 .
(d) D´eterminer l’inverse de T .
(e) Ecrire pour tout entier naturel k, la derni`ere colonne de la matrice Ak .
7. (a) Montrer que pour tout entier naturel k, la loi de Xk est donn´ee par :
∀j ∈ [[ 0, n]],
X
n−j
n
1
i n−j
P (Xk = j) =
(−1)
.
j
i
(j + i + 1)k
i=0
(b) Pour tout j ∈ [[ 0, n]], d´eterminer
lim P (Xk = j). Interpr´eter l’issue asymptotique des
k→+∞
tirages.
Probl`
eme
Pour tout entier n ≥ 1, on note fn la fonction d´efinie sur R par :
√
e−x n
fn (x) = √ .
n n
Le but de l’exercice est d’´etudier les modes de convergence de la s´erie de fonctions
P
fn puis d’en
n≥1
´etudier sa somme que l’on notera f .
I. R´
esultat pr´
eliminaire.
1. Une in´egalit´e classique.
Quelle propri´et´e de la fonction exponentielle permet de justifier que sa courbe est au-dessus de
sa tangente au point d’abscisse 0 ? En d´eduire une in´egalit´e tr`es classique qui traduise cette
propri´et´e g´eom´etrique.
2. En d´eduire que pour tout r´eel u > 0, on a : e−u ≤ u1 .
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II. Modes de convergence de la s´
erie de fonctions.
1. Trouver le domaine de d´efinition de f (i.e. le domaine de convergence simple de
P
fn ).
n≥1
2. D´emontrer que la s´erie de fonctions
P
fn converge normalement sur [0, +∞[.
n≥1
3. Montrer que f est continue sur R+ .
4. Montrer que f est de classe C 1 sur R∗+ .
5. La s´erie de fonction
fn0 converge-t-elle normalement sur R∗+ ?
P
n≥1
III. Equivalent de f au voisinage de +∞.
L’objectif de ce paragraphe est de d´eterminer un ´equivalent simple de la fonction f au voisinage de
+∞.
1. D´emontrer que, pour x > 0 :
+∞
1X 1
f (x) ≤
.
x
n2
n=1
En d´eduire la limite de f (x) lorsque x tend vers +∞.
2. On pose, pour x > 0 :
√
+∞ −x( n−1)
X
e
√
.
ψ(x) =
n
n
n=2
(a) Justifier que ψ(x) est bien d´efinie.
(b) Montrer que ψ(x) tend vers 0 lorsque x tend vers +∞.
(c) Soit x > 0. Exprimer f (x) `a l’aide de ψ(x). En d´eduire un ´equivalent simple de f (x) au
voisinage de +∞.
IV. Deux r´
esultats utiles pour la fin.
Dans ce paragraphe, on ´etablit deux r´esultats ind´ependants utiles pour le dernier paragraphe.
1. S´erie P
de fonctions croissantes.
Soit
gn une s´erie de fonctions qui converge simplement sur ]0, +∞[. On note g sa somme.
n≥1
D´emontrer que si pour tout n ∈ N∗ , la fonction gn est croissante sur ]0, +∞[, alors g est aussi
croissante sur ]0, +∞[.
2. Th´eor`eme de la limite de la d´eriv´ee.
Soit h une fonction continue sur [0, +∞[ et d´erivable sur ]0, +∞[. On suppose que h0 (x) tend
vers −∞ quand x tend vers 0.
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(a) Soit t > 0, justifier l’existence d’un r´eel ct ∈]0, t[ tel que :
h(t) − h(0)
= h0 (ct ).
t−0
(b) En d´eduire que la fonction h n’est pas d´erivable en 0 et pr´eciser la tangente `a la courbe au
point d’abscisse 0.
V. Tangente `
a la courbe de f au point d’abscisse 0.
L’objectif de ce paragraphe est de d´eterminer l’allure de la tangente `a la courbe de f au point d’abscisse
0, puis de tracer la courbe de f .
1. Justifier que la fonction f 0 est croissante sur ]0, +∞[.
2. En d´eduire que f 0 (x) tend vers l ∈ R ∪ {−∞} lorsque x tend vers 0.
3. Consid´erons N ∈ N∗ fix´e.
(a) Comparer pour x > 0, les r´eels f 0 (x) et
N
P
n=1
−e−x
n
√
n
.
(b) En d´eduire avec soin que :
l≤−
N
X
1
.
n
n=1
(c) Que peut-on en d´eduire pour l ?
4. Tracer l’allure de la courbe de f en repr´esentant notamment la tangente au point d’abscisse 0.