Transcript TD 11

P CSI1 13-14 TD no 11 : Lois de Newton et ´energie
1. Oscillateur : lois de Newton et ´
energie
y
O
~g
d
θ
O′
M
l0
x
On consid`ere un pendule constitu´e d’une tige de masse
n´egligeable, de longueur d et d’un point mat´eriel M de masse
m. La liaison en O′ est parfaitement coulissante de sorte que le
ressort est constamment horizontal. Le ressort est id´eal de constante de raideur k et de longueur `a vide l0 . On n´eglige tout
frottement.
En utilisant les lois de Newton, d´eterminer l’´equation
diff´erentielle du deuxi`eme ordre r´egissant θ. En d´eduire la p´eriode
des petites oscillations.
Retrouver les r´esultats pr´ec´edents en utilisant le th´eor`eme de la
puissance m´ecanique.
2. Glissade d’un palet sur une boule
Soit (R) le r´ef´erentiel du laboratoire suppos´e galil´een et associ´e `a (Oxyz). (Oz) est suivant la verticale
ascendante. Le champ de pesanteur ~g est suppos´e uniforme. On note g sa norme. On consid`ere un
palet de masse m assimil´e `a un point mat´eriel M . Il est `a t = 0 plac´e en M0 sur une boule (suppos´ee
immobile par rapport `a (R), de centre C et de rayon b) avec une vitesse nulle. M0 est rep´er´e par
l’angle θ0 par rapport `a la verticale. On suppose que θ0 ≪ 1 rad. M se met alors `a glisser sur la
boule en restant dans le plan (x0z) et on le rep`ere par l’angle
p θ par rapport `a la verticale. On n´eglige
tous les frottements, solides comme fluides. On pose ω0 = gb .
z
M0
θ0
b
C
θ
~ur
M
~uθ
x
O
(a) Repr´esenter sur un sch´ema les diff´erentes forces s’exer¸cant sur M pour θ quelconque. Quelle est
la nature de la liaison entre M et la boule?
(b) En utilisant la deuxi`eme loi de Newton, d´eterminer θ¨ en fonction de ω0 et θ et en d´eduire θ˙2 en
fonction de ω0 , θ0 et θ. Retrouver ce r´esultat par un raisonnement ´energ´etique.
−
→
(c) D´eterminer la r´eaction R exerc´ee par la boule sur M en fonction de m, g, θ0 , θ et ~ur .
(d) On suppose que θ − θ0 ≪ 1 rad. D´eterminer alors θ en fonction du temps. L’expression obtenue
est-elle valable quelque soit t?
(e) Pour quel angle θ1 le contact entre le point M et la boule cesse-t-il? On notera M1 le point
correspondant au d´ecollage de M et t1 l’instant correspondant. Quelle est l’altitude z1 de M1 par
rapport au sol z = 0?
(f) Quelle est la norme v1 de la vitesse ~v1 de M en M1 ? Faire un dessin repr´esentant le point M en
M1 avec sa vitesse.
(g) Que peut-on dire du mouvement de M pour t > t1 ? Seule une analyse qualitative est demand´ee.
3. Mouvement d’un point sur une h´
elice
z
Une h´elice est d´ecrite par la donn´ee de ses coordonn´ees
cylindriques (ρ, θ, z) sous la forme ρ = a et z = h θ. Un
petit anneau assimil´e `a un point mat´eriel M est enfil´e
sur l’h´elice en M0 d’altitude H = 2πh, et lˆach´e sans
vitesse initiale dans le champ de pesanteur terrestre.
On n´eglige les frottements de l’anneau sur l’h´elice.
M0
O
M
y
x
θ
(a) Par un raisonnement ´energ´etique, d´eterminer la
Mf
vitesse V de l’anneau lorsqu’il atteint le plan z = 0.
(b) D´eterminer `a un instant t quelconque (0 ≤ t ≤ T avec T la dur´ee du trajet de M0 `a Mf )
l’expression de θ˙ en fonction de g, a, h et θ. En d´eduire, par une s´eparation des variables, la
dur´ee T de ce trajet.
(c) D´eterminer en fonction de a, h et dθ, la norme, not´e ds, du vecteur d´eplacement ´el´ementaire
de M sur l’h´elice. En d´eduire par int´egration la longueur L du trajet de M0 `a Mf . Discuter si
h → 0.
R´
eponse : V =
√
2gH ; T = 2
q
π(a2 +h2 )
gh
√
; L = 2π a2 + h2
4. Vibration d’un moteur
Lorsqu’un moteur fonctionne, un balourd provoque des vibrations du chassis. Il est n´ecessaire de
pr´evoir un syst`eme de suspension. Le moteur est assimil´e `a un point mat´eriel M de masse m. La
suspension peut ˆetre mod´elis´ee par un ressort de longueur `a vide l0 et de raideur k, plac´e en parall`ele
avec un amortisseur qui exerce sur le moteur une force de freinage : f~ = − α dz ~uz o`
u α est une
dt
constante positive.
z
O
M
~g
α
k
(a) Le moteur ne fonctionne pas et il est immobile. D´eterminer la longueur le du ressort. La position
du moteur dans ce cas est prise comme origine de l’axe (Oz).
(b) Le moteur ´etant toujours arrˆet´e, on ´ecarte le moteur de sa position d’´equilibre d’une hauteur H
vers le haut puis on le laisse ´evoluer librement sans lui communiquer de vitesse initialement.
i. En utilisant le principe fondamental de la Dynamique, ´etablir avec soin l’´equation diff´erentielle
v´erifi´ee par z(t).
α
k
ii. On pose λ = 2m
et ω02 = m
et on suppose que λ < ω0 .
D´eterminer z(t) en fonction de λ, ω0 et H. Comment appelle-t-on ce type de r´egime?
Tracer l’allure de z en fonction du temps, puis celle de ddzt en fonction de z. Quel nom porte
cette derni`ere courbe?
iii. D´eterminer l’´energie m´ecanique Em du syst`eme en fonction de z et ddzt . Le syst`eme est-il
conservatif? Que vaut ddEtm ? Retrouver ainsi l’´equation du mouvement obtenue `a la question
b)i).
(c) Le moteur fonctionne. Tout se passe comme s’il apparaissait une force suppl´ementaire s’exer¸cant
−
→
sur M de la forme F = F0 cos(ωt) ~uz o`
u F0 est une constante.
i. Donner la nouvelle ´equation diff´erentielle v´erifi´ee par z(t).
ii. En r´egime sinuso¨ıdal ´etabli, on recherche des solutions de la forme :
z(t) = Z0 cos(ωt + ϕ)
dz
= V0 cos(ωt + ψ)
dt
D´eterminer les expressions des grandeurs complexes Z = Z0 ejϕ et V = V0 ejψ .
iii. Exprimer Z0 et V0 en fonction de ω et des param`etres λ, ω0 et Fm0 .
Donner l’allure de Z0 (ω) et de V0 (ω).
iv. La pulsation ω vaut 628 rad.s−1 . Le moteur a une masse m = 10 kg et on dispose de deux
ressorts de raideur k1 = 4.106 N.m−1 et k2 = 106 N.m−1 . Lequel faut-il choisir pour r´ealiser
la suspension?
v(t) =
5. Oscillation d’un v´
ehicule
On souhaite ´etudier le mouvement vertical d’un v´ehicule de masse totale m = 1, 00.103 kg, assimil´e
`a un point mat´eriel M . On suppose qu’il poss`ede une unique suspension assimilable `a un ressort de
constante de raideur k = 1, 00.105 N.m−1 et de longueur `a vide l0 , et `a un amortisseur de constante
−
→
u l est la
d’amortissement k ′ = 1, 00.103 N.m−1 .s. La force d’amortissement est Fa = −k ′ ddtl ~uz o`
longueur du ressort. On note A le point de contact du v´ehicule avec le sol et zA son altitude.
(a) Faire le bilan des forces s’appliquant sur M .
(b) Syst`eme au repos
z
On suppose le syst`eme au repos. On a alors l = leq
et zA = 0. D´eterminer leq en fonction de m, g =
||~g ||, k et l0 . Dans toute la suite, M sera rep´er´e par
′
k
rapport `a cette position d’´equilibre (coordonn´ee z,
k
l
cf figure ci-contre).
(c) Syst`eme excit´e sinuso¨ıdalement
leq
Le v´ehicule se d´eplace avec une vitesse horizontale ~v0 = v0 ~ux . L’ondulation du sol est assimil´ee
`a une sinuso¨ıde de p´eriode spatiale L = 2 m et
A
a
d’amplitude a = 5 cm.
zA
O
i. Montrer que zA est
x
de la forme zA (t) =
a
v0
a cos 2π L t + ϕA . On ne cherchera pas `a
L
d´eterminer l’expression de ϕA .
On posera dans la suite ω = 2π vL0 .
ii. Montrer que z v´erifie l’´equation diff´erentielle suivante :
M
z
~g
d2 z
ω0 dzA
ω0 dz
2
2
+
ω
z
=
ω
z
+
+
A
0
0
dt2
Q0 dt
Q0 dt
avec ω0 =
q
k
m
et
ω0
Q0
=
k′
.
m
Calculer les valeurs num´eriques de ω0 et Q0 .
iii. On note, en r´egime sinuso¨ıdal forc´e : z(t) = Z cos(ωt + ϕz ) avec Z > 0. On pose H = Za .
A. D´eterminer H en fonction de u = ωω0 et Q0 .
B. D´eterminer les limites de H.
C. Que peut-on dire de Q0 s’il n’y a pas de frottement? Quelle est alors l’expression de H?
Tracer l’allure de H en fonction de u dans ce cas.
D. Il y a des frottements, mais Q0 est toutefois grand. D´eduire de la question pr´ec´edente
l’allure de H. Justifier qualitativement la pr´esence d’un ph´enom`ene de r´esonance en une
valeur de u que l’on pr´ecisera. Montrer que la valeur maximale de H est de l’ordre de Q0 .
E. Calculer l’amplitude des oscillations du v´ehicule lorsque v0 = 50 km.h−1 . Calculer la
fr´equence des oscillations que ressent un passager.
` quelle vitesse v0 c ne faut-il surtout pas rouler sur ce sol ondul´e?
A
6. R´
eponse d’un oscillateur `
a une excitation indirecte
Une petite sph`ere M de masse m est suspendue `a un ressort de raideur k et de longueur `a vide l0 .
Elle est plong´ee dans un fluide. Lorsqu’elle se d´eplace `a la vitesse ~v par rapport au fluide, elle subit
−
→
une force de frottement F = −h~v . On n´egligera la Pouss´ee d’Archim`ede. Le point d’attache A du
ressort peut se d´eplacer verticalement, grˆace `a un dispositif non repr´esent´e sur la figure. On posera
h
k
λ = 2m
et ω02 = m
.
O
A=O
xA
(a) D´eterminer l’´equation diff´erentielle r´egissant x en fonction de xA .
(b) On se place dans le cas d’un amortissement faible.
L’oscillateur ´etant initialement au repos et `a l’´equilibre,
on lui applique l’´echelon de d´eplacement xA (t) suivant
xA (t) = 0 pour t < 0 et xA (t) = XA = cte pour t > 0.
D´eterminer la r´eponse x(t).
~g
A
leq
l
Meq
(c) A est anim´e d’un mouvement vertical sinuso¨ıdal tel que
xA (t) = XA cos ωt. D´eterminer l’amplitude X des oscillations de M . Dans le cas o`
u λ ≪ ω0 et ω ≫ ω0
(fonctionnement en sismographe), que devient X ?
x
R´
eponse : x(t) = XA − XA (cos Ωt +
λ
Ω
sin Ωt) e−λt
7. Pendule avec frottements fluide visqueux
y
O
On consid`ere le mouvement d’un pendule simple M qui oscille
dans un milieu o`
u il subit une force de frottement du type
−
→
F = −h~v o`
u ~v est la vitesse du pendule dans le r´ef´erentiel
terrestre suppos´e galil´een. Le pendule est constitu´e d’un objet
~g
ponctuel M de masse m, accroch´e par l’interm´ediaire d’une tige
`a un point fixe O. On suppose la tige de masse n´egligeable. Sa
longueur est l = 1 m. On note θ l’angle de la tige OM avec
θ
la verticale. L’ensemble est situ´e dans le champ de pesanteur
M
x
terrestre ~g consid´er´e comme uniforme.
2
(a) La prise en compte de frottements am`ene `a proposer l’´equation diff´erentielle suivante : d 2θ +
dt
ω0 dθ
2
+
ω
sin
θ
=
0.
Justifier
l’´
e
quation
pr´
e
c´
e
dente
par
deux
m´
e
thodes.
0
Q0 dt
(b) La figure en annexe repr´esente le portrait de phase du pendule amorti. Quel est le sens de
parcours d’une trajectoire de phase? Quelles sont les conditions initiales? Comment se manifeste
l’irr´eversibilit´e du ph´enom`ene? Quels sont les attracteurs? Justifier les r´eponses.
(c) Expliquer le mouvement du pendule correspondant `a chaque trajectoire de phase. Peut-on ´evaluer
le facteur de qualit´e Q0 ?
8. Stabilit´
e d’un ´
equilibre
y
M
~g
θ
x
A
O
B
Le r´ef´erentiel terrestre est suppos´e galil´een et le
champ de pesanteur uniforme. Un guide circulaire
de centre O et de rayon r est plac´e verticalement
dans le plan (xOy). Un anneau ponctuel M de
masse m est enfil´e sur ce guide et est susceptible
−
→
−−→
d’y glisser sans frottement. Une force F = k M A
tend `a attirer l’anneau M vers le point A. Elle se
comporte comme une force de rappel ´elastique due
`a un ressort de raideur k et de longueur `a vide l0
nulle, dont l’autre
extr´emit´e serait fix´ee en A. On
q
p
k
posera ω1 = m et ω2 = gr .
(a) D´eterminer l’´energie potentielle de M . On la choisira nulle pour θ = 0.
(b) Discuter l’existence et la stabilit´e de positions d’´equilibre.
9. La mol´
ecule d’ammoniac
z
z
H
11
00
00
11
x
Dans un mod`ele simplifi´e de la mol´ecule d’ammoniac
N H3 , les trois atomes d’hydrog`ene H forment la base
N
0
1
d’une pyramide dont l’atome d’azote N de masse m
0
1
0
1
occupe le sommet.
Les trois atomes d’hydrog`ene sont fixes dans
le r´ef´erentiel du laboratoire suppos´e galil´een et
H
00
11
00
11
y
d´efinissent le plan (xOy).
L’atome d’azote est en mouvement suivant l’axe
O
(Oz) perpendiculaire au plan d´efini par les atomes
00
11
d’hydrog`ene. Il peut passer de part et d’autre de ce
00H
11
plan et sa cote est not´ee z.
Le champ de pesanteur est n´egligeable pour d´ecrire cette structure atomique et
la r´esultante des forces qui s’exercent sur l’atome d’azote N suppos´e ponctuel
−
→
est : F = −β z (z 2 − a2 ) ~uz o`
u les constantes β et a sont positives.
−
→
(a) D´eterminer l’´energie potentielle Ep dont d´erive la force F . L’origine de cette ´energie potentielle
est choisie en z = 0. En d´eduire les positions d’´equilibre.
(b) Donner, sans d´emonstration, la condition de stabilit´e d’un ´equilibre et d´eterminer les positions
d’´equilibre stables et instables de l’atome d’azote. Repr´esenter Ep en fonction de z lorsque z varie
de −∞ `a +∞.
(c) Une ´energie E ≤ 14 β a4 est c´ed´ee au syst`eme au moment o`
u l’atome d’azote est dans une position
d’´equilibre stable zs . Montrer graphiquement que l’atome d’azote va osciller entre deux valeurs
limites z1 et z2 . Quel nom porte un tel ´etat?
On consid`ere de petites oscillations autour de zs . Pour cela, on pose z = zs + q avec |q| ≪ |zs |.
Faire un d´eveloppement de Ep `a l’ordre le plus bas non nul en q. En d´eduire l’´energie m´ecanique
de l’atome d’azote en fonction de q et q.
˙ En d´eduire la fr´equence des petites oscillations.
(d) Que se passe-t-il si l’´energie c´ed´ee E est sup´erieure `a
1
4
β a4 ?
10. Bille sur une surface hyperbolique
On consid`ere un r´ef´erentiel galil´een associ´e au rep`ere orthonorm´e (O, ~ux , ~uy , ~uz ). L’axe (Oz) est
vertical ascendant. La position d’un point M sera d´efinie par ses coordonn´ees cylindriques r, θ et z.
On notera respectivement ~ur et ~uθ les vecteurs unitaires d´eduits de ~ux et ~uy par rotation d’angle θ
autour de (Oz).
−−→
(a) Faire un dessin et exprimer le vecteur position OM dans la base cylindrique.
(b) En d´eduire
la vitesse ~v et l’acc´el´eration ~a dans la base cylindrique. Montrer que : ~a.~uθ =
1 d
2 dθ
r dt .
r dt
(c) On ´etudie le mouvement d’une bille d’acier M , de masse m, assimil´ee `a un point mat´eriel, sur une
surface de r´evolution. La surface sur laquelle roule la bille est engendr´ee par la r´evolution d’une
avec k > 0. On n´eglige les frottements. La r´eaction du support est
portion d’hyperbole : z = −k
r
−
→
not´ee : R = Rr ~ur + Rθ ~uθ + Rz ~uz . Justifier sans calcul que Rθ = 0.
(d) Faire un bilan des forces s’exer¸cant sur la bille. Pr´eciser si ces forces d´erivent d’une ´energie
potentielle. Dans l’affirmative, pr´eciser l’expression de l’´energie potentielle associ´ee en fonction
de la variable r uniquement. On choisira l’origine de l’´energie potentielle lorsque r tend vers
l’infini.
´
(e) Ecrire
le principe fondamental de la Dynamique et faire la projection dans la base cylindrique.
En d´eduire que la quantit´e r2 ddθt est une constante, que l’on notera C.
2
(f) Exprimer l’´energie m´ecanique sous la forme : Em = 21 m α r˙ 2 + 21 m Cr2 −
fonction de k et r. Que peut-on dire de l’´energie m´ecanique?
mgk
.
r
D´eterminer α en
2
(g) On peut d´efinir une ´energie potentielle ”effective” : Ep ef f = 12 m Cr2 − mgk
. Tracer l’allure de
r
cette ´energie potentielle effective en fonction de r. En fonction de la valeur de l’´energie m´ecanique
initiale du syst`eme E0 , discuter le caract`ere li´e ou libre du mouvement.
(h) Pour quelle valeur de r a-t-on un mouvement circulaire? On exprimera le rayon du mouvement
circulaire rc en fonction de C, g et k.
(i) On lance la bille d’une distance r0 avec une vitesse ~v0 . Pr´eciser la direction et le module de ~v0
pour avoir un mouvement circulaire.
11. Bifurcation
z
O
~g
x
M
a
l
A
fixe
x
On consid`ere un anneau assimil´e `a un point
mat´eriel M de masse m. Cet anneau est enfil´e sur
une tige horizontale port´ee par (Ox), sur laquelle
il peut glisser sans frottements. L’anneau est par
ailleurs reli´e au point A fixe sur l’axe ascendant
(Oz) par l’interm´ediaire d’un ressort id´eal de constante de raideur k et de longueur `a vide l0 . On
note a = OA et x = OM . Le r´ef´erentiel (R) li´e `a
la tige est suppos´e galil´een.
(a) Faire le bilan des forces s’appliquant sur M . De quelle nature est la liaison entre M et la tige?
D´eterminer l’´energie potentielle Ep de M en fonction de k, a, l0 et x. On choisira l’´energie
potentielle de pesanteur nulle pour z = 0.
(b) En ´etudiant Ep , d´eterminer les positions d’´equilibre xeq et ´etudier leur stabilit´e. Tracer les
positions d’´equilibre xeq en fonction de a. Pourquoi parle-t-on de bifurcation ”fourche”?
(c) Tracer l’allure de l’´energie potentielle Ep en fonction de x. On sera amen´e `a consid´erer les cas
suivants : a ≥ l0 et a < l0 . On note E0 l’´energie m´ecanique initiale. Discuter graphiquement la
nature du mouvement. On sera amen´e `a consid´erer les cas a ≥ l0 et a < l0 .
(d) D´eterminer l’int´egrale premi`ere du mouvement en fonction de x˙ et x. En d´eduire l’´equation du
mouvement en fonction de x¨ et x. Cette ´equation est-elle lin´eaire?
(e) On consid`ere dans cette question que l0 6= a. On d´esire
´etudier le mouvement de M au voisinage
de xeq = 0. Pour cela, on pose x = xeq + q = q avec aq ≪ 1. D´eterminer l’´equation diff´erentielle
du second ordre en q. On se limitera dans les calculs au premier ordre en aq . Discuter la nature
du mouvement.
(f) On consid`ere dans cette question que l0 = a. On d´esire toujours
´etudier le mouvement de M au
voisinage de xeq = 0. Pour cela, on pose x = xeq + q = q avec aq ≪ 1.
i. D´eterminer l’´energie potentielle de M en fonction de q. On se limitera dans les calculs `a
l’ordre en aq le plus bas non nul. Commentaire?
ii. D´eterminer l’int´egrale premi`ere du mouvement.
iii. En d´eduire l’´equation du mouvement. Commentaire?
` partir de l’int´egrale premi`ere du mouvement, d´eterminer q˙ en fonction de q. Par une
iv. A
s´eparation des variables, en d´eduire la p´eriode T du mouvement en prenant comme conditions
initiales q(0) = q0 (avec |q0 | ≪ a) et q(0)
˙
= 0. Commentaire?
Indications : Soit ε une grandeur sans dimension. On rappelle que si |ε| ≪ 1, alors : (1 + ε)α =
Rπ
1 + α ε + 12 α (α − 1) ε2 + .... On donne d’autre part : 02 √ dθ 2 ≃ 1, 31
1+sin θ