Transcript MP* TD Mécanique 2014-2015 Exercice 1 On consid`ere un point

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TD M´ecanique
2014-2015
Exercice 1
fil
On consid`ere un point mat´eriel P de masse M li´e `a un rail de forme circulaire, de
centre O, de rayon R, dont un des diam`etre est vertical.
(k, l0 )
Un axe Oz est li´e au diam`etre vertical, dirig´e vers le haut ; un axe Ox est li´e au
diam`etre horizontal du cercle et un axe Oy est perpendiculaire aux deux autres.
Le cercle tourne `
a la vitesse angulaire constante Ω autour de Oz, par rapport `a un
r´ef´erentiel galil´een. Le point P glisse sans frotter sur le cercle. Il est soumis, entre
autre, `
a son poids −M g~ez . On rep`ere la position de P sur le cercle par l’angle θ
form´e par −~ez et OP .
1) D´eterminer l’´equation du mouvement de P en fonction de θ(t).
m
Exercice 3
2) Quelles sont les ´eventuelles positions d’´equilibre ?
3) Discuter de la stabilit´e des positions d’´equilibre quand elles existent.
La poulie a un moment d’inertie n´egligeable, le fil est inextensible et sans masse.
On suppose que les coefficients de frottement entre les deux masses et entre m1 et
le sol sont identiques. Un op´erateur exerce une force F~ sur m1 .
z
m2
•
~
Ω
y
m1
•
F~
x
θ
•P
~g
1) D´eterminer Fmin pour que le bloc de masse m1 se d´eplace.
2) Pour F > Fmin , d´eterminer l’acc´el´eration de la masse m1 .
Exercice 4
Exercice 2
Une masse m est attach´ee `
a un ressort de raideur k et de longueur `a vide l0 . L’autre
extr´emit´e du ressort est li´e `
a une cage d’ascenseur de masse M m, elle mˆeme
accroch´ee par l’interm´ediaire d’un fil `
a un support fixe dans le r´ef´erentiel terrestre.
` t = 0, on coupe le fil. D´eterminer la longueur du ressort l(t) `a tout instant.
A
Une voiture de masse m, prend un virage verglac´e, relev´e de l’angle α par rapport `
a
l’horizontale et de rayon de courbure Rc , `
a la vitesse constante v.
Trouver vmax et vmin pour qu’il n’y ait pas de glissement ni vers l’int´erieur, ni vers
l’ext´erieur du virage. On appellera f le coefficient de frottement de glissement entre
les pneus et la route.
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(c) En d´eduire l’´equation du mouvement de M dans le r´ef´erentiel li´e au cercle (on
ne cherchera pas `a la r´esoudre).
Exercice 5
cylindres en ´equilibre sur un axe fixe
Sachant que l’on observe l’´equilibre des deux cylindres de masse m et m/10,
d´eterminez le coefficient de frottement fs minimum entre la corde et le cylindre.
Les dimensions du cylindre jouent-elles un rˆ
ole ? Le nombre d’enroulements ? La
masse m ?
Exercice 7
Principe d’un sismographe
Un oscillateur amorti est li´e `
a un boˆıtier. Le ressort est de raideur k, de longueur `
a
vide `0 . Le point mat´eriel M est de masse m. On pose ω02 = k/m. L’amortissement
est d´ecrit par une force de frottement fluide f~ = −h~v o`
u ~v est la vitesse de la masse
par rapport au boˆıtier.
La position du boˆıtier est rep´er´ee par la cote AS 0 = y(t) sur un axe Ay fixe. Les
mouvements impos´es au boˆıtier entraˆınent des mouvements de M , qui sont rep´er´es
par leur abscisse x sur un axe Ox li´e au boˆıtier.
1) Le boˆıtier effectue des oscillations sinuso¨ıdales forc´ees : y = Ym cos(ωt). On
mω0
pose Q =
. En faisant intervenir les grandeurs ω0 et Q, ´etablir l’´equation
h
diff´erentielle du mouvement de M par rapport au boˆıtier, en prenant pour variable
l’abscisse x(t).
Exercice 6
On consid`ere un point M de masse m assujetti a` se d´eplacer sur un cercle de rayon
R. Ce dernier est dans un plan vertical et tourne `a vitesse angulaire constante ω
autour d’un axe selon le sch´ema suivant. On rep`ere le point M par l’angle θ par
rapport `
a la verticale. On se place dans le r´ef´erentiel li´e au cercle.
z
~
Ω
O
~g
R
θ •M
2) En r´egime forc´e, x(t) = Xm cos(ωt + ϕ). On pose β = ω/ω0 et α = Xm /Ym .
a) Exprimer α en fonction de β et de Q.
´
1) Etablir
l’´equation du mouvement de M dans le r´ef´erentiel li´e au cercle en appliquant le PFD.
2) M´ethode ´energ´etique
(a) Quelle est l’´energie potentielle associ´ee aux forces d’inertie ?
(b) En d´eduire l’´energie potentielle totale, ainsi que l’´energie m´ecanique de M .
b) Exprimer tan ϕ en fonction de β et de Q.
3) Les conditions d’utilisation du sismographe sont telles que Xm doit ˆetre ´egal `
a
Ym , `a 2 % pr`es, pour Q = 1. D´eterminer le domaine de variation de β.