Transcript Semaine 1 - Anthony Mansuy

Lyc´ee Clemenceau - Reims
ECE2
Colle 1
Variables al´
eatoires discr`
etes - Calcul matriciel
Exercice 1
Soit p ∈]0, 1[. Un mobile se d´eplace al´eatoirement par ”sauts” sur les points `a coordonn´ees enti`eres et
positives ou nulles d’un axe d’origine O (d’abscisse ´egale `a 0). Le voyage est organis´e comme suit:
• Le mobile est en O `
a l’instant 0.
• Si le mobile est sur le point d’abscisse k (k ∈ N) `a l’instant n (n ∈ N), alors `a l’instant n + 1, il
sera, soit sur le point d’abscisse (k + 1) avec la probabilit´e p, soit en O avec la probabilit´e 1 − p.
On appelle Xn la variable al´eatoire ´egale `a l’abscisse du mobile `a l’instant n. On a donc X0 = 0.
1. Donner la loi de X1 .
2. Montrer par r´ecurrence que Xn (Ω) = [[0, n]].
3. (a) Montrer que: ∀ n ∈ N∗ , P (Xn = k) = pP (Xn−1 = k − 1).
(b) En d´eduire que: ∀ n ∈ N∗ , E(Xn ) = pE(Xn−1 ) + p.
(c) Pour tout n ∈ N, d´eterminer E(Xn ) en fonction de p et n.
Exercice 2
On consid`ere les matrices `
a coefficients r´eels suivantes:


2 0 1
A= 0 3 0 
1 0 2


1 0 0
I= 0 1 0 
0 0 1


−1 0 1
J = 0 0 0 
1 0 −1
1. Exprimer A sous la forme αI + βJ, o`
u α et β sont deux r´eels.
2. D´eterminer J n pour tout entier naturel n.
3. En d´eduire l’expression de An .
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Exercice 3
Soient X et Y deux variables al´eatoires d´efinies sur un espace probabilis´e (Ω, A, P ) `a valeurs dans N∗ ,
ind´ependantes et telles que:
∀ i ∈ N∗ , P (X = i) = P (Y = i) =
1
.
2i
1. Reconnaˆıtre la loi de X et Y .
2. D´eterminer la loi de la variable Z = X + Y .
3. Calculer P (X = Y ).


−1 0
2
Exercice 4
On consid`ere la matrice A =  0 −3 0  ∈ M3 (R).
2
0 −1




1 0 0
1 0 1
1. On consid`ere les deux matrices I =  0 1 0  et J =  0 0 0 .
0 0 1
1 0 1
(a) Soit n ∈
N∗ .
(b) Calculer
Jk
Calculer la somme
n X
n
k=1
k
22k−1 (−3)n−k .
pour tout k ≥ 1.
(c) Exprimer A sous la forme αI + βJ, o`
u α et β sont deux r´eels.
(d) En d´eduire An pour tout n ∈ N.
2. Application: Soient (xn )n∈N , (yn )n∈N et (zn )n∈N trois suites r´eelles telles que x0 = 1, y0 = −3,
z0 = −1 et v´erifiant les relations de r´ecurrences:

 xn+1 = −xn + 2zn
yn+1 = −3yn

zn+1 = 2xn − zn


xn
(a) On pose Xn =  yn . V´erifier que ∀ n ∈ N, Xn+1 = AXn .
zn
(b) Montrer par r´ecurrence que, pour tout n ∈ N, Xn = An X0 .
(c) En d´eduire xn , yn et zn en fonction de n.
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Exercice 5
On pioche successivement deux boules, sans remetrre la premi`ere boule, dans une urne contenant 5
boules num´erot´ees de 1 `
a 5. On note X la valeur absolue de la diff´erence des deux num´eros obtenus.
Donner la loi de X puis calculer l’esp´erance et la variance de X.

0
Exercice 6

On consid`ere la matrice A d´efinie par A = 1
0
1
4
1
2
1
4

0
1.
0
1. Calculer A2 , A3 puis d´emontrer l’´egalit´e suivante:
1
A3 = (A2 + A).
2
2. Donner les valeurs des six r´eels a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 v´erifiant:
A = a1 A2 + b1 A;
A2 = a2 A2 + b2 A;
A3 = a3 A2 + b3 A.
3. (a) Montrer par r´ecurrence que pour tout entier naturel n non nul, il existe deux r´eels an et bn
tels que:
An = an A2 + bn A,
an+1 = 21 an + bn ,
les suites (an ) et (bn ) v´erifiant, pour tout entier n ∈ N∗ , les relations:
bn+1 = 12 an .
(b) Construire une proc´edure en langage Scilab qui, ´etant donn´e un entier naturel non nul n,
calcule an et bn .
4. (a) Montrer que la suite (an ) v´erifie une relation de r´ecurrence lin´eaire d’ordre 2.
(b) Exprimer alors an puis bn en fonction de l’entier naturel non nul n.
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Exercice 7
On lance deux d´es ´equilibr´es. Z d´esigne la somme des num´eros obtenus.
1. D´eterminer la loi de Z.
2. D´eterminer l’esp´erance et la variance de Z.
Exercice 8
Soit X une variable al´eatoire r´eelle.
1
1. Si X suit une loi binomiale B(2n, ), d´eterminer la loi de Y = (X − E(X))2 .
2
2. Si X suit une loi de Poisson P(λ), d´eterminer la loi de Z = e−X . Calculer E(Z) et V (Z).
Exercice 9
Soit A la matrice de M3 (R) telle que:


0
1 −1
A = −1 2 −1 .
1 −1 2
1. Trouver une relation entre A2 , A et I3 .
2. En d´eduire que A est inversible et calculer son inverse.
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