Transcript Devoir maison 1 - PSI* Lycée Kléber

.
Lyc´ee Kl´eber
PSI* 2012-2013
Pour le 26 septembre 2014
Devoir maison 1
MATHEMATIQUES
Le sujet comporte un probl`eme et un exercice ind´ependants.
L’exercice est facultatif.
Probl`
eme
L’objet du probl`eme est l’´etude de la suite (sn )n≥1 d´efinie par :
n
X
1
∀n ≥ 1, sn =
k2
k=1
`re Partie : convergence
Premie
Dans cette partie, on donne plusieurs m´ethodes pour prouver la convergence de la suite
(sn ).
1. En utilisant une s´erie t´elescopique, montrer la convergence de (sn ) et d´eterminer un
majorant de sa limite S.
1
2. En utilisant la suite tn = sn + , montrer la convergence de (sn ) et d´eterminer un
n
encadrement d’amplitude 10−1 de S.
`me Partie : utilisation de polyno
ˆ mes
Deuxie
1. Montrer que, pour tout entier p ∈ N et pour tout r´eel ϕ 6= 0[π], on a
p
X
2p + 1
2p+1
k
sin((2p + 1)ϕ) = sin
(ϕ)
(−1)
(cotan2 ϕ)p−k
2k + 1
k=0
2. Soitp ∈ N∗ et P ∈ R[X] le polynˆome d´efini par :
p
X
2p + 1
k
(−1)
X p−k
2k + 1
k=0
1
2
(a) Pour tout entierk ∈ [|1, p|], on pose γk = cotan
kπ
.
2p + 1
Calculer P (γk ) pour tout k ∈ [|1, p|].
(b) Montrer que le polynˆome P poss`ede p racines distinctes, que l’on d´eterminera.
(c) En d´eduire les ´egalit´es :
p
X
2
cotan
k=1
p
X
k=1
sin2
kπ
2p + 1
1
kπ
2p+1
=
=
p(2p − 1)
3
2p(p + 1)
3
π
3. (a) D´emontrer, pour tout r´eel ϕ ∈]0, [, les encadrements
2
0 < sin ϕ < ϕ < tan ϕ.
(b) En d´eduire que, pour tout entier p ≥ 1, on a l’encadrement
p
(2p + 1)2 X 1
2p(p + 1)
p(2p − 1)
<
<
.
2
2
3
π
k
3
k=1
(c) D´emontrer que S =
π2
.
6
1
1
(−1)k+1
,
k
≥
1,
,
k
≥
0
et
,k ≥
(2k)2
(2k + 1)2
k2
1 sont convergentes, et calculer leurs sommes not´ees dans l’ordre U, V, W .
4. Montrer que les s´eries de terme g´en´eral
`me Partie : utilisation des inte
´grales de Wallis
Troisie
Pour tout entier n ∈ N, on pose
Z π
Z π
2
2
4n (n!)2
2n
Jn
In =
cos tdt, Jn =
t2 cos2n tdt et Kn =
(2n)!
0
0
1. Calculer les int´egrales I0 et J0 .
2. D´eterminer une relation de r´ecurrence entre In et In+1 .
En d´eduire pour tout n ∈ N, la valeur de In en fonction de n.
3. Soit n ≥ 1.
(a) D´emontrer la relation In = n(2n − 1)Jn−1 − 2n2 Jn .
π
(b) En d´eduire que Kn−1 − Kn = 2 .
4n
2
n
πX 1
= J0 − Kn .
4 k=1 k 2
(c) D´emontrer la relation
4. D´emontrer que, pour tout entier n, on a
0 ≤ Jn ≤
π3
π 2 In
puis 0 ≤ Kn ≤
8(n + 1)
16(n + 1)
5. Retrouver la valeur de S.
`me Partie : utilisation du noyau de Dirichlet
Quatrie
Pour tout entier n ≥ 1 , on note Dn le noyau de Dirichlet, d´efini par :
n
1 X
∀x ∈ R, Dn (x) = +
cos(kx)
2 k=1
1. Pour tout entier n ≥ 1 et tout r´eel x 6= 0[2π], calculer Dn (x).
2. Pour tout entier n ≥ 1 , on note Ln l’int´egrale
Z π
Ln =
xDn (x)dx
0
Montrer que
n
n
X (−1)k
π2 X 1
−
+
Ln =
4
k 2 k=1 k 2
k=1
3. On note f le prolongement par continuit´e en 0 de la fonction d´efinie sur l’intervalle
x
.
]0, π] par : x 7→
sin x2
D´emontrer que la fonction f est de classe C 1 sur l’intervalle [0, π].
4. Soit φ : [0, π] −→ R une fonction de classe C 1 sur [0, π]. D´emontrer que
Z π
lim
φ(x) sin(λx)dx = 0
λ−→+∞
5. D´emontrer que
0
lim Ln = 0.
n−→+∞
Retrouver la valeur de S.
`me Partie : utilisation d’une somme double
Ciquie
L’objet de cette partie est de calculer la limite de la somme double
!
M
N X
X
1
lim
lim
M −→+∞ N −→+∞
nm(n + m − 1)
n=1 m=1
On pose, pour tout entier N ≥ 1,
N
X
1
HN =
n
n=1
3
HN
= 0.
N
(b) En transformant la somme, montrer que la s´erie
1. (a) Montrer que
lim
N −→+∞
∞
X
Hm
m(m + 1)
m=1
converge et d´eterminer sa somme.
2. Pour tous entier N ≥ 1 et pour tout entier m ≥ 2, on pose
ZN,m =
N
X
n=1
1
n(n + m − 1)
Montrer que
lim
N −→+∞
ZN,m =
Hm−1
m−1
3. (a) Montrer que pour tout entier N ≥ 1 et pour tout entier M ≥ 2 on a :
N
N X
M
X
M
X 1
X ZN,m
1
=
+
nm(n + m − 1) n=1 n2 m=2 m
n=1 m=1
(b) Montrer que
M
N X
M
X
π 2 X Hm−1
1
lim
=
+
N −→+∞
nm(n
+
m
−
1)
6
m(m − 1)
m=2
n=1 m=1
(c) En d´eduire alors
lim
M −→+∞
N X
M
X
1
lim
N −→+∞
nm(n + m − 1)
n=1 m=1
!
Exercice
1. D´eterminant dp .
Soit n ∈ N. Pour p ∈ [|0, n|], on note Ap = (ai,j ) la matrice carr´
ee de Mn−p+1
(R)
p+i+j−2
dont le coefficient de la ligne i et de la colonne j est ´egal a` ai,j =
avec
p+i−1
(i, j) ∈ [|1, n − p + 1|] × [|1, n − p + 1|]. On note dp = det(Ap ).
4
1.1. Expliciter les entiers r et s tels que ai,j
r
=
pour les quatre coefficients
s
a1,1 , a1,n−p+1 , an−p+1,1 et an−p+1,n−p+1 .
1.2. Pour tout entier naturel n ≥ 2 calculer les d´eterminants dn , dn−1 et dn−2 .
1.3. On suppose que la matrice Ap poss`ede au moins deux lignes. On note Li la ligne
d’indice i.
1.3.1 Dans le calcul de dp on effectue les op´erations suivantes : pour i variant de
n−p+1 `a 2, on retranche la ligne Li−1 a` la ligne Li (op´eration cod´ee Li ← Li −Li−1 ).
D´eterminer le coefficient d’indice (i, j) de la nouvelle ligne Li .
1.3.2 En d´eduire une relation entre dp et dp+1 , puis en d´eduire dp .
2. D´eterminants Dn et ∆n .
Pour n ∈ N, on note Dn le d´eterminant de la matrice carr´ee de Mn+1 (R) dont le
coefficient de la ligne i et de la colonne j est (i + j)!, les lignes et les colonnes ´
etant
index´
ees de 0 `
a n.
i+j
On note Dn = det((i + j)!). Avec les mˆemes notations, on note ∆n = det
i
pour (i, j) ∈ [|0, n|] × [|0, n|].
2.1. Calculer les d´eterminants D0 , D1 , D2 , ∆0 , ∆1 et ∆2 .
2.2. Donner une relation entre Dn et ∆n .
2.3. En d´eduire ∆n puis Dn .
5